平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的性质——对角线
1.(2023·益阳中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是(C)
A.OA=OB B.OA⊥OB
C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC
2.(2024·德阳期中)在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=12,则边AD的长度x的取值范围是(B)
A.2C.13.如图,在 ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为(B)
A.10 B.11 C.12 D.14
4.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则 ABCD的面积为 12 .
5.已知:如图,点O是 ABCD对角线的交点,过点O作直线分别交AB,CD的延长线于点E,F.求证:BE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB=CD,AB∥DC,
∴∠F=∠E,∠DCA=∠CAB,
在△COF和△AOE中,,
∴△COF≌△AOE(AAS),
∴AE=CF,
∴AE-AB=CF-CD,即BE=DF.
知识点2 平行四边形性质的综合运用
6.下列说法正确的是(B)
A.平行四边形邻边相等
B.平行四边形对边平行
C.平行四边形对角互补
D.平行四边形既是中心对称图形,也是轴对称图形
7. (2024·西安期中)公园有一片平行四边形的绿地,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB=15 m,AD=12 m,AC⊥BC,则OC的长为 4.5 m .
8.(2023·济南中考)已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC.
∵点O为对角线AC的中点,
∴AO=CO,
在△AOE和△COF中,,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,
∴DE=BF.
【B层 能力进阶】
9.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O作直线EF分别交AD,BC于点E,F,那么图中全等的三角形共有(C)
A.2对 B.4对
C.6对 D.8对
10.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图, ABCD中,AB=2 cm,AD=4 cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长 4 cm.
12.如图, ABCD中,对角线AC,BD交于O,若∠BOC=120°,AD=7,BD=10,则S ABCD= 15 .
13.如图,已知:在 ABCD中,DH⊥AB,垂足为H,AD=HB,点E,F分别为HB,CB的中点,连接HF,EC相交于点G.
(1)求证:GE=GF;
(2)若DH=3,HE=2,求 ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∵AD=HB,∴BH=BC,
∵点E,F分别为HB,CB的中点,
∴HE=BE=BF=CF,
在△BFH和△BEC中,,
∴△BFH≌△BEC(SAS),
∴∠BHF=∠BCE,
在△HEG和△CFG中,,
∴△HEG≌△CFG(AAS),∴GE=GF;
(2)∵DH=3,HE=2,点E为HB的中点,
∴BH=2HE=4,∵AD=HB,∴AD=4,
∵DH⊥AB,∴AH===,∴AB=AH+HB=+4,
∴S ABCD=AB·DH=(+4)×3=3+12.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、模型观念、应用意识)如图,点O为 ABCD的对角线AC,BD的交点,∠BCO=90°,∠BOC=60°,BD=8,点E是OD上的一动点,点F是OB上的一动点(E,F不与端点重合),且DE=OF,连接AE,CF.
(1)求线段EF的长;
(2)若△OAE的面积为S1,△OCF的面积为S2,S1+S2的值是否发生变化 若不变,求出这个不变的值;若变化,请说明随着DE的增大,S1+S2的值是如何变化的.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB.
∵DE=OF,
∴EF=OD=BD=4.
(2)S1+S2的值不变.
如图所示,连接AF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,AD∥BC,
∴S△AOF=S△COF,∠DAC=∠BCO.
∵DE=OF,
∴S△ADE=S△AOF=S△COF,
∴S1+S2=S△AEF=S△AOD.
∵∠BCO=90°,∠BOC=60°,
∴∠DAC=90°,∠AOD=60°,∴∠ADO=30°,
∴AO=OD=2,
在Rt△AOD中,AD==2,
∴S1+S2=S△AOD=AD·OA=×2×2=2.平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的性质——边
1.(2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B)
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
2.(2024·福州期中)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是(A)
A.(-3,3) B.(3,-3)
C.(7,3) D.(-5,3)
3.(2024·广州中考)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= 5 .
4.如图,BD为 ABCD的对角线,点E,F在BD上,AE∥CF,求证:BF=DE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴∠CDF=∠ABE,
∵AE∥CF,∴∠CFE=∠AEF,
∴∠AEB=∠CFD,
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF,∴BF=DE.
知识点2 平行四边形的性质——角
5.(2024 郑州期末)如图,在平行四边形ABCD中,∠A-∠B=50°,则∠A的度数是(B)
A.130° B.115° C.65° D.50°
6.(2024·厦门期中)在 ABCD中,它的四个内角按一定顺序的度数比可能为(B)
A.3∶4∶5∶6 B.4∶5∶4∶5
C.2∶3∶3∶2 D.2∶4∶3∶3
7.在平行四边形ABCD中,已知∠A+∠C=100°,则∠D= 130 °.
8.如图,在 ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE= 25° .
9.如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,
∵∠A=40°,∴∠ADC=140°,
∵DF平分∠ADC,
∴∠CDF=∠ADC=70°,
∴∠AFD=∠CDF=70°,
∵DF∥BE,
∴∠ABE=∠AFD=70°.
【B层 能力进阶】
10.如图,点P是 ABCD内的一点,过点P作直线EF,GH分别平行于AB,BC,与 ABCD的边分别交于E,F,G,H.则图中平行四边形的个数为(D)
A.4 B.5 C.8 D.9
11.(2024·重庆期末)如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3 cm,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形,则AD的长度是(A)
A.6 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
12.【易错警示题·隐含条件未挖掘】在 ABCD中,∠ADC的平分线与AB边所在直线交于点E.若AB=5,BE=1,则 ABCD的周长为(C)
A.22 B.16
C.22或18 D.24或16
13.(2024·盐城期中)若E是 ABCD内任意一点, ABCD的面积是6,则阴影部分的面积是 3 .
14.如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= 50 °.
15.(2024·洛阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,点H是边AB上一点,连接CH.作∠ADC的平分线DF,分别交CH,BC及AB的延长线于G,E,F.
(1)如果AB=2,AD=3,那么AF= ,BE= ;
(2)若点G恰好是线段CH的中点,求证:BF=AH.
【解析】(1)∵DF是∠ADC的平分线,
∴∠ADF=∠CDE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD=2,BC=AD=3,∴∠ADF=∠DEC,∠AFD=∠CDE,
∴∠ADF=∠AFD,∠DEC=∠CDE,
∴AF=AD=3,CE=CD=2,
∴BE=BC-CE=3-2=1.
答案:3 1
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠AFD=∠CDF.
∵G为CH的中点,∴CG=HG.
∵∠CGD=∠HGF,
∴△CDG≌△HFG(AAS),
∴FH=CD,∴FH=AB,
∴FH-BH=AB-BH,∴BF=AH.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、创新意识)(2024·自贡中考)如图,在 ABCD中,∠B=60°,AB=6 cm,BC=12 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→D运动,同时点Q从点C出发,以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动,当点P到达端点D时,点Q随之停止运动.在此运动过程中,线段PQ=CD出现的次数是(B)
A.3 B.4 C.5 D.6平行四边形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的性质——边
1.(2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
2.(2024·福州期中)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是( )
A.(-3,3) B.(3,-3)
C.(7,3) D.(-5,3)
3.(2024·广州中考)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .
4.如图,BD为 ABCD的对角线,点E,F在BD上,AE∥CF,求证:BF=DE.
知识点2 平行四边形的性质——角
5.(2024 郑州期末)如图,在平行四边形ABCD中,∠A-∠B=50°,则∠A的度数是( )
A.130° B.115° C.65° D.50°
6.(2024·厦门期中)在 ABCD中,它的四个内角按一定顺序的度数比可能为( )
A.3∶4∶5∶6 B.4∶5∶4∶5
C.2∶3∶3∶2 D.2∶4∶3∶3
7.在平行四边形ABCD中,已知∠A+∠C=100°,则∠D= °.
8.如图,在 ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE= .
9.如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
【B层 能力进阶】
10.如图,点P是 ABCD内的一点,过点P作直线EF,GH分别平行于AB,BC,与 ABCD的边分别交于E,F,G,H.则图中平行四边形的个数为( )
A.4 B.5 C.8 D.9
11.(2024·重庆期末)如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3 cm,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形,则AD的长度是( )
A.6 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
12.【易错警示题·隐含条件未挖掘】在 ABCD中,∠ADC的平分线与AB边所在直线交于点E.若AB=5,BE=1,则 ABCD的周长为( )
A.22 B.16
C.22或18 D.24或16
13.(2024·盐城期中)若E是 ABCD内任意一点, ABCD的面积是6,则阴影部分的面积是 .
14.如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= °.
15.(2024·洛阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,点H是边AB上一点,连接CH.作∠ADC的平分线DF,分别交CH,BC及AB的延长线于G,E,F.
(1)如果AB=2,AD=3,那么AF= ,BE= ;
(2)若点G恰好是线段CH的中点,求证:BF=AH.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、创新意识)(2024·自贡中考)如图,在 ABCD中,∠B=60°,AB=6 cm,BC=12 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→D运动,同时点Q从点C出发,以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动,当点P到达端点D时,点Q随之停止运动.在此运动过程中,线段PQ=CD出现的次数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6平行四边形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形的性质——对角线
1.(2023·益阳中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是( )
A.OA=OB B.OA⊥OB
C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC
2.(2024·德阳期中)在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=12,则边AD的长度x的取值范围是( )
A.2C.13.如图,在 ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为( )
A.10 B.11 C.12 D.14
4.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则 ABCD的面积为 .
5.已知:如图,点O是 ABCD对角线的交点,过点O作直线分别交AB,CD的延长线于点E,F.求证:BE=DF.
知识点2 平行四边形性质的综合运用
6.下列说法正确的是( )
A.平行四边形邻边相等
B.平行四边形对边平行
C.平行四边形对角互补
D.平行四边形既是中心对称图形,也是轴对称图形
7. (2024·西安期中)公园有一片平行四边形的绿地,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB=15 m,AD=12 m,AC⊥BC,则OC的长为 .
8.(2023·济南中考)已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF.
【B层 能力进阶】
9.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O作直线EF分别交AD,BC于点E,F,那么图中全等的三角形共有( )
A.2对 B.4对
C.6对 D.8对
10.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图, ABCD中,AB=2 cm,AD=4 cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长 cm.
12.如图, ABCD中,对角线AC,BD交于O,若∠BOC=120°,AD=7,BD=10,则S ABCD= .
13.如图,已知:在 ABCD中,DH⊥AB,垂足为H,AD=HB,点E,F分别为HB,CB的中点,连接HF,EC相交于点G.
(1)求证:GE=GF;
(2)若DH=3,HE=2,求 ABCD的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、模型观念、应用意识)如图,点O为 ABCD的对角线AC,BD的交点,∠BCO=90°,∠BOC=60°,BD=8,点E是OD上的一动点,点F是OB上的一动点(E,F不与端点重合),且DE=OF,连接AE,CF.
(1)求线段EF的长;
(2)若△OAE的面积为S1,△OCF的面积为S2,S1+S2的值是否发生变化 若不变,求出这个不变的值;若变化,请说明随着DE的增大,S1+S2的值是如何变化的.
