20.2数据的波动程度（含解析） 人教版数学八年级下册

20.2数据的波动程度
一、单选题
1．已知一组数据2，3，5，3，7，关于这组数据，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是5 D．极差是5
2．一组7个数据分别为2，2，2，3，3，4，5．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是（　　）
A．中位数与众数都不变 B．众数与方差都不变
C．中位数与极差都不变 D．众数与极差都不变
3．已知一组数据26，36，36，2■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
4．河南省博物院中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为19，23，23，25，28，则三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲2＝0.12，s乙2＝0.25，s丙2＝0.35，s丁2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．“计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是s甲2＝0.19，乙班10名学生测试成绩的方差是s乙2＝m，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（　　）
A．0.20 B．0.22 C．0.19 D．0.18
7．某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（　　）
A．平均数是88 B．众数是85
C．中位数是90 D．方差是6
8．我们知道，“方差”是描述一组数据离散程度的统计量，老师想了解学生对于“方差”概念的掌握情况，给出了一组样本数据方差的计算公式：s2＝．由公式提供的信息，请同学们判断下列说法错误的是（　　）
A．样本的总数n＝4
B．样本的众数是6
C．样本的中位数是4
D．样本的方差值
9．许老师在调查学生每天完成作业时间时，得到了一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则在①、②、③、④中正确结论的序号是（　　）
①x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数
②x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数
③x2，x3，x4，x5的方差不小于x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差
④x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
10．若一组数据a1，a2，…，an的平均数为10，方差为4，则数据a1+3，a2+3，…，an+3的平均数和方差分别是（　　）
A．13，7 B．13，4 C．10，4 D．10，7
二、填空题
11．实施“双减政策”之后，为了解贵阳市某初中2735名学生平均每天完成各科家庭作业所用的时间，根据以下4个步骤进行调查活动：①整理数据；②得出结论，提出建议；③分析数据；④收集数据．
对这4个步骤进行合理的排序移动：　 　．
12．为了解游客在A，B，C三个城市旅游的满意度，某旅游公司商议了四种收集数据的方案．方案一：在多家旅游公司调查1000名导游；方案二：在A城市调查1000名游客；方案三：在三个城市各调查5名游客；方案四：在三个城市各调查1000名游客，其中最合理的是 　 　方案．
13．《义务教育劳动教育课程标准》（2022年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5．则这组数据的方差是 　 　．
14．某校举行射击比赛，甲、乙两个班各选5名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均成绩都是9.8环，其方差分别是s甲2＝2.34，s乙2＝1.63，则参赛学生成绩更稳定的是 　 　班．
15．已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为2，则数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为 　11　，方差为 　 　．
三、解答题
16．某学校要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9
乙的成绩的平均数为9.8，方差为0.032
（1）甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少？
（2）据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌，为了夺得金牌，应选谁参加比赛？
17．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 6.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝ 　；
（2）A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 　七　年级的学生；
（3）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．
18．为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七、八年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动．学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是A：0≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．现从七、八年级参加竞赛的学生中各随机选出20名学生的成绩整理如下：
七年级学生的竞赛成绩为：82，70，86，86，99，86，86，88，84，79，81，91，95，98，93，84，58，81，90，83；
八年级中等级为C的学生成绩为：89，87，85，85，84，84，83．
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85 86 b 86
八年级 85 a 91 80.76
根据以上信息，解答下列问题：
（1）根据表格写出a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）；
（3）若七、八年级各有1000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为一般（小于80分）的学生人数．
19．近年来，外卖跑腿十分流行，方便了人们的生活．某校八年级学生对“美团”和“饿了么”两家外卖平台各10名外卖员月收入进行了一项抽样调查，外卖员月收入（单位：千元）如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）样本中，“美团”外卖平台外卖员的平均月收入是 　6　千元，方差为 　1.2　千元2；
（2）样本中，“饿了么”外卖平台外卖员月收入的中位数是 　5　千元，众数是 　4　千元；
（3）若从两家外卖平台中选择一家做外卖员，你会选哪家外卖平台，并说明理由．
20．某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品，橙子的质量，进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98
乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98
b：按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x 个数 品种 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
甲 0 2 9 14
乙 1 3 5 16
c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数众数、中位数如表所示：
品种 平均数 众数 中位数
甲 89.4 m 91
乙 89.4 90 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝　 　，n＝　 　；
（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为 ．
（3）根据抽样调查情况，可以推断 　甲　种橙子的质量较好，理由为 　 　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
21.重庆二外开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：其中，八年级学生的竞赛成绩为：68，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，92，94，95，96，96；九年级等级C的学生成绩为：82，83，84，84，87，87，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生 平均数 中位数 众数
八年级 85.2 86 b
九年级 85.2 a 91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八、九年级各有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人．
22.为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表
组别 A B C D E
身高（cm） x＜155 155≤x＜160 160≤x＜165 165≤x＜170 x≥170
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）抽取的样本中，男生的身高众数在 B组，中位数在 C组；
（2）抽取的样本中，女生身高在E组的人数有多少人；
（3）已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在C组的学生人数．
答案
一、单选题
1．
【分析】根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数是：
（2+3+5+3+7）÷5
＝20÷5
＝4，
∴选项A正确，不符合题意；
∵2，3，5，3，7这组数据出现次数最多的数是3，
∴众数为3，
∴选项B正确，不符合题意；
∵2，3，5，3，7，排序为2，3，3，5，7，
∴中位数为3，
∴C选项错误，符合题意；
∵2，3，5，3，7，这组数据的最大值是7，最小值是2，
∴这组数据的极差是：7﹣2＝5，
∴选项D正确，不符合题意；
故选：C．
2．
【分析】先根据去掉一个数据，平均数不变，可知去掉的数据，然后根据平均数、众数、中位数、方差、极差的概念即可阶段．
【解答】解：一组7个数据分别为2、2、2、3、3、4、5的平均数为3，则去掉的数据为3；
新的这组数据为2、2、2、3、4、5；
原数据的中位数为3，众数为2，极差为3，方差为；
新数据的中位数为，众数为2，极差为3，方差为；
综上，两组数据的众数和极差都不变．
故选：D．
3．
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：C．
4．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：三年后这五位讲解员的年龄数据是在原数据的基础上加3，新数据和原数据的波动幅度不会发生变化，
所以三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是方差，
故选：A．
5．
【分析】根据方差越小成绩越稳定，即可判断．
【解答】解：∵s甲2＝0.12，s乙2＝0.25，s丙2＝0.35，s丁2＝0.46，
∴s甲2＜s乙＜2s丙2＜s丁2，
∴本次射击测试中，成绩最稳定的是甲．
故选：A．
6．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵两班学生测试的平均分都是95分，而结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，
∴乙的方差小于甲的方差，
又s甲2＝0.19，s乙2＝m，
∴m＜0.19，
故选：D．
7．
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【解答】解：∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10＝89；
故A错误；
∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；
故B正确；
共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（90+90）÷2＝90；
故C正确；
方差为 ×[（89﹣80）2+2×（89﹣85）2+2×（89﹣95）2+（89﹣90）2×5]＝19，
故D错误．
故选：C．
8．
【分析】由方差的算式得出这组数据为1、3、4、6、6，再根据众数、中位数、方差的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据为1、3、4、6、6，
∴这组数据的样本容量n＝5，众数为6，中位数为4，平均数为＝4，
所以方差为×[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+2×（6﹣4）2]＝，
故选：A．
9．
【分析】根据平均数、中位数、方差和极差的定义判断即可．
【解答】解：①设x2，x3，x4，x5的平均数为a，x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为b，x1+4a+x6＝6b，只有当x1+x6＝2a时，a＝b，故①错误．
②x1最小，x6最大，所以x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数，故②正确；
③去掉最小的x1，最大的x6，x2，x3，x4，x5的波动性变小，方差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差，故③错误；
④去掉最小的x1，最大的x6，x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差，故④正确．
故选：D．
10．
【分析】根据平均数的性质、方程的性质解答即可．
【解答】解：a1，a2，…an的平均数是10，
则数据a1+3，a1+3，a2+3，…，an+3平均数是10+3＝13，
a1，a2，…，an方差是4，
则数据a1+3，a1+3，a2+3，…，an+3的方差是4，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】根据统计调查的顺序进行即可．
【解答】解：统计调查的顺序是：收集数据；整理数据；分析数据；得出结论，提出建议四个步骤，故合理的排序为：④①③②，
故答案为：④①③②．
12．
【分析】根据抽样调查的代表性、普遍性结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：根据抽样调查的代表性、普遍性可知，为了解游客在A，B，C三个城市旅游的满意度，在三个城市各调查1000名游客比较合理．
故答案为：四．
13．
【分析】根据方差的定义列式计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数为＝4，
所以方差为×[（3﹣4）2×2+（4﹣4）2+2×（5﹣4）2]＝0.8，
故答案为：0.8．
14．
【解答】解：∵s甲2＝2.34，s乙2＝1.63，
∴s甲2＞s乙2，
∴参赛学生成绩更稳定的是乙班．
故答案为：乙．
15．
【分析】根据一组数据x1，x2，x3，...，xn的平均数是，方差是s2．则另一组数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，...，axn+b的平均数是a+b，方差是a2s2解答即可．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为2，
∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为3×3+2＝11，方差为32×2＝18．
故答案为：11，18．
三、解答题
16．解：（1）＝×（9.7+10+9.6+9.8+9.9）＝9.8（环），
＝×[（9.7﹣9.8）2+（10﹣9.8）2+（9.6﹣9.8）2+（9.8﹣9.8）2+（9.9﹣9.8）2]＝0.02（环2）；
（2）∵甲、乙的平均成绩均为9.8环，而＝0.02＜＝0.32，
所以甲的成绩更加稳定一些，
则为了夺得金牌，应选甲参加比赛．
17．解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b＝87，
故答案为：85，87；
（2）A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：七；
（3）×200+×200＝220（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人．
18．解：（1）由题意可知，把八年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为85，87，故中位数a＝（85+87）÷2＝86；
七年级0名学生的成绩中86出现次数最多，故众数b＝86；
m%＝1﹣10%﹣15%﹣7÷20＝40%，故m＝40．
故答案为：86，86，40；
（2）八年级的成绩更好，因为两个年级的平均数和中位数都相同，而八年级的成绩的众数大于七年级．（答案合理即可）
（3）（名）．
答：估计两个年级参赛学生中成绩为一般（小于80分）的学生共有400名．
19．解：（1）“美团”外卖平台外卖员的平均月收入为
（千元）；
方差为
+（7﹣6）2×10×20%+（8﹣6）2×10×10%]＝1.2（千元2）．
（2）把“饿了么”外卖平台外卖员月收入的数据按从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，即（千元）；
数据4千元出现的次数最多，即众数是4千元．
（3）选“美团”外卖平台．理由：两家外卖平台月收入平均数一样，“美团”外卖平台月收入的中位数、众数均大于“饿了么”，且“美团”外卖平台月收入的方差小，月收入更稳定，因此选“美团”外卖平台．（答案不唯一，合理即可）
20．解：（1）甲品种橙子测评成绩出现次数最多的是91分，所以众数是91，即m＝91，
将乙品种橙子的测评成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是90，因此中位数是90，即n＝90，
故答案为：91，90；
（2）由甲、乙两种橙子的测评成绩的大小波动情况，直观可得s12＜s22，
故答案为：s12＜s22；
（3）甲品种较好，理由为：①甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高；
②甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀．
故答案为：甲，甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高，甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀．
21.解：（1）八年级86出现三次，出现次数最多，故b＝86，
∵20×（10%+15%）＝5＜10，A、B、C占比和大于50%，
∴九年级的中位数在等级C内，第10个与11个数都是87，
∴，
由扇形统计图可得，m%＝50%﹣10%＝40%，
∴m＝40，
故答案为：a＝87，b＝86，m＝40；
（2）∵八年级与九年级的平均数相同，九年级的中位数与众数大于八年级的中位数与众数，
∴九年级的成绩更好一些；
（3）由八年级的数据可得，
八年级优秀的比例为：，
∴两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有：600×30%+600×40%＝180+240＝420，
答：两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有420人．
22.解：（1）∵直方图中，B组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在B组，
男生总人数为：4+12+10+8+6＝40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴男生的身高的中位数在C组，
故答案为：B，C；
（2）女生身高在E组的百分比为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%＝5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%＝2（人）；
（3）840×+820×25%
＝210+205
＝415（人），
∴估计身高在C组的学生约有415人．