第五章 分式与分式方程(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在式子,,(x-y),9x+中,分式的个数为(B)
A.4 B.3 C.2 D.1
2.要使分式有意义,则x的取值为(B)
A.x≠3 B.x≠-3 C.x>0 D.x>-3
3.若=A(m≠n),则A可以是(C)
A. B. C. D.
4.下列分式中,是最简分式的是(A)
A. B. C. D.
5.(2024·南京期末)若÷运算的结果为整式,则“ ”中的式子可能是(D)
A.y-x B.y+x C. D.3x
6.若x为正整数,则表示(x+)÷的值的点落在图中的 区域(B)
A.① B.② C.③ D.④
7.(2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是(C)
A.-=10 B.-=10 C.-=10 D.-=10
8.若关于x的方程-2=的解为正数,则m的取值范围是(D)
A.m>- B. m<
C.m>-且m≠0 D. m<且m≠
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.分式,的最简公分母为 abx2 .
10.(2024·南充中考)计算-的结果为 1 .
11.分式的值比分式的值大3,则x为 1 .
12.(2024·成都模拟)已知4a+b=0,则代数式1-÷的值为 - .
13.某水果店搞促销活动,对某种水果打8折出售,若用40元钱买这种水果,可以比打折前多买2斤,则该水果打折前的价格为 5 元/斤.
14.(2024·安阳模拟)如果关于x的方程+=2无解,则a的值为 1或2 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·乐山中考)先化简,再求值:-,其中x=3.小乐同学的计算过程如下:
解:-
=-…①
=-…②
=…③
=…④
=…⑤
当x=3时,原式=1.
(1)小乐同学的解答过程中,第 ③ 步开始出现了错误;
【解析】(1)第③步开始出现了错误,分子应该是2x-x-2.
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
【解析】(2)-=-=-===,
当x=3时,原式=.
16.(8分)解分式方程:(1)-=0; (2)=.
【解析】(1)去分母,得3(x-2)-2x=0.
去括号,得3x-6-2x=0.
移项,得3x-2x=6.
合并同类项,得x=6.
经检验:当x=6时,x(x-2)≠0.
∴这个分式方程的解为x=6.
(2)=,
两边都乘(x+1)(x-1),得2(x+1)=4,解得x=1,
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴x=1是分式方程的增根,原方程无解.
17.(8分)(2024·遂宁中考)先化简: (1-)÷,再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
【解析】(1-)÷=÷=×=x-1,
∵x-1≠0且x-2≠0,∴x≠1且x≠2,
当x=3时,原式=2.
18.(8分)已知关于x的方程+=3.
(1)当m取何值时,此方程的解为x=3
【解析】(1)将x=3代入分式方程得:6+m=3,解得m=-3;
(2)当m取何值时,此方程会产生增根
【解析】(2)去分母得:2x+m=3(x-2),
将x=2代入整式方程得:4+m=0,即m=-4.
∴当m=-4时,此方程会产生增根.
19.(10分)观察下面的等式:=+,=+,=+,….
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数);
【解析】(1)观察规律可得:=+;
(2)请运用分式的有关知识,推理说明这个结论是正确的.
【解析】(2)∵+=+ = =,
∴=+.
20.(10分)(2024·天津模拟)为推进全民健身设施建设,某体育中心准备扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工,具体信息如下:
信息一
工程队 每天施工面积(单位:m2) 每天施工费用(单位:元)
甲 x+200 3 000
乙 x 2 000
信息二
甲工程队施工1 500 m2所需天数与乙工程队施工900 m2所需天数相等.
(1)求x的值;
【解析】(1)根据题意得:=,解得:x=300,
经检验,x=300是所列方程的解,且符合题意,∴x的值为300;
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天,再由乙工程队单独继续施工,两队共施工20天,且完成的施工面积不少于7 000 m2.求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用.
【解析】(2)设甲工程队单独施工m天,则乙工程队单独施工(20-m)天,
根据题意得:(300+200)m+300(20-m)≥7 000,解得:m≥5,
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用,则w=3 000m+2 000(20-m),
即w=1 000m+40 000,
∵1 000>0,∴w随m的增大而增大,
∴当m=5时,w取得最小值,最小值为1 000×5+40 000=45 000.
答:该段时间内体育中心至少需要支付45 000元施工费用.
【附加题】(10分)
(2024·深圳期中)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为90万元,今年销售额只有80万元.
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元
【解析】(1)设今年5月份A款汽车每辆售价x万元.
根据题意得:=,
解得:x=8,
经检验,x=8是原方程的解.
所以今年5月份A款汽车每辆售价8万元;
(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知A款汽车每辆进价为7.5万元,B款汽车每辆进价为6万元,公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆,有哪几种进货方案
【解析】(2)设A款汽车购进y辆,则B款汽车购进(15-y)辆.
根据题意得:,
解得:6≤y≤10,
所以有5种方案:方案一:A款汽车购进6辆;B款汽车购进9辆;
方案二:A款汽车购进7辆;B款汽车购进8辆;
方案三:A款汽车购进8辆;B款汽车购进7辆;
方案四:A款汽车购进9辆;B款汽车购进6辆;
方案五:A款汽车购进10辆;B款汽车购进5辆.第五章 分式与分式方程(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在式子,,(x-y),9x+中,分式的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.要使分式有意义,则x的取值为( )
A.x≠3 B.x≠-3 C.x>0 D.x>-3
3.若=A(m≠n),则A可以是( )
A. B. C. D.
4.下列分式中,是最简分式的是( )
A. B. C. D.
5.(2024·南京期末)若÷运算的结果为整式,则“ ”中的式子可能是( )
A.y-x B.y+x C. D.3x
6.若x为正整数,则表示(x+)÷的值的点落在图中的 区域( )
A.① B.② C.③ D.④
7.(2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是( )
A.-=10 B.-=10 C.-=10 D.-=10
8.若关于x的方程-2=的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m>- B. m<
C.m>-且m≠0 D. m<且m≠
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.分式,的最简公分母为 .
10.(2024·南充中考)计算-的结果为 .
11.分式的值比分式的值大3,则x为 .
12.(2024·成都模拟)已知4a+b=0,则代数式1-÷的值为 .
13.某水果店搞促销活动,对某种水果打8折出售,若用40元钱买这种水果,可以比打折前多买2斤,则该水果打折前的价格为 元/斤.
14.(2024·安阳模拟)如果关于x的方程+=2无解,则a的值为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·乐山中考)先化简,再求值:-,其中x=3.小乐同学的计算过程如下:
解:-
=-…①
=-…②
=…③
=…④
=…⑤
当x=3时,原式=1.
(1)小乐同学的解答过程中,第 步开始出现了错误;
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
16.(8分)解分式方程:(1)-=0; (2)=.
17.(8分)(2024·遂宁中考)先化简: (1-)÷,再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
18.(8分)已知关于x的方程+=3.
(1)当m取何值时,此方程的解为x=3
(2)当m取何值时,此方程会产生增根
19.(10分)观察下面的等式:=+,=+,=+,….
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数);
(2)请运用分式的有关知识,推理说明这个结论是正确的.
20.(10分)(2024·天津模拟)为推进全民健身设施建设,某体育中心准备扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工,具体信息如下:
信息一
工程队 每天施工面积(单位:m2) 每天施工费用(单位:元)
甲 x+200 3 000
乙 x 2 000
信息二
甲工程队施工1 500 m2所需天数与乙工程队施工900 m2所需天数相等.
(1)求x的值;
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天,再由乙工程队单独继续施工,两队共施工20天,且完成的施工面积不少于7 000 m2.求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用.
【附加题】(10分)
(2024·深圳期中)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为90万元,今年销售额只有80万元.
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元
(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知A款汽车每辆进价为7.5万元,B款汽车每辆进价为6万元,公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆,有哪几种进货方案
