直角三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用“HL”证直角三角形全等
1.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=(B)
A.40° B.50° C.60° D.75°
2.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC=(B)
A.28° B.59° C.60° D.62°
3.如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC.
【证明】∵AD⊥BE,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∵C是BE中点,
∴BC=EC,
在Rt△ABC和Rt△DEC中,,
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL).
4.(2024·菏泽期末)如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
【证明】连接BD,
∵∠BAD=∠BCD=90°,
在Rt△ABD和Rt△CBD中,
,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),
∴AD=CD,
∵AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,
∴∠E=∠F=90°,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
知识点2 直角三角形全等的判定的应用
5.如图,∠A=∠D=90°,AC∥DB,则△ABC≌△DCB的依据是(C)
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
6.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和高BE的交点,CD=4,则线段DF的长度为(B)
A.2 B.4 C.3 D.4
7.Rt△ABC和Rt△DEF如图放置,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE且AB⊥DE.若AC=6,EF=4,CF=3,则BD的长为 7 .
【B层 能力进阶】
8.使两个直角三角形全等的条件是(D)
A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两条边对应相等
9.如图,在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠CED=90°,AB=CD,BC=DE,则下列结论错误的是(B)
A.△ABC≌△CDE B.E是BC的中点
C.AB⊥CD D.CE=AC
10.如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=145°,则∠EDF= 55° .
11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 5或10 ,△ABC与△APQ全等.
12.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠DAB的平分线交BC于点E,DE⊥AE,若AD=12,BC=8,求四边形ABCD的周长.
【解析】如图所示,延长AB,DE相交于点F,
∵∠DAB的平分线交BC于点E,
∴∠DAE=∠FAE,
∵DE⊥AE,∴∠AED=∠AEF=90°,
∵AE=AE,
∴Rt△AED≌Rt△AEF(ASA),
∴DE=EF,AD=AF,
∵AB∥DC,∴∠CDE=∠EFB,
在△DEC和△FEB中,,
∴△DEC≌△FEB(ASA),
∴DC=BF,
∵AB+DC=AB+BF=AF=12,
∴C四边形ABCD=AD+AB+BC+DC=AD+AF+BC=12+12+8=32.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=
∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
【解析】(1)∵∠1=∠2,∴ED=EC,
∵∠A=∠B=90°,
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL);
(2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(2)AD2+BC2=2EM2,理由如下:
由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC,
∴∠AED=∠BCE,
∵∠A=∠B=90°,∴∠BCE+∠CEB=90°,
∴∠AED+∠CEB=90°,∴∠DEC=180°-90°=90°,
∵∠1=∠2,∴△DEC为等腰直角三角形,
∴∠1=∠2=45°,
∵M为DC中点,
∴∠DEM=∠CEM=∠DEC,EM⊥CD,
∴∠DEM=∠CEM=45°,∴EM=DM,
在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=AD2+BC2,
同理可得,在Rt△EMD中,DE2=EM2+DM2=2EM2,
∴AD2+BC2=2EM2.直角三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直角三角形的性质
1.如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D.若∠C=40°,则∠1的度数是(C)
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是(A)
A.19 B.15 C.12 D.6
3.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P.已知∠EPD=125°,求∠BAD的度数.
【解析】∵AD是BC边上的高线,∠EPD=125°,
∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°,
∵BE是一条角平分线,
∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°,
在Rt△ABD中,∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.
知识点2 直角三角形的判定
4.(2023·长沙质检)三角形三边长为a,b,c,满足|a-4|++(c-3)2=0,则这个三角形是(D)
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
5.如图,正方形网格中的△ABC的顶点都在格点上,若小方格边长为1,则△ABC的形状为(A)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
6.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.
(1)求AB的长;
(2)求△ACB的面积.
【解析】(1)∵S△ABE=35,DE=7,DE⊥AB,
∴AB×7=35,解得AB=10;
(2)在△ABC中,AB2=102=100,BC2+AC2=62+82=100,则AB2=AC2+BC2,
∴∠C=90°,
∴S△ABC=AC·BC=×8×6=24.
知识点3 互逆命题与互逆定理
7.下列定理中有逆定理的是(D)
A.直角都相等
B.全等三角形的面积相等
C.对顶角相等
D.内错角相等,两直线平行
8.命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为 如果a,b互为相反数,那么a+b=0 .
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为(B)
A.5 B.4 C.3 D.2
10.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .
11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】若一个直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为(B)
A.13 B.13或
C.13或15 D.15
12.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为(D)
A. B.
C. D.
13.如图,折叠长方形纸片ABCD的一边,使点D落在边BC上的D'处,AE是折痕.已知AB=6 cm,BC=10 cm,求CE的长.
【解析】∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=10 cm,DC=AB=6 cm,
又∵△AD'E是由△ADE折叠得到的,
∴AD'=AD=10 cm,D'E=DE,在Rt△ABD'中,BD'===8(cm),
∴CD'=2 cm,
设CE=x cm,则D'E=DE=(6-x) cm,
在Rt△D'CE中,D'E2=EC2+D'C2,即(6-x)2=x2+22,解得x=,即CE= cm.
【C层 创新挑战(选做)】
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动,同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t,若△BPQ为直角三角形,求t的值.
【解析】①如图(1),当∠BQP=90°时,则∠BPQ=30°,BP=2BQ,
∵BP=12-3t,BQ=t,∴12-3t=2t,
解得t=;
②如图(2),当∠QPB=90°时,
∵∠B=60°,∴∠BQP=30°,∴BQ=2BP,
若0若4综上,t的值为,,.直角三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用“HL”证直角三角形全等
1.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
2.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC=( )
A.28° B.59° C.60° D.62°
3.如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC.
4.(2024·菏泽期末)如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
知识点2 直角三角形全等的判定的应用
5.如图,∠A=∠D=90°,AC∥DB,则△ABC≌△DCB的依据是( )
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
6.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和高BE的交点,CD=4,则线段DF的长度为( )
A.2 B.4 C.3 D.4
7.Rt△ABC和Rt△DEF如图放置,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE且AB⊥DE.若AC=6,EF=4,CF=3,则BD的长为 .
【B层 能力进阶】
8.使两个直角三角形全等的条件是( )
A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两条边对应相等
9.如图,在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠CED=90°,AB=CD,BC=DE,则下列结论错误的是( )
A.△ABC≌△CDE B.E是BC的中点
C.AB⊥CD D.CE=AC
10.如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=145°,则∠EDF= .
11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= ,△ABC与△APQ全等.
12.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠DAB的平分线交BC于点E,DE⊥AE,若AD=12,BC=8,求四边形ABCD的周长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=
∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由.直角三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直角三角形的性质
1.如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D.若∠C=40°,则∠1的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是( )
A.19 B.15 C.12 D.6
3.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P.已知∠EPD=125°,求∠BAD的度数.
知识点2 直角三角形的判定
4.(2023·长沙质检)三角形三边长为a,b,c,满足|a-4|++(c-3)2=0,则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
5.如图,正方形网格中的△ABC的顶点都在格点上,若小方格边长为1,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
6.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.
(1)求AB的长;
(2)求△ACB的面积.
知识点3 互逆命题与互逆定理
7.下列定理中有逆定理的是( )
A.直角都相等
B.全等三角形的面积相等
C.对顶角相等
D.内错角相等,两直线平行
8.命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为 .
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
10.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .
11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】若一个直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为( )
A.13 B.13或
C.13或15 D.15
12.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为( )
A. B.
C. D.
13.如图,折叠长方形纸片ABCD的一边,使点D落在边BC上的D'处,AE是折痕.已知AB=6 cm,BC=10 cm,求CE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动,同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t,若△BPQ为直角三角形,求t的值.
