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专题5：导数中单调性与求参问题---自检定时练--详解版
单选题
1.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将题干问题转化为在区间上恒成立，参变分离得，利用对勾函数单调性求得，即可得解.
【详解】由已知得，
函数在区间上单调递增，
在区间上恒成立．
对于恒成立．
而由对勾函数的单调性可知在区间上单调递减，
．
的取值范围是．
2.设，则为上的增函数的充要条件是（ ）
A． B．， C．， D．
【答案】A
【分析】求导，得到对恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】，为上的增函数，
对恒成立，
，
．
故选：A
3.已知函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由在上恒成立进行求解即可．
【详解】解：，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
则，
解得，
故选：C
4.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，根据，结合二次函数的性质求解.
【详解】由题意可得，
由于在上单调递增，故，
因此恒成立，故，
由于，故，
故选：B
5.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据单调性将问题转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求解单调性得最值求解.
【详解】由于在区间上单调递增，故在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即的最小值为．
故选：C．
6.若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用单调性建立恒成立的不等式求解.
【详解】函数，求导得，
依题意，恒成立，令函数，求导得，
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
因此，则，解得，所以a的取值范围为.
故选：B.
多选题
7.设，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】对于A，由，通过函数是增函数可判断；对于B，由在上单调递增可判断；对于C，由，结合的单调性可判断，对于D，由的单调性可判断；
【详解】令，，
由，可得：，由，可得：，
可得在单调递减，在单调递增，
所以，即；
对于A，∵，∴，而函数是增函数，∴，故A正确；
对于B，当时，令函数，则，
∴函数在上单调递增，由，可得，
∴，故B正确；
对于C，由，可得，即，
可得：，∴，即，
而函数，求得在有正有负，
所以在上不是增函数，故C不正确；
对于D，，即，
易知函数在上是增函数，∴，故D正确，
故选：ABD.
8.已知，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为奇数，则是的极小值点
B．若为奇数，则是的极大值点
C．若为偶数，则是的极小值点
D．若为偶数，则是的极大值点
【答案】BC
【分析】先求导函数再分奇数偶数判断导函数正负得出函数的单调性进而得出极值点即可.
【详解】由题可得.
当为奇数时，，令，
且当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以是的极大值点，B正确；
当为偶数时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以是的极小值点，C正确.
故选：BC.
填空题
9．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得.
【详解】，
设，则，
故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增，
在区间上单调递减，故，的取值范围是.
故答案为：
10．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当时，若，则单调递增，符合题意，若，根据二次函数的单调性得，所以；时，，由单调递增得；在分段处得，从而可以得到的取值范围.
【详解】当时，若，则单调递增，符合题意，
若，则为二次函数，要在上单调递增，需要开口向下，则,
所以要保证在上单调递增，则；
当时，，由单调递增得；
在分段处要使得单调递增则，从而可以得到的取值范围.
从而要保证在上单调递增，得，解得.
故答案为：.
四、解答题
11.已知函数在上单调递增，求的取值范围．
【答案】
【分析】条件可转化为在上恒成立，再分离变量，结合基本不等式求结论.
【详解】由若在上单调递增，可得在上恒成立，
由（1）可得在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，其中，
又当时，，当且仅当时等号成立，
所以， 所以，
所以的取值范围为.
12.已知函数
(1)若求的单调区间;
(2)若在上不单调，求的取值范围.
【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求导，令即可求解；
（2）求导可得，设，则，解之即可求解.
【详解】（1）的定义域为，
，
令或，或，
在上单调递增，在上单调递减.
（2），
设，
注意到，要使在上不单调，
只需满足，解得，
即实数的取值范围为.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C A D AC AD
【答案】/
10.【答案】
11.【答案】(1) (2)
(3) (4)
12.【答案】(1)， (2)最小值为，对应的取值为
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专题5：导数中单调性与求参问题---自检定时练--学生版
【1】知识清单
利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
①由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立列出不等式；
②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.设，则为上的增函数的充要条件是（ ）
A． B．， C．， D．
3.已知函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题
7.设，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8.已知，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为奇数，则是的极小值点
B．若为奇数，则是的极大值点
C．若为偶数，则是的极小值点
D．若为偶数，则是的极大值点
填空题
9.设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ．
10．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是 ．
四、解答题
11.已知函数在上单调递增，求的取值范围．
12.已知函数
(1)若求的单调区间;
(2)若在上不单调，求的取值范围.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C B C B ABD BC
【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为
(2)
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