角平分线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 角平分线的性质
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于 .
2.(2023·湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为 .
3.如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF.
知识点2 角平分线的判定
4.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰好在∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点处.上述结论中,正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.在正方形网格中,M,N,P,Q均是格点,∠AOB的位置如图所示,则到∠AOB的两边距离相等的格点是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
6.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,连接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P,若AD=DP,则∠C的度数为( )
A.55° B.35° C.60° D.80°
7.如图,点P是∠MON中一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA.
(1)求证:OP平分∠MON;
(2)若∠MON=60°,OA=2,求△PAB的面积.
【B层 能力进阶】
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.若AB=2,DB=2,则△ACD的周长为( )
A.3 B.2+
C.3+ D.4
9.如图,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4+2
10.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,BD为角平分线,延长BC到点E,使CE=CD,作DH⊥BE,垂足为点H,连接DE.
(1)求证:点H为BE的中点;
(2)探究∠A为多少度时,AD=HC.
11.如图1,AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.
探究:(1)如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.
(2)如图3,AD平分∠BAC,BD=DC,AC≠AB,求证:∠ABD+∠ACD=180°.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,交BA延长线于点F,且∠AEF=50°,连接DE,AD.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求证:DE平分∠ADC;
(3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.角平分线(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 角平分线的性质
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于 2 .
2.(2023·湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为 1 .
3.如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF.
【证明】∵CD是∠ACG的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中,
∵
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),
∴CE=CF.
知识点2 角平分线的判定
4.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰好在∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点处.上述结论中,正确的有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.在正方形网格中,M,N,P,Q均是格点,∠AOB的位置如图所示,则到∠AOB的两边距离相等的格点是(A)
A.点M B.点N C.点P D.点Q
6.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,连接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P,若AD=DP,则∠C的度数为(A)
A.55° B.35° C.60° D.80°
7.如图,点P是∠MON中一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA.
(1)求证:OP平分∠MON;
(2)若∠MON=60°,OA=2,求△PAB的面积.
【解析】(1)∵∠PAB=∠PBA,∴PA=PB.
∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴OP平分∠MON.
(2)∵∠MON=60°,PA⊥OM,PB⊥ON,∴∠AOP=30°.
∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴△AOB的面积为.
∵OA=2,∴AP=,∴△AOP的面积=OA·PA=×2×=,
∴S△PAB=2S△AOP-S△AOB=-=.
【B层 能力进阶】
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.若AB=2,DB=2,则△ACD的周长为(C)
A.3 B.2+
C.3+ D.4
9.如图,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为(C)
A.2 B.2 C.4 D.4+2
10.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,BD为角平分线,延长BC到点E,使CE=CD,作DH⊥BE,垂足为点H,连接DE.
(1)求证:点H为BE的中点;
(2)探究∠A为多少度时,AD=HC.
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠4.
∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴∠4=2∠2.
∵CE=CD,∴∠3=∠E,
∴∠4=∠3+∠E=2∠E,∴∠2=∠E,
∴△BDE为等腰三角形,BD=ED.
∵DH⊥BE,∴点H为BE的中点;
(2)当∠A=90°时,AD=HC.
理由:∵BD为∠ABC的平分线,DH⊥BE,DA⊥BA,∴AD=DH.
∵AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠DCH=45°.
∵∠DHC=90°,∴△DHC为等腰直角三角形,
∴DH=HC,∴AD=HC.
11.如图1,AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.
探究:(1)如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.
(2)如图3,AD平分∠BAC,BD=DC,AC≠AB,求证:∠ABD+∠ACD=180°.
【证明】(1)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠F=∠DEB=90°.
∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD.
在△DFC和△DEB中,,
∴△DFC≌△DEB(AAS),
∴DC=DB.
(2)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中,,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
∴∠ABD=∠FCD.
∵∠DCF+∠ACD=180°,∴∠ABD+∠ACD=180°.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,交BA延长线于点F,且∠AEF=50°,连接DE,AD.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求证:DE平分∠ADC;
(3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.
【解析】 (1)∵EF⊥AB,∠AEF=50°,
∴∠FAE=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°,∴∠CAD=180°-100°-40°=40°.
(2)过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H,
∵∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF,EG⊥AD,∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,∴EG=EH.
∵EG⊥AD,EH⊥BC,∴DE平分∠ADC.
(3)∵S△ACD=15,
∴AD·EG+CD·EH=15,
即×4×EG+×8×EH=15,
解得,EG=EH=,∴EF=EH=,
∴S△ABE=AB·EF=×7×=.角平分线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形角平分线的性质
1.(2023·长春中考)如图,用直尺和圆规作∠MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是(B)
A.AD=AE B.AD=DF
C.DF=EF D.AF⊥DE
2.如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E.△ABC的面积为12,AB=7,DE=2,则BC的长为(C)
A.7 B.6
C.5 D.4
4.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,若AB=8,OD=1,则△AOB的面积为 4 .
5.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为点M,N.
求证:FE=FD.
【证明】如图,连接BF,∵F是△ABC的角平分线交点,∴BF也是角平分线,
∵FM⊥AB,FN⊥BC,
∴MF=FN,∠DNF=∠EMF=90°,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°,
∴∠DAC=∠BAC=15°,∴∠CDA=75°,
∵∠NFC=45°,∠MFN=120°,
∴∠MFE=15°,∴∠MEF=75°=∠NDF,
在△DNF和△EMF中,,
∴△DNF≌△EMF(AAS),∴FE=FD.
知识点2 三角形角平分线的应用
6.如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,连接AD,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若∠BAC=60°,AD=10,且DE=DF,则DE的长为 5 .
7.(2024·西安二模)已知:Rt△ABC中,∠BAC=90°,请你用尺规在Rt△ABC的边AB上求作一点M,使得点M到BC的距离等于AM.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图,点M即为所求,
理由:过点M作MN⊥BC于点N,由作图知:CM平分∠ACB,
又∵∠BAC=90°,∴AM=MN,即点M到BC的距离等于AM.
【B层 能力进阶】
8.(2023·新疆建设兵团中考)如图,在Rt△ABC中,以点A为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点F,交AC于点E,分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=3,BC=4,则CD的长为(C)
A. B.1 C. D.2
9.如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分∠MNB,若MN=2,△PMN的面积是2,△OMN的面积是8,则OM+ON的长是 10 .
10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,有三条公路两两相交,要选择一地点建一座加油站,若要使加油站到三条公路的距离相等,则加油站的位置有 4 种选择.
11.如图,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上.
(1)求∠AEB的度数;
(2)求证:CE=DE.
【解析】(1)∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°,
∵AE平分∠CAB,∴∠EAB=∠CAB,
同理可得∠EBA=∠ABD,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°;
(2)如图,在AB上截取AF=AC,连接EF,
在△ACE和△AFE中,,
∴△ACE≌△AFE(SAS),
∴CE=FE,∠CEA=∠FEA,
∵∠CEA+∠DEB=90°,∠FEA+∠FEB=90°,∴∠DEB=∠FEB,
在△DEB和△FEB中,,
∴△DEB≌△FEB(ASA),
∴ED=EF,∴ED=CE.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(几何直观、推理能力)在△ABC中,AF,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AF和BE相交于点D.
(1)如图1,若∠ADB=110°,求∠C的度数;
(2)如图2,连接CD,求证:CD平分∠ACB;
(3)如图3,若2∠BAF+3∠ABE=180°,求证:BE-BF=AB-AE.
【解析】(1)∵AF,BE分别平分∠BAC和∠ABC,且相交于点D,∴∠ABD=∠ABC,∠BAD=∠BAC,
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,∠ADB=110°,
∴∠ABD+∠BAD=70°,∴∠ABC+∠BAC=140°,
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,∴∠C=40°;
(2)如图,过点D作DH⊥AB于点H,DG⊥BC于点G,DK⊥AC于点K,
∵AF,BE分别平分∠BAC和∠ABC,DH⊥AB,DG⊥BC,DK⊥AC,
∴DH=DK,DH=DG,∴DK=DG,
又∵DG⊥BC,DK⊥AC,∴CD平分∠ACB;
(3)如图,延长AB至点M,使BM=BF,连接FM,
∵AF,BE分别平分∠BAC和∠ABC,∴2∠BAF+2∠ABE+∠C=180°,
∵2∠BAF+3∠ABE=180°,∴∠C=∠ABE=∠CBE,∴CE=BE,
∵BM=BF,∴∠BFM=∠BMF=∠ABE=∠CBE=∠C,
∵∠C=∠BMF,∠CAF=∠BAF,AF=AF,
∴△CAF≌△MAF(AAS),
∴AC=AM,∴AE+CE=AB+BM,
∴AE+BE=AB+BF,∴BE-BF=AB-AE.角平分线(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形角平分线的性质
1.(2023·长春中考)如图,用直尺和圆规作∠MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是( )
A.AD=AE B.AD=DF
C.DF=EF D.AF⊥DE
2.如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E.△ABC的面积为12,AB=7,DE=2,则BC的长为( )
A.7 B.6
C.5 D.4
4.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,若AB=8,OD=1,则△AOB的面积为 .
5.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为点M,N.
求证:FE=FD.
知识点2 三角形角平分线的应用
6.如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,连接AD,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若∠BAC=60°,AD=10,且DE=DF,则DE的长为 .
7.(2024·西安二模)已知:Rt△ABC中,∠BAC=90°,请你用尺规在Rt△ABC的边AB上求作一点M,使得点M到BC的距离等于AM.(保留作图痕迹,不写作法)
【B层 能力进阶】
8.(2023·新疆建设兵团中考)如图,在Rt△ABC中,以点A为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点F,交AC于点E,分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=3,BC=4,则CD的长为( )
A. B.1 C. D.2
9.如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分∠MNB,若MN=2,△PMN的面积是2,△OMN的面积是8,则OM+ON的长是 .
10.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,有三条公路两两相交,要选择一地点建一座加油站,若要使加油站到三条公路的距离相等,则加油站的位置有 种选择.
11.如图,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上.
(1)求∠AEB的度数;
(2)求证:CE=DE.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(几何直观、推理能力)在△ABC中,AF,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AF和BE相交于点D.
(1)如图1,若∠ADB=110°,求∠C的度数;
(2)如图2,连接CD,求证:CD平分∠ACB;
(3)如图3,若2∠BAF+3∠ABE=180°,求证:BE-BF=AB-AE.
