一元一次不等式与一次函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用一次函数解一元一次不等式
1.(2024·无锡期末)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则不等式kx+b≤0的解集是(A)
A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2
2.如图,函数y=kx和y=ax+b的图象交于点P,根据图象可得不等式kx
A.x<-3 B.x>-3
C.x<1 D.x>1
3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,0),且与y轴负半轴相交,则关于x的不等式-kx-b>0的解集为 x>-2 .
4.如果一次函数y=kx+b(k≠0)中两个变量x,y的部分对应值如表所示:那么关于x的不等式kx+b≥8的解集是 x≤-2 .
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 11 8 5 2 -1 …
知识点2 利用一元一次不等式与一次函数图象的关系解决实际问题
5.已知甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式分别是y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,其图象如图所示.当所挂物体的质量均为2 kg时,甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为(A)
A.y1>y2 B.y1=y2
C.y16.(2023·武汉中考)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 250 .
【B层 能力进阶】
7.如图,已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=x+b的图象交于点P.下面有四个结论:①a<0;②b<0;③当x>0时,y1>0;④当x<-2时,y1>y2.其中正确的是(D)
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
8.(2024·镇江期末)直线y=k2x和y=k1x+b如图所示,则关于x的不等式k2(x-2)9.(2024·南京期末)已知一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2中,函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示:
表1:
x … -6 -4 -3 …
y1 … -3 -1 0 …
表2:
x … -2 -1 1 …
y2 … 0 -1 -3 …
则关于x的不等式k1(x-1)+b1>k2x+b2的解集是 x>-2 .
10.某租赁公司有A,B型两种客车,它们的载客量和租金标准如下:
客车类型 载客量(人/辆) 租金(元/辆)
A型 45 400
B型 30 280
如果某学校计划组织195名师生到培训基地参加社会实践活动,那么租车的总费用最低为 1 760 元.
11.已知甲、乙两地相距90 km,A、B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车,图中DE,OC分别表示A、B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象求当B出发几小时后,A在B的前面
【解析】设直线OC的表达式为s1=kt,
将(3,60)代入,得3k=60,k=20,
所以直线OC的表达式为s1=20t;
设直线DE的表达式为s2=mt+n,将(1,0),(3,90)代入,得,解得,
所以直线DE的表达式为s2=45t-45;
由题意,得45t-45>20t,解得t>,
即当B出发小时后,A在B的前面.
【C层 创新挑战（选做）】
12.(应用意识、模型观念)(2023·包头中考)随着科技的发展,扫地机器人(图1)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人,经统计该产品2022年每个月的销售情况发现,每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位:元),y与x的函数关系如图2所示(图中ABC为一折线).
(1)当1≤x≤10时,求每台的销售价格y与x之间的函数关系式;
(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为m(单位:万台),m与x的关系可以用m=x+1来描述,求哪个月的销售收入最多,最多为多少万元 (销售收入=每台的销售价格×销售数量)
【解析】(1)当1≤x≤10时,设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
∵图象过A(1,2 850),B(10,1 500)两点,
∴,解得,
∴当1≤x≤10时,每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=-150x+3 000;
(2)设销售收入为w万元,
①当1≤x≤10时,w=(-150x+3 000) (x+1)=-15(x-5)2+3 375,
∵-15<0,∴当x=5时,w最大=3 375(万元);
②当10∵3 375>3 300,∴第5个月的销售收入最多,最多为3 375万元.一元一次不等式与一次函数(第2课时)
1.某通讯公司就上宽带推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示,则下列判断中,错误的是( )
A.每月上网时间不足25 h时,选择A方式最省钱
B.每月上网费用为60元时,B方式可上网的时间比A方式多
C.每月上网时间为35 h时,选择B方式最省钱
D.每月上网时间超过70 h时,选择C方式最省钱
2.某通讯公司推出了①②两种收费方式,收费y1,y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,若使用①更加划算,通讯时间x(分钟)的取值范围是 .
3.某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用会员卡,另一种是使用租书卡,使用这两种卡租书,租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图所示,当租书时间为120天时,应使用 比较合算.
4.随着端午节的临近.A,B两家超市开展促销活动,各自推出不同的购物优惠方案.如表:
项目 A超市 B超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元
(1)当购物金额为80元时,选择 超市(填“A”或“B”)更省钱;当购物金额为130元时,选择 超市(填“A”或“B”)更省钱.
(2)若购物金额为x(0≤x<200)元时,请分别写出它们的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数表达式,并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱.
5.某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设当游泳x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
6.(2023·丽水中考)我市“共富工坊”问海借力,某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产,公司提供了两种付给员工月报酬的方案,如图所示,员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题:
(1)直接写出员工生产多少件产品时,两种方案付给的报酬一样多;
(2)求方案二y关于x的函数表达式;
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员,你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.
7.(2024·湖南中考)某村决定种植脐橙和黄金贡柚,助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价;
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵,总费用不超过38 000元,问最多可以购买脐橙树苗多少棵
8.小明到服装店参加社会实践活动,服装店经理让小明帮助解决以下问题:
服装店准备购进甲、乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元;乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500,则甲种服装最多购进多少件
(2)在(1)的条件下,该服装店在“父亲节”当天被对甲种服装以每件优惠a(01.某通讯公司就上宽带推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示,则下列判断中,错误的是(D)
A.每月上网时间不足25 h时,选择A方式最省钱
B.每月上网费用为60元时,B方式可上网的时间比A方式多
C.每月上网时间为35 h时,选择B方式最省钱
D.每月上网时间超过70 h时,选择C方式最省钱
2.某通讯公司推出了①②两种收费方式,收费y1,y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,若使用①更加划算,通讯时间x(分钟)的取值范围是 x>300 .
3.某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用会员卡,另一种是使用租书卡,使用这两种卡租书,租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图所示,当租书时间为120天时,应使用 会员卡 比较合算.
4.随着端午节的临近.A,B两家超市开展促销活动,各自推出不同的购物优惠方案.如表:
项目 A超市 B超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元
(1)当购物金额为80元时,选择A超市(填“A”或“B”)更省钱;当购物金额为130元时,选择B超市(填“A”或“B”)更省钱.
(2)若购物金额为x(0≤x<200)元时,请分别写出它们的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数表达式,并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱.
【解析】(1)∵80<100,∴A超市八折优惠,B超市不优惠,∴选择A超市更省钱;
∵100<130<200,∴A超市应付:130×0.8=104(元),B超市应付:130-100=30(元),
∵104>100,∴选择B超市更省钱;
(2)当0≤x<100时,A超市八折优惠,B超市不优惠,∴选择A超市更省钱,
当100≤x<200时,A超市的函数表达式为:y=0.8x,B超市的函数表达式为:y=x-30,
当0.8x当0.8x=x-30,即x=150时,A、B两超市花费一样多;
当0.8x>x-30,即100≤x<150时,选择B超市更省钱.
5.某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设当游泳x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
【解析】(1)由题意可得:银卡消费:y=10x+150,普通消费:y=20x;
(2)由题意可得:当10x+150=20x,解得x=15,则y=300,
故B(15,300),
当y=10x+150,x=0时,y=150,故A(0,150),
当y=10x+150=600,解得x=45,则y=600,故C(45,600);
(3)如图所示:由A,B,C的坐标可得:
当0当x=15时,银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;
当15当x=45时,金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;
当x>45时,金卡消费更划算.
6.(2023·丽水中考)我市“共富工坊”问海借力,某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产,公司提供了两种付给员工月报酬的方案,如图所示,员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题:
(1)直接写出员工生产多少件产品时,两种方案付给的报酬一样多;
(2)求方案二y关于x的函数表达式;
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员,你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.
【解析】(1)观察题图得:
方案一与方案二相交于点(30,1 200),∴员工生产30件产品时,两种方案付给的报酬一样多;
(2)设方案二的函数表达式为y=kx+b,
将点(0,600)、点(30,1 200)代入表达式中:
,解得,即方案二y关于x的函数表达式为y=20x+600;
(3)由两方案的图象交点(30,1 200)可知:若生产量x的取值范围为0若生产量x=30,则选择两个方案都可以,
若生产量x的取值范围为x>30,则选择方案一.
7.(2024·湖南中考)某村决定种植脐橙和黄金贡柚,助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价;
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵,总费用不超过38 000元,问最多可以购买脐橙树苗多少棵
【解析】 (1)设脐橙树苗的单价为x元,黄金贡柚树苗的单价为y元,
由题意得,解得,
答:脐橙树苗的单价为50元,黄金贡柚树苗的单价为30元;
(2)设可以购买脐橙树苗m棵,则购买黄金贡柚树苗(1 000-m)棵,
由题意得50m+30(1 000-m)≤38 000,
解得m≤400,
答:最多可以购买脐橙树苗400棵.
8.小明到服装店参加社会实践活动,服装店经理让小明帮助解决以下问题:
服装店准备购进甲、乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元;乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7 500,则甲种服装最多购进多少件
(2)在(1)的条件下,该服装店在“父亲节”当天被对甲种服装以每件优惠a(0【解析】(1)设购进甲种服装x件,由题意可知:80x+60(100-x)≤7 500,解得x≤75,
答:甲种服装最多购进75件.
(2)设总利润为w元,因为甲种服装不少于65件,所以65≤x≤75,
w=(40-a)x+30(100-x)=(10-a)x+3 000,
方案1:当00,w随x的增大而增大,所以当x=75时,w有最大值,则购进甲种服装75件,乙种服装25件;
方案2:当a=10时,所有方案获利相同,所以按哪种方案进货都可以;
方案3:当10所以当x=65时,w有最大值,则购进甲种服装65件,乙种服装35件.一元一次不等式与一次函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用一次函数解一元一次不等式
1.(2024·无锡期末)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则不等式kx+b≤0的解集是( )
A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2
2.如图,函数y=kx和y=ax+b的图象交于点P,根据图象可得不等式kxA.x<-3 B.x>-3
C.x<1 D.x>1
3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,0),且与y轴负半轴相交,则关于x的不等式-kx-b>0的解集为 .
4.如果一次函数y=kx+b(k≠0)中两个变量x,y的部分对应值如表所示:那么关于x的不等式kx+b≥8的解集是 .
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 11 8 5 2 -1 …
知识点2 利用一元一次不等式与一次函数图象的关系解决实际问题
5.已知甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式分别是y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,其图象如图所示.当所挂物体的质量均为2 kg时,甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为( )
A.y1>y2 B.y1=y2
C.y16.(2023·武汉中考)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 .
【B层 能力进阶】
7.如图,已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=x+b的图象交于点P.下面有四个结论:①a<0;②b<0;③当x>0时,y1>0;④当x<-2时,y1>y2.其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
8.(2024·镇江期末)直线y=k2x和y=k1x+b如图所示,则关于x的不等式k2(x-2)9.(2024·南京期末)已知一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2中,函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示:
表1:
x … -6 -4 -3 …
y1 … -3 -1 0 …
表2:
x … -2 -1 1 …
y2 … 0 -1 -3 …
则关于x的不等式k1(x-1)+b1>k2x+b2的解集是 .
10.某租赁公司有A,B型两种客车,它们的载客量和租金标准如下:
客车类型 载客量(人/辆) 租金(元/辆)
A型 45 400
B型 30 280
如果某学校计划组织195名师生到培训基地参加社会实践活动,那么租车的总费用最低为 元.
11.已知甲、乙两地相距90 km,A、B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车,图中DE,OC分别表示A、B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象求当B出发几小时后,A在B的前面
【C层 创新挑战（选做）】
12.(应用意识、模型观念)(2023·包头中考)随着科技的发展,扫地机器人(图1)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人,经统计该产品2022年每个月的销售情况发现,每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位:元),y与x的函数关系如图2所示(图中ABC为一折线).
(1)当1≤x≤10时,求每台的销售价格y与x之间的函数关系式;
(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为m(单位:万台),m与x的关系可以用m=x+1来描述,求哪个月的销售收入最多,最多为多少万元 (销售收入=每台的销售价格×销售数量)