第四章 因式分解(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列各组代数式中,没有公因式的是( )
A.5m(a-b)和b-a B.(a+b)2和-a-b C.2x+y和x+y D.-a2+ab和a2b-ab2
2.(2024·长沙期末)下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是( )
A.a(x-y)=ax-ay B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.x2-4x+3=x(x-4)+3 D.x2-xy=x2(1-)
3.运用公式a2-2ab+b2=(a-b)2直接对整式9x2-12x+4进行因式分解,则公式中的a可以是( )
A.3x B.9x C.3x2 D.9x2
4.(2023·攀枝花中考)以下因式分解正确的是( )
A.ax2-a=a(x2-1) B.m3+m=m(m2+1)
C.x2+2x-3=x(x+2)-3 D.x2+2x-3=(x-3)(x+1)
5.已知m2-3m的值为5,那么代数式2 030-2m2+6m的值是( )
A.2 030 B.2 020 C.2 010 D.2 000
6.某课外密码研究小组接收到一条密文:8x(m2-n2)-8y(m2-n2).已知密码手册的部分信息如表所示:
密文 … m-n m+n x-y x+y 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文8x(m2-n2)-8y(m2-n2)用因式分解解码后,明文可能是( )
A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大
7.若4x2-kx+1能用完全平方公式分解因式,则k=( )
A.-4 B.4 C.-4或4 D.-8或8
8.三角形的三边a,b,c满足a2(b-c)+b2c-b3=0,则这个三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.把x2+5x+c分解因式,得(x+2)(x+3),则c的值为 .
10.(2024·陕西中考)分解因式:a2-ab= .
11.若a-b=2,则3a2+3b2-6ab的值为 .
12.(2024·宿州期末)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a3-ac2-ab2=0,则△ABC一定是 三角形.
13.小李在计算2 0233-2 023时,发现其计算结果能被三个连续整数整除,则这三个整数是 .
14.已知a=20x+21,b=20x+22,c=20x+23,则a2+b2+c2-ab-ac-bc= .
三、解答题(共52分)
15.(8分)因式分解:
(1)-2a3+12a2-18a;
(2)4(a-b)2-(a+b)2.
16.(8分)(2024·南阳期末)若定义一种运算:
a△b=a3-b2+ab+1,
如:2△(-3)=23-(-3)2+2×(-3)+1=8-9-6+1=-6.
(1)计算:(-x)△(1-x);
(2)将(1)计算所得的多项式分解因式;
(3)若x3-x-2=0,求(1)中计算所得的多项式的值.
17.(8分)在学习对复杂多项式进行因式分解时,老师示范了如下例题:
例:因式分解:(x2+6x+5)(x2+6x-7)+36 解:设x2+6x=y 原式=(y+5)(y-7)+36第一步 =y2-2y+1第二步 =(y-1)2第三步 =(x2+6x-1)2第四步
完成下列任务:
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ;(填序号)
①提取公因式; ②平方差公式; ③两数和的完全平方公式; ④两数差的完全平方公式.
(2)请你模仿例题因式分解:(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4.
18.(8分)如图,把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为b(b<)厘米的小正方形,折成一个无盖的正方体纸盒.
(1)①用含a,b的式子表示纸片(阴影部分)的面积;
②当a=6.4,b=1.8时,利用分解因式法计算阴影部分的面积.
(2)当a+2b=8,ab=2时,求出纸盒的底面积.
19.(10分)认真观察下面这些算式:
①32-12=8=8×1,
②52-32=16=8×2,
③72-52=24=8×3,
④92-72=32=8×4,
…
完成下列问题:
(1)照上面的规律,算式⑤为 ;
(2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”,若记算式中的前一个奇数为2n+1,请用含n的式子表示这个规律,并证明;
(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确.
20.(10分)阅读下列材料:
材料1:将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时,如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).
①x2+4x+3=(x+1)(x+3);
②x2-4x-12=(x-6)(x+2).
材料2:分解因式:(x+y)2+2(x+y)+1,
解:将“x+y”看成一个整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2,
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到“整体思想”,整体思想是数学解题中常见的一种思想方法,结合材料1和材料2,完成下面小题:
(1)分解因式:(x-y)2+4(x-y)+3.
(2)分解因式:k(k+2)(k2+2k-2)-3.
【附加题】(10分)
阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.
解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
∴(m-n)2+(n-4)2=0,
∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0,∴(m-n)2=0,(n-4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)a2+b2-4a+4=0,则a= 2 ;b= 0 .
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,关于此三角形形状的命题:
①它是等边三角形;②它属于等腰三角形;③它属于锐角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为 ①②③④ .
(3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且a2+b2-2a-6b+10=0,求△ABC的周长.第四章 因式分解(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列各组代数式中,没有公因式的是(C)
A.5m(a-b)和b-a B.(a+b)2和-a-b C.2x+y和x+y D.-a2+ab和a2b-ab2
2.(2024·长沙期末)下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是(B)
A.a(x-y)=ax-ay B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.x2-4x+3=x(x-4)+3 D.x2-xy=x2(1-)
3.运用公式a2-2ab+b2=(a-b)2直接对整式9x2-12x+4进行因式分解,则公式中的a可以是(A)
A.3x B.9x C.3x2 D.9x2
4.(2023·攀枝花中考)以下因式分解正确的是(B)
A.ax2-a=a(x2-1) B.m3+m=m(m2+1)
C.x2+2x-3=x(x+2)-3 D.x2+2x-3=(x-3)(x+1)
5.已知m2-3m的值为5,那么代数式2 030-2m2+6m的值是(B)
A.2 030 B.2 020 C.2 010 D.2 000
6.某课外密码研究小组接收到一条密文:8x(m2-n2)-8y(m2-n2).已知密码手册的部分信息如表所示:
密文 … m-n m+n x-y x+y 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文8x(m2-n2)-8y(m2-n2)用因式分解解码后,明文可能是(D)
A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大
7.若4x2-kx+1能用完全平方公式分解因式,则k=(C)
A.-4 B.4 C.-4或4 D.-8或8
8.三角形的三边a,b,c满足a2(b-c)+b2c-b3=0,则这个三角形的形状是(A)
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.把x2+5x+c分解因式,得(x+2)(x+3),则c的值为 6 .
10.(2024·陕西中考)分解因式:a2-ab= a(a-b) .
11.若a-b=2,则3a2+3b2-6ab的值为 12 .
12.(2024·宿州期末)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a3-ac2-ab2=0,则△ABC一定是 直角 三角形.
13.小李在计算2 0233-2 023时,发现其计算结果能被三个连续整数整除,则这三个整数是 2 022,2 023,2 024 .
14.已知a=20x+21,b=20x+22,c=20x+23,则a2+b2+c2-ab-ac-bc= 3 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)因式分解:
(1)-2a3+12a2-18a;
(2)4(a-b)2-(a+b)2.
【解析】(1)原式=-2a(a2-6a+9)=-2a(a-3)2;
(2)原式=[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+b)]
=(2a-2b+a+b)(2a-2b-a-b)
=(3a-b)(a-3b).
16.(8分)(2024·南阳期末)若定义一种运算:
a△b=a3-b2+ab+1,
如:2△(-3)=23-(-3)2+2×(-3)+1=8-9-6+1=-6.
(1)计算:(-x)△(1-x);
(2)将(1)计算所得的多项式分解因式;
(3)若x3-x-2=0,求(1)中计算所得的多项式的值.
【解析】(1)由题意,得(-x)△(1-x)=
(-x)3-(1-x)2+(-x)(1-x)+1
=-x3-1+2x-x2-x+x2+1
=-x3+x;
(2)-x3+x=-x(x2-1)=-x(x+1)(x-1);
(3)∵x3-x-2=0,
∴x3-x=2,
∴-x3+x=-(x3-x)=-2.
17.(8分)在学习对复杂多项式进行因式分解时,老师示范了如下例题:
例:因式分解:(x2+6x+5)(x2+6x-7)+36 解:设x2+6x=y 原式=(y+5)(y-7)+36第一步 =y2-2y+1第二步 =(y-1)2第三步 =(x2+6x-1)2第四步
完成下列任务:
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ④ ;(填序号)
①提取公因式; ②平方差公式; ③两数和的完全平方公式; ④两数差的完全平方公式.
【解析】(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式.
(2)请你模仿例题因式分解:(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4.
【解析】(2)(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4
设a2-4a=x,
原式=(x+2)(x+6)+4
=x2+8x+16
=(x+4)2
=(a2-4a+4)2
=(a-2)4.
18.(8分)如图,把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为b(b<)厘米的小正方形,折成一个无盖的正方体纸盒.
(1)①用含a,b的式子表示纸片(阴影部分)的面积;
②当a=6.4,b=1.8时,利用分解因式法计算阴影部分的面积.
【解析】(1)①由题图得:纸片(阴影部分)的面积为(a2-4b2)平方厘米;
②∵a=6.4,b=1.8,
∴a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(6.4+2×1.8)×(6.4-2×1.8)=10×2.8=28(平方厘米);
(2)当a+2b=8,ab=2时,求出纸盒的底面积.
【解析】(2)∵a+2b=8,ab=2,
∴纸盒的底面积为(a-2b)2=a2-4ab+4b2=(a+2b)2-8ab=82-8×2=48(平方厘米).
19.(10分)认真观察下面这些算式:
①32-12=8=8×1,
②52-32=16=8×2,
③72-52=24=8×3,
④92-72=32=8×4,
…
完成下列问题:
(1)照上面的规律,算式⑤为 ;
【解析】(1)①32-12=8=8×1,
②52-32=16=8×2,
③72-52=24=8×3,
④92-72=32=8×4,
∴⑤112-92=40=8×5;
答案:112-92=40=8×5
(2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”,若记算式中的前一个奇数为2n+1,请用含n的式子表示这个规律,并证明;
【解析】(2)这个规律为(2n+1)2-(2n-1)2=8n,
证明:(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n;
(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确.
【解析】(3)“两个连续偶数的平方差能被8整除”的说法不正确,理由如下:
设两个连续偶数为2n,2n+2,
∴(2n+2)2-(2n)2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4(2n+1),
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数,而不是8的倍数,不能被8整除,
∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”的说法不正确.
20.(10分)阅读下列材料:
材料1:将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时,如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).
①x2+4x+3=(x+1)(x+3);
②x2-4x-12=(x-6)(x+2).
材料2:分解因式:(x+y)2+2(x+y)+1,
解:将“x+y”看成一个整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2,
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到“整体思想”,整体思想是数学解题中常见的一种思想方法,结合材料1和材料2,完成下面小题:
(1)分解因式:(x-y)2+4(x-y)+3.
【解析】(1)设M=x-y,则(x-y)2+4(x-y)+3=M2+4M+3=(M+1)(M+3),
∴原式=(x-y+1)(x-y+3);
(2)分解因式:k(k+2)(k2+2k-2)-3.
【解析】(2)设N=k2+2k,则k(k+2)(k2+2k-2)-3=N(N-2)-3=N2-2N-3=(N+1)(N-3),
∴原式=(k2+2k+1)(k2+2k-3)=(k+1)2(k-1)(k+3).
【附加题】(10分)
阅读材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.
解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
∴(m-n)2+(n-4)2=0,
∵(m-n)2≥0,(n-4)2≥0,∴(m-n)2=0,(n-4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)a2+b2-4a+4=0,则a= 2 ;b= 0 .
【解析】(1)∵a2+b2-4a+4=0,∴(a2-4a+4)+b2=0,∴(a-2)2+b2=0,
又∵(a-2)2≥0,b2≥0,∴a-2=0且b=0,∴a=2且b=0.
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,关于此三角形形状的命题:
①它是等边三角形;②它属于等腰三角形;③它属于锐角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正确命题的序号为 ①②③④ .
【解析】(2)∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,
∴(a2-2ab+b2)+(c2-2bc+b2)=0,
∴(a-b)2+(c-b)2=0,
又∵(a-b)2≥0且(c-b)2≥0,∴a=b,b=c,∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.
(3)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且a2+b2-2a-6b+10=0,求△ABC的周长.
【解析】(3)∵a2+b2-2a-6b+10=0,∴(a2-2a+1)+(b2-6b+9)=0,
∴(a-1)2+(b-3)2=0,
又∵(a-1)2≥0,(b-3)2≥0,∴a-1=0,b-3=0,∴a=1,b=3,
在△ABC中,a,b,c分别为三角形的三边,
∵b-a又∵c是正整数,∴c=3,
∴当c=3时,△ABC的周长为:a+b+c=1+3+3=7.
