线段的垂直平分线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形三边垂直平分线的性质
1.如图,点P是AC,BC的垂直平分线的交点,则点P 在 AB的垂直平分线上.(填“在”或“不在”)
2.在△ABC中,AB=AC,O为不同于A的点,且OB=OC,则直线AO与底边BC的关系是 AO垂直平分BC .
3.如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F,连接CM,CN.若AB=5,则△CMN的周长为 5 .
知识点2 有关线段垂直平分线的尺规作图
4.在△ABC的BC边上找一点P,使得PA+PC=BC.下面找法正确的是(D)
A.以B为圆心,BA长为半径画弧,交BC于点P,点P为所求作
B.以C为圆心,CA长为半径画弧,交BC于点P,点P为所求作
C.作AC的垂直平分线交BC于点P,点P为所求作
D.作AB的垂直平分线交BC于点P,点P为所求作
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=52°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于AD的长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE交AB于点F,则∠ACF的度数是(C)
A.24° B.26° C.14° D.18°
6.如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交边AB于点E.若BE=4,则AE的长为 2 .
【B层 能力进阶】
7.(2024·嘉兴模拟)对如图所示的△ABC进行以下操作:①以A,B为圆心,大于AB长为半径作圆弧,相交于点D,E,作直线DE;②以A,C为圆心,大于AC长为半径作圆弧,相交于点F,G,作直线FG.两直线DE,FG相交于△ABC外一点P,且分别交BC于点M,N.若∠MAN=50°,则∠MPN等于(B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
8.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,若OA=4,OD=3,则BC= 2 .
9.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】在平面内,到三点A,B,C距离相等的点有 0个或1个 .
10.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC边的垂直平分线MN经过点A.
(1)求证:点A在CD的垂直平分线上;
(2)若∠BCD=110°,求∠BAD.
【解析】(1)连接AC,
∵BC边的垂直平分线MN经过点A,
∴AB=AC.
∵AB=AD,∴AC=AD,
∴点A在CD的垂直平分线上.
(2)∵AB=AC=AD,
∴∠ABC=∠ACB,∠ADC=∠ACD,
∴∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=∠BCD=110°,∴∠BAD=360°-(∠ABC+
∠ADC)-∠BCD=360°-110°-110°=140°.
11.为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村,B村,C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图所示).
(1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求:不写已知、求作,只保留作图痕迹.
(2)若两村之间的距离分别为AB=5 km,BC=5 km,AC=6 km,求医疗点P到B村的距离.
【解析】(1)如图:
(2)连接AP,BC,
设AC的垂直平分线交AC为点D.
∵AB=BC,PD是CA的垂直平分线,
∴BD与PD在一条直线上.
由(1)得出AP=BP,
∵AB=5 km,BC=5 km,AC=6 km,
∴AD=3 km,BD==4(km),
∴AP2=(4-BP)2+AD2,
即AP2=(4-AP)2+32,解得AP= km,
则医疗点P到B村的距离BP= km.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(几何直观、运算能力)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.
(1)如图1,若∠B=32°,∠C=36°,则∠EAN=44°;
(2)如图1,若∠BAC=108°,求∠EAN的度数;
(3)如图2,若∠BAC=78°,求∠EAN的度数;
(4)通过以上的探索过程,直接写出∠EAN的度数与∠B,∠C的关系.
【解析】(1)∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB,∴∠B=∠EAB,
同理∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=32°+36°=68°.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-68°=112°,
∴∠EAN=∠BAC-(∠EAB+∠CAN)=112°-68°=44°.
(2)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,∴∠B=∠EAB,
同理∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC,
∴∠EAN=∠BAC-(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°=2×108°-180°=36°.
(3)∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,
∴∠B=∠EAB,同理∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC,
∴∠EAN=∠EAB+∠CAN-∠BAC=180°-2∠BAC=180°-2×78°=24°.
(4)由(2)知当90°<∠BAC<180°时,∠EAN=2∠BAC-180°=2(180°-∠B-
∠C)-180°=180°-2(∠B+∠C);
由(3)知当0°<∠BAC<90°时,∠EAN=180°-2∠BAC=180°-2(180°-∠B-∠C)=2(∠B+∠C)-180°.线段的垂直平分线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.(2024·凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC=( )
A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm
2.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D,E,已知△ABC与△BCE的周长分别为18 cm和10 cm,则BD的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,连接AE,AF,若△AEF的周长为2,则BC的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.无法确定
4.(2023·丽水中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是 .
知识点2 线段的垂直平分线的判定
5.如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且BD+AD=BC,则点D在( )
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.AB的垂直平分线上
6.如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法中,正确的是( )
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
7.如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为( )
A.25 B.22 C.19 D.18
8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,求证:AD垂直平分EF.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠A=70°,点O是AB,AC垂直平分线的交点,则∠BCO的度数为( )
A.20° B.30°
C.25° D.35°
10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】在△ABC中,AB=AC,边AB的垂直平分线与边AC所在直线相交所得的锐角为50°,则∠C的度数为 .
11.(2024·菏泽期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为CE的中点,连接AD,此时∠DAC=24°,∠ACB=66°.求证:BE=AC.
12.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为点C和点D,AC与BD交于点O,AC=BD,点E是AB的中点,连接OE.
(1)求证:BC=AD;
(2)求证:线段OE所在的直线是AB的垂直平分线.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、几何直观)△ABC是等边三角形,D是三角形外一点,满足∠ADB=60°,
(1)如图①,当点D在AC的垂直平分线上时,求证:AD+CD=BD;
(2)如图②,当点D不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.线段的垂直平分线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形三边垂直平分线的性质
1.如图,点P是AC,BC的垂直平分线的交点,则点P AB的垂直平分线上.(填“在”或“不在”)
2.在△ABC中,AB=AC,O为不同于A的点,且OB=OC,则直线AO与底边BC的关系是 .
3.如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F,连接CM,CN.若AB=5,则△CMN的周长为 .
知识点2 有关线段垂直平分线的尺规作图
4.在△ABC的BC边上找一点P,使得PA+PC=BC.下面找法正确的是( )
A.以B为圆心,BA长为半径画弧,交BC于点P,点P为所求作
B.以C为圆心,CA长为半径画弧,交BC于点P,点P为所求作
C.作AC的垂直平分线交BC于点P,点P为所求作
D.作AB的垂直平分线交BC于点P,点P为所求作
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=52°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和点D为圆心,大于AD的长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE交AB于点F,则∠ACF的度数是( )
A.24° B.26° C.14° D.18°
6.如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=2.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交边AB于点E.若BE=4,则AE的长为 .
【B层 能力进阶】
7.(2024·嘉兴模拟)对如图所示的△ABC进行以下操作:①以A,B为圆心,大于AB长为半径作圆弧,相交于点D,E,作直线DE;②以A,C为圆心,大于AC长为半径作圆弧,相交于点F,G,作直线FG.两直线DE,FG相交于△ABC外一点P,且分别交BC于点M,N.若∠MAN=50°,则∠MPN等于( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
8.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,若OA=4,OD=3,则BC= .
9.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】在平面内,到三点A,B,C距离相等的点有 .
10.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC边的垂直平分线MN经过点A.
(1)求证:点A在CD的垂直平分线上;
(2)若∠BCD=110°,求∠BAD.
11.为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村,B村,C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图所示).
(1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求:不写已知、求作,只保留作图痕迹.
(2)若两村之间的距离分别为AB=5 km,BC=5 km,AC=6 km,求医疗点P到B村的距离.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(几何直观、运算能力)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.
(1)如图1,若∠B=32°,∠C=36°,则∠EAN= °;
(2)如图1,若∠BAC=108°,求∠EAN的度数;
(3)如图2,若∠BAC=78°,求∠EAN的度数;
(4)通过以上的探索过程,直接写出∠EAN的度数与∠B,∠C的关系.线段的垂直平分线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.(2024·凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC=(C)
A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm
2.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D,E,已知△ABC与△BCE的周长分别为18 cm和10 cm,则BD的长为(B)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,连接AE,AF,若△AEF的周长为2,则BC的长是(A)
A.2 B.3 C.4 D.无法确定
4.(2023·丽水中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是 4 .
知识点2 线段的垂直平分线的判定
5.如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且BD+AD=BC,则点D在(A)
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的垂直平分线上
D.AB的垂直平分线上
6.如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法中,正确的是(A)
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
7.如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为(C)
A.25 B.22 C.19 D.18
8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,求证:AD垂直平分EF.
【证明】设AD,EF的交点为K,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BAD=∠CAD,∠AED=∠AFD=90°.
又AD=AD,∴△AED≌△AFD(AAS),
∴DE=DF,AE=AF,∴AD是线段EF的垂直平分线,即AD垂直平分EF.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠A=70°,点O是AB,AC垂直平分线的交点,则∠BCO的度数为(A)
A.20° B.30°
C.25° D.35°
10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】在△ABC中,AB=AC,边AB的垂直平分线与边AC所在直线相交所得的锐角为50°,则∠C的度数为 70°或20° .
11.(2024·菏泽期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为CE的中点,连接AD,此时∠DAC=24°,∠ACB=66°.求证:BE=AC.
【证明】连接AE,
∵∠ACB=66°,∠DAC=24°,∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-24°-66°=90°,
∴AD⊥EC.
∵点D为CE的中点,∴DE=DC,
∴AD是线段CE的垂直平分线,
∴AE=AC.
∵EF垂直平分AB,
∴AE=BE,∴BE=AC.
12.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为点C和点D,AC与BD交于点O,AC=BD,点E是AB的中点,连接OE.
(1)求证:BC=AD;
(2)求证:线段OE所在的直线是AB的垂直平分线.
【证明】(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.
∵BD=AC,AB=BA,
∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL),∴BC=AD.
(2)∵∠D=∠C=90°,∠AOD=∠BOC,AD=BC,
∴△ADO≌△BCO(AAS),∴AO=BO,
∴点O在AB的垂直平分线上.
∵点E是AB的中点,∴AE=BE,
∴点E在AB的垂直平分线上,
∴线段OE所在的直线是AB的垂直平分线.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、几何直观)△ABC是等边三角形,D是三角形外一点,满足∠ADB=60°,
(1)如图①,当点D在AC的垂直平分线上时,求证:AD+CD=BD;
(2)如图②,当点D不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
【解析】(1)∵点D在AC的垂直平分线上,
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA,∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠DAC=30°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAD=90°,
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°,
∴BD=2AD=AD+CD.
(2)成立.
理由:在DB上截取DE=AD,
∵∠ADB=60°,∴△ADE是等边三角形,
∴AE=AD,∠EAD=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAD.
在△BAE和△CAD中,,
∴△BAE≌△CAD(SAS),∴BE=CD,
∴BD=DE+BE=AD+CD.
