公式法
【A层 基础夯实】
知识点1 运用平方差公式因式分解
1.下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是(B)
A.x2+4 B.x2-1 C.x+9 D.x2-6x
2.(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1=(A)
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
3.若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内因式分解,则m的值可以是 -1(答案不唯一) .(写一个即可)
4.分解因式:(1)(2024·临夏州中考)x2-= (x+)(x-) .
(2)(2023·长沙中考)a2-100= (a+10)(a-10) .
知识点2 运用完全平方公式因式分解
5.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是(B)
A.9x2-16y2 B.4x2-4x+1
C.x2+xy+y2 D.9-3x+x2
6.(易错警示题·概念不清)已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解,则a的值为(D)
A.4 B.8 C.-8 D.±8
7.(2024·北京期中)因式分解下列各题:
(1)a2-4ab+4b2.
(2)(m-n)2-6(n-m)+9.
【解析】(1)原式=(a-2b)2.
(2)(m-n)2-6(n-m)+9
=(m-n)2+6(m-n)+9
=[(m-n)+3]2
=(m-n+3)2.
8.用简便方法计算:(1)1982+396×202+2022.
(2)-101×190+1012+952.
【解析】(1)原式=1982+2×198×202+2022
=(198+202)2
=4002
=160 000.
(2)原式=1012-2×101×95+952
=(101-95)2
=36.
知识点3 综合运用提公因式法和公式法因式分解
9.(2024·云南中考)分解因式:a3-9a=(A)
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
10.因式分解:
(1)x3y-12x2y+36xy;
(2)3ax2+6ax+3a.
【解析】(1)原式=xy(x2-12x+36)=xy(x-6)2;
(2)原式=3a(x2+2x+1)=3a(x+1)2.
【B层 能力进阶】
11.(2023·河北中考)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能(B)
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
12.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为(D)
A.0 B.1 C.4 D.9
13.因式分解:-a4+16=-(a2+4)(a+2)(a-2).
14.设a=192×918,b=8882-302,c=1 0532-7472,则数a,b,c按从小到大的顺序排列为
a15.因式分解:
(1)(2024·齐齐哈尔中考)2a3-8ab2;
(2)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1;
(3)2(x2-)-x4;
(4)(m2+m)2-(7m+16)2.
【解析】(1)原式=2a(a2-4b2)
=2a(a+2b)(a-2b);
(2)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1
=(x2+2x+1)2
=(x+1)4;
(3)2(x2-)-x4
=2x2-1-x4
=-(x4-2x2+1)
=-(x2-1)2
=-(x+1)2(x-1)2;
(4)(m2+m)2-(7m+16)2
=(m2+m+7m+16)(m2+m-7m-16)
=(m2+8m+16)(m2-6m-16)
=(m+4)2(m+2)(m-8).
【C层 创新挑战(选做)】
16.(运算能力、推理能力、应用意识)我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值.
x2+6x+5=x2+2·x·3+32-32+5=(x+3)2-4,
∵(x+3)2≥0,
∴(x+3)2-4≥-4,∴当x=-3时,x2+6x+5有最小值,最小值为-4.
请根据上述方法,解答下列问题.
(1)求代数式x2-4x+1的最小值;
【解析】(1)x2-4x+1=(x2-4x+4)-3=(x-2)2-3,
∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2-3≥-3,
∴当x=2时,x2-4x+1有最小值,最小值为-3.
(2)求证:无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.
【解析】(2)∵2x2+10y2-6xy-6x-2y+11
=y2-2y+1+x2-6x+9+x2-6xy+9y2+1=(y-1)2+(x-3)2+(x-3y)2+1,
∵(y-1)2≥0,(x-3)2≥0,(x-3y)2≥0,∴(y-1)2+(x-3)2+(x-3y)2+1≥1,
∴2x2+10y2-6xy-6x-2y+11≥1,
∴无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.公式法
【A层 基础夯实】
知识点1 运用平方差公式因式分解
1.下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是( )
A.x2+4 B.x2-1 C.x+9 D.x2-6x
2.(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1=( )
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
3.若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内因式分解,则m的值可以是 .(写一个即可)
4.分解因式:(1)(2024·临夏州中考)x2-= .
(2)(2023·长沙中考)a2-100= .
知识点2 运用完全平方公式因式分解
5.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.9x2-16y2 B.4x2-4x+1
C.x2+xy+y2 D.9-3x+x2
6.(易错警示题·概念不清)已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解,则a的值为( )
A.4 B.8 C.-8 D.±8
7.(2024·北京期中)因式分解下列各题:
(1)a2-4ab+4b2.
(2)(m-n)2-6(n-m)+9.
8.用简便方法计算:(1)1982+396×202+2022.
(2)-101×190+1012+952.
知识点3 综合运用提公因式法和公式法因式分解
9.(2024·云南中考)分解因式:a3-9a=( )
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
10.因式分解:
(1)x3y-12x2y+36xy;
(2)3ax2+6ax+3a.
【B层 能力进阶】
11.(2023·河北中考)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
12.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
13.因式分解:-a4+16= .
14.设a=192×918,b=8882-302,c=1 0532-7472,则数a,b,c按从小到大的顺序排列为
.
15.因式分解:
(1)(2024·齐齐哈尔中考)2a3-8ab2;
(2)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1;
(3)2(x2-)-x4;
(4)(m2+m)2-(7m+16)2.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(运算能力、推理能力、应用意识)我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值.
x2+6x+5=x2+2·x·3+32-32+5=(x+3)2-4,
∵(x+3)2≥0,
∴(x+3)2-4≥-4,∴当x=-3时,x2+6x+5有最小值,最小值为-4.
请根据上述方法,解答下列问题.
(1)求代数式x2-4x+1的最小值;
(2)求证:无论x,y取任何实数,代数式2x2+10y2-6xy-6x-2y+11的值都是正数.
