中心对称
【A层 基础夯实】
知识点1 中心对称的性质
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是(D)
2.如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是网格线交点,△ABC与△DEF关于某点成中心对称,则其对称中心是(C)
A.点G B.点H C.点I D.点J
3.(2023·泸州中考)在平面直角坐标系中,若点P(2,-1)与点Q(-2,m)关于原点对称,则m的值是 1 .
4.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形,又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标(1,3),则点M和点N的坐标分别为 M(-1,-3), N(1,-3) .
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上,每个小正方形的边长均为1个单位长度.
(1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1,并写出A1,C1的坐标;
【解析】(1)根据A,B,C关于原点对称的坐标特征写出A1(1,-2),B1(3,-3),C1(4,0),
连接A1B1,B1C1,A1C1.
如图,△A1B1C1即为所求,点A1(1,-2),C1(4,0);
(2)求出△ABC的面积.
【解析】(2)S△ABC=3×3-×1×3-×1×2-×2×3=3.5.
知识点2 中心对称图形
6.(2023·永州中考)企业标志反映了思想、理念等企业文化,在设计上特别注重对称美.下列企业标志图为中心对称图形的是(C)
7.下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是(A)
A.平行四边形 B.等边三角形
C.圆 D.线段
8.(2024·淄博模拟)如下图案,是中心对称图形的是(D)
【B层 能力进阶】
9.如图,△ABE与△DCF成中心对称,则对称中心是(A)
A.M点 B.P点 C.Q点 D.N点
10.如图,BO是等腰三角形ABC的底边中线,AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C成中心对称,连接AP,则AP的长是(D)
A.4 B.4 C.2 D.2
11.如图,图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的,若要在①②③④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形,使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形,则这个正方形应该添加在 ② 处(填写区域对应的序号).
12.如图,方格纸中有三个点A,B,C,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶点上.
(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;
(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;
(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
【解析】(1)甲图:平行四边形;(2)乙图:等腰梯形;(3)丙图:正方形.(答案不唯一)
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、模型观念)课外兴趣小组活动时,老师提出了以下问题:
如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2
解决问题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF>EF;
(2)如图3,若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
【解析】(1)如图,延长FD到点G,使DG=DF,连接EG,BG,
∵ED⊥DF,∴EF=EG,
∵D是BC的中点,∴BD=CD,
在△BDG和△CDF中,,∴△BDG≌△CDF(SAS),
∴BG=CF,∵BE+BG>EG,∴BE+CF>EF;
(2)线段BE,CF,EF之间的等量关系为BE2+CF2=EF2.理由如下:
∵∠A=90°,∴∠ABC+∠ACB=90°,
如图,延长FD到点G,使DG=FD,连接EG,BG,
由(1)知,△BDG≌△CDF,EF=EG,
∴BG=CF,∠DBG=∠ACB,
∴∠ABC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2.中心对称
【A层 基础夯实】
知识点1 中心对称的性质
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是( )
2.如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是网格线交点,△ABC与△DEF关于某点成中心对称,则其对称中心是( )
A.点G B.点H C.点I D.点J
3.(2023·泸州中考)在平面直角坐标系中,若点P(2,-1)与点Q(-2,m)关于原点对称,则m的值是 .
4.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形,又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标(1,3),则点M和点N的坐标分别为 .
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上,每个小正方形的边长均为1个单位长度.
(1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1,并写出A1,C1的坐标;
(2)求出△ABC的面积.
知识点2 中心对称图形
6.(2023·永州中考)企业标志反映了思想、理念等企业文化,在设计上特别注重对称美.下列企业标志图为中心对称图形的是( )
7.下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A.平行四边形 B.等边三角形
C.圆 D.线段
8.(2024·淄博模拟)如下图案,是中心对称图形的是( )
【B层 能力进阶】
9.如图,△ABE与△DCF成中心对称,则对称中心是( )
A.M点 B.P点 C.Q点 D.N点
10.如图,BO是等腰三角形ABC的底边中线,AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C成中心对称,连接AP,则AP的长是( )
A.4 B.4 C.2 D.2
11.如图,图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的,若要在①②③④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形,使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形,则这个正方形应该添加在 处(填写区域对应的序号).
12.如图,方格纸中有三个点A,B,C,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶点上.
(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;
(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;
(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、模型观念)课外兴趣小组活动时,老师提出了以下问题:
如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2解决问题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF>EF;
(2)如图3,若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.