平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是( )
A.OC=5 B.OC=3
C.CD=3 D.CD=9
2.(2024·河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,∴① . 又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB(② ). ∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,①,②应分别为( )
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
3.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这种做法的依据是 .
4.学习完四边形的知识后,小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法,下面是具体过程.
已知:△ABC.
求作:BC边上的中线AD.
作法:如图,
①分别以点B,C为圆心,AC,AB长为半径在BC的下方作弧,两弧相交于P点;
②作直线AP,AP与BC交于D点,所以线段AD就是所求作的中线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:连接PB,PC.
∵PB=AC, ,∴四边形ABPC是平行四边形( )
(填推理的依据).
∴ ( )(填推理的依据).
∴AD是BC边上的中线.
知识点2 平行四边形判定方法的选择
5.(2024·龙岩期中)关于四边形ABCD:①两组对边分别相等;②一组对边平行且相等;③一组对边平行且另一组对边相等;④两条对角线相等.以上四种条件中,可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( )
A.①②③④ B.①③④
C.①② D.③④
6.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加合适的条件使四边形ABCD是平行四边形 .
7.(2024·广州期中)如图所示,在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求解决下列问题:
(1)通过计算判断△ABC的形状;
(2)在图中确定一个格点D,连接AD,CD,使四边形ABCD为平行四边形,并求出 ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
8.在四边形ABCD中,下列说法正确的是( )
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是平行四边形
D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是平行四边形
9. (2024·天水模拟)如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 .
10.在①AO=CO,②BO=OD,③∠BAD=∠BCD这三个条件中,选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,若 .(选择①②③中的一项)
求证:四边形ABCD是平行四边形.
11.如图所示,△ABC中,D是AB边上任意一点,F是AC中点,过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD.
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;
(2)若∠B=30°,∠CAB=45°,AC=,求AB的长.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(运算能力、应用意识、创新意识)如图所示,有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ,连接EF,GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2,S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=10,则S2= . 平行四边形的判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行线间的距离
1.如图所示,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,点E,G为垂足,则下列说法中,
错误的是( )
A.FG∥EC
B.CE=FG
C.A,B两点之间的距离就是线段AB的长
D.直线a,b之间的距离就是线段CD的长
2.已知直线m∥n,点A在m上,点B,C,D在n上,且AB=4 cm,AC=5 cm,AD=6 cm,则m与n之间的距离( )
A.等于5 cm
B.等于6 cm
C.等于4 cm
D.小于或等于4 cm
3.(2024·深圳期中)如图所示,在5×4的方格纸中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B在方格纸的格点上,在图中的格点上找到一点C,使△ABC的面积为3,则这样的点C共有几个
知识点2 平行四边形的性质与判定定理的综合应用
4.下列说法中,正确的是( )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.平行四边形的对角互补
C.有两组对边相等的四边形是平行四边形
D.平行四边形的对角线平分每一组对角
5.如图所示,△ABC平移得到△DEF,连接AD,若∠B=75°,∠EDF=80°,BC=5,CF=3,则下列说法中,错误的是( )
A.∠F=25°
B.DF=5
C.四边形ACFD是平行四边形
D.平移距离为3
6.(2024·广州期中)如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:DE+DF=AC.
【B层 能力进阶】
7.如图所示,直线a∥b,A是直线a上的一个定点,线段BC在直线b上移动,那么在移动过程中△ABC的面积( )
A.变大 B.变小
C.不变 D.无法确定
8.(2024·浙江中考)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC交BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是( )
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
9.如图所示,已知AB∥CD,AO平分∠BAC,CO平分∠ACD,OE⊥AC于点E,且OE=2,则两平行线间的距离为 .
10.如图所示,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1,DC⊥l2.现有下面四个结论:
①AB=DC,②BE=CF,③S△ABE=S△DCF,④S ABCD=S BCFE.其中,正确的结论有 (填序号).
11.(2024·南京期中)有这样的一个定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.下面经历探索与应用的过程.
探索:
已知:如图1,AD∥BC,AB∥CD.求证:AB=CD.
应用此定理进行证明求解.
应用一
已知:如图2,AD∥BC,AD应用二
已知:如图3,AD∥BC,AC⊥BD,AC=4,BD=3.求AD与BC两条线段的和.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(推理能力、应用意识、创新意识)(2023·重庆中考A卷)学行四边形后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空:
用直尺和圆规,作AC的垂直平分线交DC于点E,交AB于点F,垂足为点O.(只保留作图痕迹)
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为点O.
求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB.∴∠ECO= .
∵EF垂直平分AC,∴ .
又∠EOC= ,
∴△COE≌△AOF(ASA).
∴OE=OF.
小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题:
平行四边形上,过对角线中点的线段 . 平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形
1.(2024·石家庄期中)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
2.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,B为圆心,以BC,AC的长为半径画弧,两弧交于点D,连接AC,AD,BD,则判定四边形ADBC是平行四边形的根据是( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.(2024·济南期中)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,若要判定四边形ABCD为平行四边形,在不添加辅助线的前提下只添加一个条件,则这个条件可以为 .
4.一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形一定是 形.
知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.如图是嘉淇不完整的推理过程,为了使嘉淇的推理成立,需在四边形ABCD中添加条件,下列添加的条件正确的是( )
∵∠A+∠D=180°, ∴AB∥CD. 又∵ , ∴四边形ABCD是平行四边形.
A.∠B+∠C=180° B.AB=CD
C.∠A=∠B D.AD=BC
6.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】(2024·宿迁期中)在平面直角坐标系中,已知两点A(-1,2),B(3,2),点C在x轴上,若以A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则C点坐标是 .
7.(2024·浙江中考)尺规作图问题:
如图1,点E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.
小明:如图2.以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦,我明白了!
(1)证明AF∥CE;
(2)指出小丽作法中存在的问题.
【B层 能力进阶】
8.(2023·邵阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是( )
A.AD=BC B.∠ABD=∠BDC
C.AB=AD D.∠A=∠C
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,AC为一条对角线,且∠BAC=90°,E为BC的中点,连接AE,下列结论不正确的是( )
A.AE=BE B.AE∥DC
C.AB=DC D.AE=DC
10.(2024·永州期末)如图,将△ABC向右平移4个单位长度,得到△DEF,连接AD,BE,CF,则图中有 个平行四边形.
11.如果把平行四边形纸片ABCD沿EF折起,如图所示,当折痕EF满足 条件时,折起后由A,B,C,D四点组成的四边形仍是平行四边形.
12.(2024·安徽中考节选)如图, ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.求证:OE=OF.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、应用意识、创新意识)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6厘米,AD=9厘米,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动,点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动.当一点到达终点时,两点均停止运动.
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形 平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是(B)
A.OC=5 B.OC=3
C.CD=3 D.CD=9
2.(2024·河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,∴① . 又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB(② ). ∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,①,②应分别为(D)
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
3.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这种做法的依据是 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
4.学习完四边形的知识后,小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法,下面是具体过程.
已知:△ABC.
求作:BC边上的中线AD.
作法:如图,
①分别以点B,C为圆心,AC,AB长为半径在BC的下方作弧,两弧相交于P点;
②作直线AP,AP与BC交于D点,所以线段AD就是所求作的中线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:连接PB,PC.
∵PB=AC, ,∴四边形ABPC是平行四边形( )
(填推理的依据).
∴ ( )(填推理的依据).
∴AD是BC边上的中线.
【解析】(1)如图所示:
(2)连接PB,PC.∵PB=AC,PC=AB,
∴四边形ABPC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∴BD=DC(平行四边形的对角线互相平分).
∴AD是BC边上的中线.
知识点2 平行四边形判定方法的选择
5.(2024·龙岩期中)关于四边形ABCD:①两组对边分别相等;②一组对边平行且相等;③一组对边平行且另一组对边相等;④两条对角线相等.以上四种条件中,可以判定四边形ABCD是平行四边形的有(C)
A.①②③④ B.①③④
C.①② D.③④
6.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加合适的条件使四边形ABCD是平行四边形 OA=OC,OB=OD(答案不唯一) .
7.(2024·广州期中)如图所示,在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求解决下列问题:
(1)通过计算判断△ABC的形状;
(2)在图中确定一个格点D,连接AD,CD,使四边形ABCD为平行四边形,并求出 ABCD的面积.
【解析】(1)由题意可得,AB==,AC==2,BC==5,
∵()2+(2)2=25=52,即AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形.
(2)过点A作AD∥BC,过点C作CD∥AB,直线AD和CD的交点就是D的位置,格点D的位置如图所示,
∴ ABCD的面积为AB·AC=×2=10.
【B层 能力进阶】
8.在四边形ABCD中,下列说法正确的是(B)
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是平行四边形
D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是平行四边形
9. (2024·天水模拟)如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 24 .
10.在①AO=CO,②BO=OD,③∠BAD=∠BCD这三个条件中,选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB∥CD,若 .(选择①②③中的一项)
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】①添加AO=CO,
∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,
在△AOB与△COD中,,
∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
②添加BO=OD,同理可证明四边形ABCD是平行四边形.
③添加∠BAD=∠BCD,
∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,
∴∠BCD+∠ADC=180°,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
11.如图所示,△ABC中,D是AB边上任意一点,F是AC中点,过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD.
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;
(2)若∠B=30°,∠CAB=45°,AC=,求AB的长.
【解析】(1)∵AB∥CE,∴∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED.
∵F是AC的中点,∴AF=CF.
在△AFD与△CFE中,.
∴△AFD≌△CFE(AAS),
∴DF=EF,∴四边形ADCE是平行四边形;
(2)过点C作CG⊥AB于点G.
在△ACG中,∠AGC=90°,AC=,∠CAG=45°,∴由勾股定理得CG=AG=1.
在△BCG中,∠BGC=90°,∠B=30°,CG=1,
∴BC=2,∴BG==,
∴AB=AG+BG=+1.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(运算能力、应用意识、创新意识)如图所示,有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ,连接EF,GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2,S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=10,则S2= . 平行四边形的判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行线间的距离
1.如图所示,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,点E,G为垂足,则下列说法中,
错误的是(D)
A.FG∥EC
B.CE=FG
C.A,B两点之间的距离就是线段AB的长
D.直线a,b之间的距离就是线段CD的长
2.已知直线m∥n,点A在m上,点B,C,D在n上,且AB=4 cm,AC=5 cm,AD=6 cm,则m与n之间的距离(D)
A.等于5 cm
B.等于6 cm
C.等于4 cm
D.小于或等于4 cm
3.(2024·深圳期中)如图所示,在5×4的方格纸中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B在方格纸的格点上,在图中的格点上找到一点C,使△ABC的面积为3,则这样的点C共有几个
【解析】由图可知,AB∥x轴,且AB=3,
设点C到AB的距离为h,则S△ABC=×3h=3,解得h=2,∴点C的位置如图所示,共有6个.
知识点2 平行四边形的性质与判定定理的综合应用
4.下列说法中,正确的是(C)
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.平行四边形的对角互补
C.有两组对边相等的四边形是平行四边形
D.平行四边形的对角线平分每一组对角
5.如图所示,△ABC平移得到△DEF,连接AD,若∠B=75°,∠EDF=80°,BC=5,CF=3,则下列说法中,错误的是(B)
A.∠F=25°
B.DF=5
C.四边形ACFD是平行四边形
D.平移距离为3
6.(2024·广州期中)如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:DE+DF=AC.
【证明】∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∴DE=AF,
又AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DF∥AB,∴∠CDF=∠B,∴∠CDF=∠C,
∴DF=CF,
∴AC=AF+FC=DE+DF.
【B层 能力进阶】
7.如图所示,直线a∥b,A是直线a上的一个定点,线段BC在直线b上移动,那么在移动过程中△ABC的面积(C)
A.变大 B.变小
C.不变 D.无法确定
8.(2024·浙江中考)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC交BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是(C)
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
9.如图所示,已知AB∥CD,AO平分∠BAC,CO平分∠ACD,OE⊥AC于点E,且OE=2,则两平行线间的距离为 4 .
10.如图所示,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1,DC⊥l2.现有下面四个结论:
①AB=DC,②BE=CF,③S△ABE=S△DCF,④S ABCD=S BCFE.其中,正确的结论有 ①②③④ (填序号).
11.(2024·南京期中)有这样的一个定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.下面经历探索与应用的过程.
探索:
已知:如图1,AD∥BC,AB∥CD.求证:AB=CD.
应用此定理进行证明求解.
应用一
已知:如图2,AD∥BC,AD应用二
已知:如图3,AD∥BC,AC⊥BD,AC=4,BD=3.求AD与BC两条线段的和.
【解析】探索:
如图1,连接AC,
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
在△ABC和△CDA中,,
∴△ABC≌△CDA(ASA),
∴AB=CD;
应用一:
如图2,作DE∥AB交BC于点E,
∵AD∥BC,∴AB=DE,
∵AB=CD,∴DE=CD,
∴∠DEC=∠C,
∵DE∥AB,
∴∠B=∠DEC,
∴∠B=∠C;
应用二:
如图3,作DF∥AC交BC的延长线于点F,
∵AD∥BC,∴AC=DF,AD=CF,
∵DF∥AC,∴∠BDF=∠BEC,
∵AC⊥BD,∴∠BDF=∠BEC=90°,
在Rt△BDF中,由勾股定理得,BF=5,
故BC+AD=BC+CF=BF=5.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(推理能力、应用意识、创新意识)(2023·重庆中考A卷)学行四边形后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空:
用直尺和圆规,作AC的垂直平分线交DC于点E,交AB于点F,垂足为点O.(只保留作图痕迹)
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为点O.
求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB.∴∠ECO= .
∵EF垂直平分AC,∴ .
又∠EOC= ,
∴△COE≌△AOF(ASA).
∴OE=OF.
小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题:
平行四边形上,过对角线中点的线段 .
【解析】作图如图所示,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB.∴∠ECO=∠FAO.
∵EF垂直平分AC,∴OA=OC.
又∠EOC=∠FOA,
∴△COE≌△AOF(ASA).
∴OE=OF;
平行四边形上过对角线中点的线段被平分.
答案:∠FAO OA=OC ∠FOA 被平分平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形
1.(2024·石家庄期中)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(C)
2.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,B为圆心,以BC,AC的长为半径画弧,两弧交于点D,连接AC,AD,BD,则判定四边形ADBC是平行四边形的根据是(B)
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.(2024·济南期中)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,若要判定四边形ABCD为平行四边形,在不添加辅助线的前提下只添加一个条件,则这个条件可以为 BC=AD(答案不唯一) .
4.一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形一定是 平行四边 形.
知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.如图是嘉淇不完整的推理过程,为了使嘉淇的推理成立,需在四边形ABCD中添加条件,下列添加的条件正确的是(B)
∵∠A+∠D=180°, ∴AB∥CD. 又∵ , ∴四边形ABCD是平行四边形.
A.∠B+∠C=180° B.AB=CD
C.∠A=∠B D.AD=BC
6.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】(2024·宿迁期中)在平面直角坐标系中,已知两点A(-1,2),B(3,2),点C在x轴上,若以A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则C点坐标是 (4,0)或(-4,0) .
7.(2024·浙江中考)尺规作图问题:
如图1,点E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.
小明:如图2.以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦,我明白了!
(1)证明AF∥CE;
(2)指出小丽作法中存在的问题.
【解析】(1)根据小明的作法知,CF=AE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
又∵CF=AE,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF∥CE;
(2)以A为圆心,EC为半径画弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,只有其中之一符合题意.
故小丽的作法有问题.
【B层 能力进阶】
8.(2023·邵阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是(D)
A.AD=BC B.∠ABD=∠BDC
C.AB=AD D.∠A=∠C
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,AC为一条对角线,且∠BAC=90°,E为BC的中点,连接AE,下列结论不正确的是(C)
A.AE=BE B.AE∥DC
C.AB=DC D.AE=DC
10.(2024·永州期末)如图,将△ABC向右平移4个单位长度,得到△DEF,连接AD,BE,CF,则图中有 3 个平行四边形.
11.如果把平行四边形纸片ABCD沿EF折起,如图所示,当折痕EF满足 EF∥AB(或EF∥CD) 条件时,折起后由A,B,C,D四点组成的四边形仍是平行四边形.
12.(2024·安徽中考节选)如图, ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.求证:OE=OF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴AM∥CN,
∵AM=CN,∴四边形AMCN是平行四边形,
∴AN∥CM,∴∠OAE=∠OCF,
在△AOE与△COF中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、应用意识、创新意识)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6厘米,AD=9厘米,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动,点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动.当一点到达终点时,两点均停止运动.
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形
【解析】(1)设经过t秒四边形ABQP是平行四边形,根据题意,得AP=t厘米,CQ=2t厘米,
则BQ=(6-2t)厘米,
∵AD∥BC,∴当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,
∴t=6-2t,解得t=2,
即经过2秒四边形ABQP为平行四边形;
(2)由(1)知,经过2秒四边形ABQP是平行四边形,设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP,
根据题意,得AP=x厘米,CQ=2x厘米,
则PD=(9-x)厘米,
∵AD∥BC,∴当CQ=PD时,四边形DCQP是平行四边形,∴2x=9-x,解得x=3.
综上,经过2秒或3秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
