第六章 平行四边形(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.一个多边形的内角和与外角和的度数之比为2∶1,则这个多边形的边数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.根据图中所给的边长及角度,下列四边形中,一定可以判定为平行四边形的是( )
3.(2024·芜湖质检)如图,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则图中平行四边形的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2024·常德期末)已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b之间的距离为
5 cm,b与c之间的距离为3 cm,则a与c之间的距离是( )
A.2 cm B.8 cm
C.2 cm或8 cm D.以上都不对
5.如图,在七边形ABCDEFG中,EF,BA的延长线相交于点P,若∠ABC,∠BCD,
∠CDE,∠DEF的外角的度数和为230°,则∠P的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
6.如图,E是平行四边形内任一点,若S ABCD=8,则图中阴影部分的面积是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图, ABCD的周长为8 cm,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,连接CE,则△DCE的周长为( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC,BD于点E,P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:①∠CAD=30°;
②BD=;③S平行四边形ABCD=AB·AC;④OE=AD,正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在 ABCD中,∠D=72°,BE平分∠ABC,则∠ABE的度数是 .
10.如图,在△ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,且∠A+∠B=136°,
则∠ANM= °.
11.(2024·南阳期末)如图1,用6个全等的正六边形进行拼接,使相等的两个正六边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正六边形.如图2,用n个全等的正五边形进行拼接后,中间形成一个正n边形,则n的值等于 .
12.如图,图①是四边形纸条ABCD,其中AB∥CD,E,F分别为AB,CD上的两个点,将纸条ABCD沿EF折叠得到图②,若在图②中,∠FEM=20°,则∠MFC'为 .
13.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值是 .
14.在四边形ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,AD=6 cm,BC=10 cm,M是BC上一点,且BM=4 cm,点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动,点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t s,当t的值为 时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·杭州期末)已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°.
(1)求这个多边形的边数;
(2)如这个多边形是正多边形,则它的每一个内角是 .
16.(8分)如图,在 ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点.求证:AF=CE.
17.(8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是CD边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=FC;
(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.
18.(8分)在△ABC中,CD是△ABC的中线,E为CD的中点,过点C作CF∥AB与BE的延长线相交于点F.
(1)如图1,连接FD,判断四边形BDFC的形状并证明你的结论;
(2)如图2,连接AF,若∠ABC=90°,∠DCB=30°,求∠AFB的度数.
19.(10分)(2024·宁波期中)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点,某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下:
甲方案 乙方案
分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F
请回答下列问题:
(1)选择其中一种你认为正确的方案进行证明;
(2)在(1)的基础上,若EF=2AE,S△AED=4,求 ABCD的面积.
20.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,求AE的长.
【附加题】(10分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=6,BC=9,点P从点A出发,沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动,同时点Q从点C出发,沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动.当点Q到达点B时,点P,Q停止运动,设点Q运动时间为t秒.
(1)当t=1时,PD= ;
当t=4时,PD= ;
(2)在运动的过程中,当t为多少时,使以P,D,C,Q为顶点的四边形是平行四边形 第六章 平行四边形(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.一个多边形的内角和与外角和的度数之比为2∶1,则这个多边形的边数为(D)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.根据图中所给的边长及角度,下列四边形中,一定可以判定为平行四边形的是(B)
3.(2024·芜湖质检)如图,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则图中平行四边形的个数是(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2024·常德期末)已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b之间的距离为
5 cm,b与c之间的距离为3 cm,则a与c之间的距离是(C)
A.2 cm B.8 cm
C.2 cm或8 cm D.以上都不对
5.如图,在七边形ABCDEFG中,EF,BA的延长线相交于点P,若∠ABC,∠BCD,
∠CDE,∠DEF的外角的度数和为230°,则∠P的度数为(C)
A.40° B.45° C.50° D.55°
6.如图,E是平行四边形内任一点,若S ABCD=8,则图中阴影部分的面积是(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图, ABCD的周长为8 cm,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,连接CE,则△DCE的周长为(B)
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC,BD于点E,P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:①∠CAD=30°;
②BD=;③S平行四边形ABCD=AB·AC;④OE=AD,正确的个数是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,在 ABCD中,∠D=72°,BE平分∠ABC,则∠ABE的度数是 36° .
10.如图,在△ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,且∠A+∠B=136°,
则∠ANM= 44 °.
11.(2024·南阳期末)如图1,用6个全等的正六边形进行拼接,使相等的两个正六边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正六边形.如图2,用n个全等的正五边形进行拼接后,中间形成一个正n边形,则n的值等于 10 .
12.如图,图①是四边形纸条ABCD,其中AB∥CD,E,F分别为AB,CD上的两个点,将纸条ABCD沿EF折叠得到图②,若在图②中,∠FEM=20°,则∠MFC'为 140° .
13.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值是 6.5 .
14.在四边形ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,AD=6 cm,BC=10 cm,M是BC上一点,且BM=4 cm,点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动,点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t s,当t的值为 4或 时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·杭州期末)已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°.
(1)求这个多边形的边数;
【解析】(1)设此多边形的边数为n,则(n-2)·180°=1 440°+360°,解得n=12.
答:这个多边形的边数为12.
(2)如这个多边形是正多边形,则它的每一个内角是 150° .
【解析】(2)这个正多边形的每一个内角是:=150°.
16.(8分)如图,在 ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点.求证:AF=CE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵点E,F分别是边AB,CD的中点,
∴AE=BE=CF=DF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AF=CE.
17.(8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是CD边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=FC;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠F,
∵点E是CD边的中点,∴DE=CE,
在△AED和△FEC中,,
∴△AED≌△FEC(AAS),∴AD=FC.
(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.
【解析】(2)∵CD∥AB,∠BAF=90°,∴∠CEF=∠BAF=90°,
∵AD=FC,且AD=BC=5,∴FC=5,
∵EF=3,∴CE===4,
∴CD=2CE=2×4=8,∴CD的长为8.
18.(8分)在△ABC中,CD是△ABC的中线,E为CD的中点,过点C作CF∥AB与BE的延长线相交于点F.
(1)如图1,连接FD,判断四边形BDFC的形状并证明你的结论;
【解析】(1)四边形BDFC是平行四边形,
理由:∵E为CD的中点,∴CE=DE,
∵CF∥AB,∴∠CFB=∠FBD,∠FCE=∠CDB,∴△CFE≌△DBE(AAS),
∴CF=BD,∴四边形BDFC是平行四边形;
(2)如图2,连接AF,若∠ABC=90°,∠DCB=30°,求∠AFB的度数.
【解析】(2)∵∠ABC=90°,∠DCB=30°,∴CD=2BD,∠CDB=60°,
∵CE=DE,∴CD=2DE,∴BD=DE,∴△BDE是等边三角形,∴∠BED=60°,
∵CD是△ABC的中线,∴AD=BD,
由(1)知,EF=EB,∴DE是△ABF的中位线,∴DE∥AF,∴∠AFB=∠DEB=60°.
19.(10分)(2024·宁波期中)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点,某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下:
甲方案 乙方案
分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F
请回答下列问题:
(1)选择其中一种你认为正确的方案进行证明;
【解析】(1)甲方案:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵O是对角线AC的中点,
∴AO=CO,
∵E,F分别是AO,CO的中点,
∴AE=AO,CF=CO,
∴AE=CF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD,
∵∠BEF=180°-∠AEB,∠DFE=180°-∠CFD,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
故甲方案正确.
乙方案:
∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
∴BE∥DF,∠AEB=∠CFD=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
故乙方案正确.
(2)在(1)的基础上,若EF=2AE,S△AED=4,求 ABCD的面积.
【解析】(2)由(1)得△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,
∴OE=OF,
∴EF=2OE,
∵EF=2AE,
∴2OE=2AE,
∴OE=AE=CF=OF,
∴S△ABC=S△ADC=4S△AED=4×4=16,
∴S ABCD=2×16=32,
∴ ABCD的面积是32.
20.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,求AE的长.
【解析】∵AE为∠DAB的平分线,∴∠DAE=∠BAE,
∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,∴∠BAE=∠DFA,∴∠DAE=∠DFA,∴AD=FD,
又F为DC的中点,∴DF=CF,∴AD=DF=DC=AB=2,
在Rt△ADG中,DG=1,∴AG==,
∵DG⊥AE,AD=FD,∴AF=2AG=2,
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAF=∠E,∠ADF=∠ECF,
在△ADF和△ECF中,,
∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,则AE=2AF=4.
【附加题】(10分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=6,BC=9,点P从点A出发,沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动,同时点Q从点C出发,沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动.当点Q到达点B时,点P,Q停止运动,设点Q运动时间为t秒.
(1)当t=1时,PD= 4 ;
当t=4时,PD= 2 ;
【解析】(1)当t=1时,PD=6-2t=4;
当t=4时,PD=2t-6=2.
(2)在运动的过程中,当t为多少时,使以P,D,C,Q为顶点的四边形是平行四边形
【解析】(2)由题意知,可分两种情况:
①当CD为平行四边形的边时,则P在D点左侧,PD=6-2t,CQ=t,
∵PD=CQ,∴6-2t=t,解得t=2;
②当CD为平行四边形的对角线时,则P在D点右侧,PD=2t-6,CQ=t,
∵PD=CQ,∴2t-6=t,解得t=6,
综上所述,当t=2或6时,以P,D,C,Q为顶点的四边形是平行四边形.
