分式方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程的识别
1.(2024·天津期末)下列方程中,是分式方程的是( )
A.+=1 B.x+=2
C.3x=x-5 D.2x-y=1
2.下列方程中,哪些是分式方程 哪些是整式方程
(1)=;(2)=;
(3)=x;(4)=;
(5)-3=;(6)2x=1.
知识点2 解分式方程
3.(2023·大连中考)将方程+3=去分母,两边同乘(x-1)后的式子为( )
A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3x
C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x
4.(2024·湖南中考)分式方程=1的解为 .
5.解方程:(1)=.
(2)(2023·连云港中考)=-3.
(3)(2023·泰州中考)=2-.
6.【易错警示题·概念不清】小丁和小迪分别解方程-=1,过程如下:
小丁:
解:去分母,得x-(x-3)=x-2
去括号,得 x-x+3=x-2
合并同类项,得 3=x-2
解得, x=5
∴原方程的解是x=5
小迪:
解:去分母,得x+(x-3)=1
去括号,得 x+x-3=1
合并同类项,得 2x-3=1
解得, x=2
经检验x=2是方程的增根,原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确 若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“ ”,并写出你的解答过程.
知识点3 已知分式方程根的情况求待定字母的值
7.(2023·淄博中考)已知x=1是方程-=3的解,那么实数m的值为( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
8.(2024·周口期末)关于x的分式方程=2的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m≠1
C.m>1 D.m>-1且m≠1
9.关于x的分式方程+=3有增根,则m= .
【B层 能力进阶】
10.方程:①=8+,②=x,③=,④x-=0.是分式方程的有( )
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.①和④
11.在正数范围内定义一种运算“※”,其规则为a※b=+,如2※4=+,根据这个规则,方程3※(x-1)=1的解为( )
A.x= B.x=-1 C.x= D.x=-3
12.(2024·达州中考)若关于x的方程-=1无解,则k的值为 .
13.解方程:(1)(2024·西安模拟)-1=.
(2)-=0.
【C层 创新挑战(选做)】
14.【运算能力、推理能力】(2024·重庆中考B卷改编)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4,且关于y的分式方程-=1的解均为负整数,求所有满足条件的整数a的值之和.分式方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 工程问题
1.(2023·深圳中考)某运输公司运输一批货物,已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物,且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同,设大货车每辆运输x吨,则所列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
2.(2024·自贡中考)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
知识点2 行程问题
3.(2024·新疆中考)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程( )
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
知识点3 销售问题
4.(2024·广元中考)某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程为( )
A.-50= B.-50=
C.+50= D.+50=
5.为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用3 600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3 600元,若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,求这个学校九年级学生有多少人.
【B层 能力进阶】
6.某次列车平均提速v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,相同的时间,提速后比提速前多行驶50千米,根据以上信息,下列说法正确的是( )
A.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时,则可列方程为=
B.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时,则可列方程为=
C.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时,则可列方程为=
D.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时,则可列方程为=
7.为了降低成本,某出租车公司实施了“油改气”措施.如图,y1,y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位:元)与行驶路程S(单位:千米)的关系,已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元,设燃气汽车每千米所需的费用为x元,则可列方程为( )
A.=
B.=
C.=
D.=
8.(2024·重庆中考B卷)某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A,B两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15 000元,已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米
【C层 创新挑战(选做)】
9.【运算能力、应用意识、模型观念】2023年5月30日上午9时31分,神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的学生到当地电视台演播大厅观看现场直播,学校准备为学生购进A,B两款文化衫,每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元,用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同.
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元.
(2)已知毕业班的学生一共有300人,学校计划用不多于14 800元,不少于14 750元购买文化衫,求有几种购买方案.
(3)在实际购买时,由于数量较多,商家让利销售,A款七折优惠,B款每件让利m元,采购人员发现(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同,试求m的值.分式方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 工程问题
1.(2023·深圳中考)某运输公司运输一批货物,已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物,且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同,设大货车每辆运输x吨,则所列方程正确的是(B)
A.= B.=
C.= D.=
2.(2024·自贡中考)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
【解析】设乙组同学平均每小时包x个粽子,则甲组同学平均每小时包(x+20)个粽子,
根据题意得=,解得x=80,
经检验,x=80是原方程的解,
x+20=100.
答:甲组同学平均每小时包100个粽子,乙组同学平均每小时包80个粽子.
知识点2 行程问题
3.(2024·新疆中考)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程(D)
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
知识点3 销售问题
4.(2024·广元中考)某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程为(C)
A.-50= B.-50=
C.+50= D.+50=
5.为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用3 600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3 600元,若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,求这个学校九年级学生有多少人.
【解析】设这个学校九年级学生有x人,
根据题意得:×50=×60,
解得:x=300,
经检验,x=300是所列方程的解,且符合题意.
答:这个学校九年级学生有300人.
【B层 能力进阶】
6.某次列车平均提速v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,相同的时间,提速后比提速前多行驶50千米,根据以上信息,下列说法正确的是(B)
A.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时,则可列方程为=
B.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时,则可列方程为=
C.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时,则可列方程为=
D.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时,则可列方程为=
7.为了降低成本,某出租车公司实施了“油改气”措施.如图,y1,y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位:元)与行驶路程S(单位:千米)的关系,已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元,设燃气汽车每千米所需的费用为x元,则可列方程为(D)
A.=
B.=
C.=
D.=
8.(2024·重庆中考B卷)某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A,B两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15 000元,已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米
【解析】(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元,B种外墙漆每千克的价格是y元,根据题意得:
,解得:.
答:A种外墙漆每千克的价格是26元,B种外墙漆每千克的价格是24元;
(2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米,则乙每小时粉刷外墙的面积是m平方米,
根据题意得:-=5,解得:m=25,
经检验,m=25是所列方程的解,且符合题意.
答:甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
【C层 创新挑战(选做)】
9.【运算能力、应用意识、模型观念】2023年5月30日上午9时31分,神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的学生到当地电视台演播大厅观看现场直播,学校准备为学生购进A,B两款文化衫,每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元,用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同.
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元.
(2)已知毕业班的学生一共有300人,学校计划用不多于14 800元,不少于14 750元购买文化衫,求有几种购买方案.
(3)在实际购买时,由于数量较多,商家让利销售,A款七折优惠,B款每件让利m元,采购人员发现(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同,试求m的值.
【解析】(1)设B款文化衫每件x元,则A款文化衫每件(x+10)元,
根据题意得:=,解得:x=40,
经检验,x=40是所列方程的解,且符合题意,
∴x+10=40+10=50.
答:A款文化衫每件50元,B款文化衫每件40元;
(2)设购买y件A款文化衫,则购买(300-y)件B款文化衫,
根据题意得:,
解得:275≤y≤280,
又∵y为正整数,
∴y可以为275,276,277,278,279,280,
∴共有6种购买方案;
(3)设购买300件两款文化衫所需总费用为w元,则w=50×0.7y+(40-m)(300-y)=(m-5)y+300(40-m),
∵(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同,
∴w的值与y值无关,
∴m-5=0,
∴m=5.分式方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程的识别
1.(2024·天津期末)下列方程中,是分式方程的是(B)
A.+=1 B.x+=2
C.3x=x-5 D.2x-y=1
2.下列方程中,哪些是分式方程 哪些是整式方程
(1)=;(2)=;
(3)=x;(4)=;
(5)-3=;(6)2x=1.
【解析】∵分母中含有未知数的方程是分式方程,∴(1)(3)(4)(5)是分式方程,(2)(6)是整式方程.
知识点2 解分式方程
3.(2023·大连中考)将方程+3=去分母,两边同乘(x-1)后的式子为(B)
A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3x
C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x
4.(2024·湖南中考)分式方程=1的解为 x=1 .
5.解方程:(1)=.
(2)(2023·连云港中考)=-3.
(3)(2023·泰州中考)=2-.
【解析】(1)=,
方程两边同乘x(x-1)得:2x=x-1,
移项解得:x=-1.
检验:将x=-1代入x(x-1)≠0,
∴x=-1是原分式方程的解.
(2)去分母得:2x-5=3x-3-3(x-2),
去括号得:2x-5=3x-3-3x+6,
移项得:2x-3x+3x=5-3+6,
合并同类项得:2x=8,
把x的系数化为1得:x=4,
检验:把x=4代入x-2=4-2=2≠0,
所以原分式方程的解为x=4.
(3)方程两边都乘2x-1,
得x=2(2x-1)+3,解得:x=-,
检验:当x=-时,2x-1≠0,
所以分式方程的解是x=-.
6.【易错警示题·概念不清】小丁和小迪分别解方程-=1,过程如下:
小丁:
解:去分母,得x-(x-3)=x-2
去括号,得 x-x+3=x-2
合并同类项,得 3=x-2
解得, x=5
∴原方程的解是x=5
小迪:
解:去分母,得x+(x-3)=1
去括号,得 x+x-3=1
合并同类项,得 2x-3=1
解得, x=2
经检验x=2是方程的增根,原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确 若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“ ”,并写出你的解答过程.
【解析】小丁和小迪的解法都不正确,正确步骤如下:
-=1,
两边同乘(x-2),去分母得:x+x-3=x-2,
移项,合并同类项得:x=1,
检验:将x=1代入(x-2)中可得:1-2=-1≠0,则x=1是分式方程的解,
故原分式方程的解是x=1.
知识点3 已知分式方程根的情况求待定字母的值
7.(2023·淄博中考)已知x=1是方程-=3的解,那么实数m的值为(B)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
8.(2024·周口期末)关于x的分式方程=2的解为正数,则m的取值范围是(D)
A.m>-1 B.m≠1
C.m>1 D.m>-1且m≠1
9.关于x的分式方程+=3有增根,则m= -1 .
【B层 能力进阶】
10.方程:①=8+,②=x,③=,④x-=0.是分式方程的有(C)
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.①和④
11.在正数范围内定义一种运算“※”,其规则为a※b=+,如2※4=+,根据这个规则,方程3※(x-1)=1的解为(C)
A.x= B.x=-1 C.x= D.x=-3
12.(2024·达州中考)若关于x的方程-=1无解,则k的值为 2或-1 .
13.解方程:(1)(2024·西安模拟)-1=.
(2)-=0.
【解析】(1)方程两边同乘(x+3)(x-3),得
x(x+3)-(x+3)(x-3)=18,
化简得3x+9=18,解得:x=3,
经检验x=3是增根,原分式方程无解.
(2)原方程变形为:-=0,
两边同乘x(x+1)(x-1),去分母得:5(x-1)-(x+1)=0,
去括号得:5x-5-x-1=0,
移项,合并同类项得:4x=6,
系数化为1得:x=,
检验:将x=代入x(x+1)(x-1)中可得:×(+1)×(-1)=≠0,
则原方程的解为x=.
【C层 创新挑战(选做)】
14.【运算能力、推理能力】(2024·重庆中考B卷改编)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4,且关于y的分式方程-=1的解均为负整数,求所有满足条件的整数a的值之和.
【解析】,
解不等式①,得x≤4,
解不等式②,得x
由题意得a+2>4,解得a>2;
解方程-=1得,y=,且y≠-2,
当a=8时,y==-1;
当a=6时,y==-2(不合题意,舍去);
当a=4时,y==-3,
∴符合条件的a有8,4,
∴8+4=12,
即所有满足条件的整数a的值之和是12.