提公因式法
【A层 基础夯实】
知识点1 确定公因式
1.(2024·泉州期末)多项式12a3b-8ab2c的公因式是( )
A.4a2 B.4abc C.2a2 D.4ab
2.将6a2b(x-y)2+8ab2(x-y)3因式分解,应提取的公因式是( )
A.2ab(x-y)2 B.48ab(x-y)2
C.48ab(x-y)3 D.2ab(x-y)3
知识点2 提公因式法
3.把多项式a2-4a因式分解,结果正确的是( )
A.a(a-4) B.(a+2)(a-2)
C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4
4.(2024·达州期末)若(x+y)3-xy(x+y)=(x+y)·A,则A为( )
A.x2+y2 B.x2-xy+y2
C.x2-3xy+y2 D.x2+xy+y2
5.分解因式:
(1)3x2yz+15xz2-9xy2z= .
(2)a(x-y)+b(y-x)= .
6.(2024·济南期中)把下列各式进行因式分解:
(1)x2+xy;
(2)6ab3-2a2b2+4a3b;
(3)a(x-2y)-b(2y-x);
(4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2.
知识点3 提公因式法的巧妙求值
7.下列关于2300+(-2)301的计算结果正确的是( )
A.2300+(-2)301=2300-2301=2300-2×2300=-2300
B.2300+(-2)301=2300-2301=2-1
C.2300+(-2)301=(-2)300+(-2)301=(-2)601
D.2300+(-2)301=2300+2301=2601
8.先化简再求值:
(1)a(a-b)2-b(b-a)2,其中a=2,b=.
(2)a(x-y)-b(y-x),其中x-y=2,a+b=3.
【B层 能力进阶】
9.(2024·淄博期末)将多项式(m-n)3-m(m-n)2-n(n-m)2因式分解,结果为( )
A.2(m-n)3 B.2m(m-n)2
C.-2n(m-n)2 D.2(n-m)3
10.如图,某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个长为a,宽为b的长方形场地,已知a2b+ab2=240,则这个长方形场地的面积为 平方米.( )
A.32 B.24 C.16 D.12
11.一次函数y=-x+6的图象经过点P(a,b)和Q(c,d),则a(c+d)+b(c+d)的值为 .
12.(2023·凉山州中考)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+2 027的值等于 .
13.先因式分解,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-x)·(7-x),其中x=1.
14.(2024·宿州期中)父亲今年x岁,儿子今年y岁,父亲比儿子大26岁,并且x2-xy=
1 040,请你求出父亲和儿子今年各多少岁
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、运算能力)观察等式,回答问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述因式分解的方法是 提公因式法 ,共应用了 2 次;
(2)若因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 024,则需应用上述方法 次,结果是 ;
(3)因式分解:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n.提公因式法
【A层 基础夯实】
知识点1 确定公因式
1.(2024·泉州期末)多项式12a3b-8ab2c的公因式是(D)
A.4a2 B.4abc C.2a2 D.4ab
2.将6a2b(x-y)2+8ab2(x-y)3因式分解,应提取的公因式是(A)
A.2ab(x-y)2 B.48ab(x-y)2
C.48ab(x-y)3 D.2ab(x-y)3
知识点2 提公因式法
3.把多项式a2-4a因式分解,结果正确的是(A)
A.a(a-4) B.(a+2)(a-2)
C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4
4.(2024·达州期末)若(x+y)3-xy(x+y)=(x+y)·A,则A为(D)
A.x2+y2 B.x2-xy+y2
C.x2-3xy+y2 D.x2+xy+y2
5.分解因式:
(1)3x2yz+15xz2-9xy2z= 3xz(xy+5z-3y2) .
(2)a(x-y)+b(y-x)= (x-y)(a-b) .
6.(2024·济南期中)把下列各式进行因式分解:
(1)x2+xy;
(2)6ab3-2a2b2+4a3b;
(3)a(x-2y)-b(2y-x);
(4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2.
【解析】(1)x2+xy=x(x+y);
(2)6ab3-2a2b2+4a3b
=2ab(3b2-ab+2a2);
(3)a(x-2y)-b(2y-x)
=a(x-2y)+b(x-2y)
=(x-2y)(a+b);
(4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2
=x(x+y)[x-y-(x+y)]
=x(x+y)(x-y-x-y)
=-2xy(x+y).
知识点3 提公因式法的巧妙求值
7.下列关于2300+(-2)301的计算结果正确的是(A)
A.2300+(-2)301=2300-2301=2300-2×2300=-2300
B.2300+(-2)301=2300-2301=2-1
C.2300+(-2)301=(-2)300+(-2)301=(-2)601
D.2300+(-2)301=2300+2301=2601
8.先化简再求值:
(1)a(a-b)2-b(b-a)2,其中a=2,b=.
【解析】(1)a(a-b)2-b(b-a)2
=a(a-b)2-b(a-b)2
=(a-b)2(a-b)
=(a-b)3,
将a=2,b=代入可得,原式=(2-)3=()3=.
(2)a(x-y)-b(y-x),其中x-y=2,a+b=3.
【解析】(2)a(x-y)-b(y-x)=a(x-y)+b(x-y)=(a+b)(x-y),
∵x-y=2,a+b=3,
∴原式=3×2=6.
【B层 能力进阶】
9.(2024·淄博期末)将多项式(m-n)3-m(m-n)2-n(n-m)2因式分解,结果为(C)
A.2(m-n)3 B.2m(m-n)2
C.-2n(m-n)2 D.2(n-m)3
10.如图,某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个长为a,宽为b的长方形场地,已知a2b+ab2=240,则这个长方形场地的面积为 平方米.(B)
A.32 B.24 C.16 D.12
11.一次函数y=-x+6的图象经过点P(a,b)和Q(c,d),则a(c+d)+b(c+d)的值为 36 .
12.(2023·凉山州中考)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+2 027的值等于 2 023 .
13.先因式分解,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-x)·(7-x),其中x=1.
【解析】3(x-2)2(x-7)+11(2-x)(7-x)
=3(x-2)2(x-7)+11(x-2)(x-7)
=(x-2)(x-7)[3(x-2)+11]
=(x-2)(x-7)(3x+5),
当x=1时,原式=(1-2)×(1-7)×(3+5)=(-1)×(-6)×8=48.
14.(2024·宿州期中)父亲今年x岁,儿子今年y岁,父亲比儿子大26岁,并且x2-xy=
1 040,请你求出父亲和儿子今年各多少岁
【解析】由题意得,x-y=26,
∵x2-xy=x(x-y),∴26x=1 040,解得x=40,y=x-26=40-26=14.
答:父亲和儿子今年分别是40岁、14岁.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、运算能力)观察等式,回答问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述因式分解的方法是 提公因式法 ,共应用了 2 次;
【解析】(1)题目中因式分解的方法是提公因式法,共应用了2次;
(2)若因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 024,则需应用上述方法 2 024 次,结果是 (1+x)2 025 ;
【解析】(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 024
=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 023]
=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 022]……=(1+x)2 025,
则需应用上述方法2 024次,结果是(1+x)2 025;
(3)因式分解:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n.
【解析】(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-2]
=(1+x)3[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-3]……
=(1+x)n(1+x)=(1+x)n+1.
