第一章 三角形的证明(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是(A)
A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法
2.(2024·九江期末)在△ABC中a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是(C)
A.a∶b∶c=5∶12∶13 B.a∶b∶c=1∶∶
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.∠A+∠B=∠C
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是(C)
A.∠ADC=90° B.DE=DF C.AD=BC D.BD=CD
4.如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,分别以点A、点B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是(B)
A.20° B.30° C.40° D.50°
5.(2023·德阳中考)如图,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点F是AB边的中点,则DF=(A)
A. B. C.2 D.1
6.(2024·保定期末)题目:“如图,∠AOB=60°,C是射线OB反向延长线上的一点,OC=8 cm,动点P从点C出发沿CB以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以2 cm/s的速度移动,已知点P,Q同时出发,t(s)表示移动的时间,若△POQ是等腰三角形,求t的值.”对于其答案,甲答:“t=.”乙答:“t=8.”则正确的是(C)
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.甲、乙合在一起才正确 D.甲、乙合在一起也不正确
7.如图,计划在一块等边三角形的空地上种植花卉,以美化环境.若AB=10米,则这个等边三角形的面积为(A)
A.25平方米 B.50平方米
C.75平方米 D.100平方米
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在
∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,则BD的长为(D)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,已知在Rt△ABC中,∠A=90°,EF∥BC,若∠1=50°,则∠C的度数为 40° .
10.(2023·攀枝花中考)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= 10° .
11.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,AB=AC=13,点B,C的坐标分别是(8,12),(8,2),则点A的坐标是 (-4,7) .
12.等边三角形ABC中,D是边BC上的一点,BD=2CD,以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.若CE=2,则等边三角形ABC的边长为 3 .
13.如图,△ABC的面积为18 cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,则△PBC的面积为 9 cm2 .
14.如图,等边三角形ABC的边长为6 cm,动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧,当点D落在BC边上时,点P需移动 1 s.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
【解析】(1)∵∠BAC=90°=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)若∠BAD=22.5°,求BD的长.
【解析】(2)∵∠BAC=90°,AB=AC=1,
∴BC=,∠B=∠ACB=45°,
∵∠BAD=22.5°,∴∠ADC=67.5°=∠CAD,
∴AC=CD=1,∴BD=-1.
16.(8分)(2024·聊城期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
(1)试说明AD垂直平分EF;
【解析】(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
∴DE=DF,
在Rt△AED与Rt△AFD中,,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF,
∵DE=DF,∴AD垂直平分EF;
(2)若AB=8,AC=6,S△ABC=28,求DE的长.
【解析】(2)∵DE=DF,S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=DE(AB+AC)=28,
∵AB=8,AC=6,∴DE=4.
17.(8分)(1)如图①,在△ABC中,EF∥BC,点D在EF上,BD,CD分别平分∠ABC,
∠ACB,若已知BE=5,CF=3,求EF的长度;
(2)如图②,点B,C,G在同一直线上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACG,DE∥BC交AB于点E,交AC于点F,直接写出线段EF与BE,CF的数量关系.
【解析】(1)∵BD为∠ABC的平分线,∴∠EBD=∠CBD,
又∵EF∥BC,∴∠EDB=∠CBD,∴∠EBD=∠EDB,∴BE=ED=5,同理CF=FD=3,
又∵EF=ED+FD,∴EF=BE+CF=8.
(2)EF=BE-CF,理由如下:
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACG,∴∠DBE=∠CBD,∠DCF=∠DCG,
∵DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD,∠CDF=∠DCG,∴∠BDE=∠DBE,∠CDF=
∠DCF,
∴BE=DE,CF=DF,∴EF=DE-DF=BE-CF.
18.(8分)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB.
【解析】(1)∵BD是△ABC的角平分线,∴∠CBD=∠EBD,
∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
【解析】(2)CD=ED,理由如下:
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE,
由(1)得,∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.
19.(10分)(2024·承德期末)机器人AD在水平线路BC间(不含B,C)往返运动,BC=10,D为BC上动点,AD⊥BC,AD=6,连接AB,AC.
(1)机器人在运动的过程中,△ABC的周长是否改变 改变(填“改变”或“不变”);△ABC的面积是否改变 不变(填“改变”或“不变”).
【解析】(1)设BD为x.
∵BC=10,
∴CD=BC-BD=10-x,
∵AD⊥BC,AD=6,BD=x,CD=10-x,
∴AB==,
AC==,
∴△ABC的周长为:
AB+AC+BC=++10,
∴△ABC的周长在机器人运动的过程中会发生改变.
∵△ABC的面积S=AD×BC,AD=6,BC=10,
∴S=×6×10=30,
∴△ABC的面积在机器人运动的过程中不会发生改变.
(2)机器人运动到BC中点时,判断△ABC的形状,并说明理由.
【解析】(2)当机器人运动到BC中点时,△ABC是等腰三角形.理由如下:
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∵D为BC中点,
∴BD=DC,
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形;
(3)机器人运动的过程中,△ABC为等腰三角形,点D的位置有3处.
【解析】(3)△ABC为等腰三角形分三种:
当AC=BC=10时,∵AD=6,∠ADC=90°,
∴DC===8,BD=BC-DC=2,
∵∠ADB=90°,
∴AB===2,
根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可以判断出,此时存在等腰三角形△ABC,
当AB=BC=10时,同理可得:AC=2,此时也存在等腰三角形△ABC,
当AB=AC时,根据(2)可知,此时△ABC是等腰三角形.
20.(10分)如图,在△ABC中,AB=20 cm,BC=16 cm,点D为线段AB的中点,动点P以2 cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动,同时点Q以a cm/s的速度从C点出发在线段CA上运动,设运动时间为t(s).
(1)若AB=AC,P在线段BC上,求当a为何值时,能够使△BPD和△CQP全等
【解析】(1)由题意得BP=2t cm,CQ=at cm,则CP=(16-2t)cm,∵AB=AC,∴∠B=
∠C,
当△BPD≌△CQP,即BP=CQ时,则2t=at,∴a=2;
当△BPD≌△CPQ,即BP=CP,BD=CQ时,
∵D是AB的中点,∴BD=10 cm,∴,∴a=,
综上所述,当a=2或a=时,能够使△BPD和△CQP全等;
(2)若∠B=60°,求点P出发多长时间后,△BDP为直角三角形
【解析】(2)如图1所示,当∠BPD=90°时,
∵∠B=60°,∴∠BDP=30°,∴BD=2BP,∴4t=10,∴t=2.5;
如图2所示,当∠BDP=90°时,同理可得∠BPD=30°,
∴BP=2BD,∴2t=20,∴t=10,∴点P出发2.5 s或10 s后,△BDP为直角三角形.
【附加题】(10分)
在平面直角坐标系xOy中,A(m,0),B(0,m),其中m>0.
(1)若点C(4,3)在第一象限,AB⊥AC,求m的值;
【解析】(1)过点C作CH⊥x轴于点H,如图1所示:
∵A(m,0),B(0,m),其中m>0.
∴OA=OB=m,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠OAB=45°,
∵AB⊥AC,∴∠CAH=45°,
∴△ACH为等腰直角三角形,
∴AH=CH,
∵点C(4,3),∴OH=4,CH=3,
∴AH=4-m,∴4-m=3,
解得m=1;
(2)点D为x轴正半轴上一个动点,OD=t,点E的坐标为(n,t),n>t>m,若BD=ED,则在点D运动的过程中,∠EAD的大小是否发生变化 若不变,请求出∠EAD的度数;若变化,请说明∠EAD的大小变化过程.
【解析】(2)∵点D为x轴正半轴上一个动点,OD=t,点E(n,t),n>t>m,∴点D(t,0),且点D在点A的右侧,点E在第一象限,
过点E作EM⊥x轴于点M,如图2所示:
∵OA=OB=m,OD=t,
∴AD=OD-OA=t-m,
∵点E(n,t),∴EM=t,∴OD=EM,
在Rt△ODB和Rt△MED中,,
∴Rt△ODB≌Rt△MED(HL),
∴OB=MD=m,
∴AM=AD+MD=t-m+m=t,
∴AM=EM=t,
∴△AME为等腰直角三角形,
∴∠EAD=45°.
∴在点D运动的过程中,∠EAD的大小不发生变化,始终是45°.第一章 三角形的证明(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( )
A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法
2.(2024·九江期末)在△ABC中a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.a∶b∶c=5∶12∶13 B.a∶b∶c=1∶∶
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.∠A+∠B=∠C
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=90° B.DE=DF C.AD=BC D.BD=CD
4.如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,分别以点A、点B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
5.(2023·德阳中考)如图,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点F是AB边的中点,则DF=( )
A. B. C.2 D.1
6.(2024·保定期末)题目:“如图,∠AOB=60°,C是射线OB反向延长线上的一点,OC=8 cm,动点P从点C出发沿CB以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以2 cm/s的速度移动,已知点P,Q同时出发,t(s)表示移动的时间,若△POQ是等腰三角形,求t的值.”对于其答案,甲答:“t=.”乙答:“t=8.”则正确的是( )
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.甲、乙合在一起才正确 D.甲、乙合在一起也不正确
7.如图,计划在一块等边三角形的空地上种植花卉,以美化环境.若AB=10米,则这个等边三角形的面积为( )
A.25平方米 B.50平方米
C.75平方米 D.100平方米
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在
∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,则BD的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,已知在Rt△ABC中,∠A=90°,EF∥BC,若∠1=50°,则∠C的度数为 .
10.(2023·攀枝花中考)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= .
11.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,AB=AC=13,点B,C的坐标分别是(8,12),(8,2),则点A的坐标是 .
12.等边三角形ABC中,D是边BC上的一点,BD=2CD,以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.若CE=2,则等边三角形ABC的边长为 .
13.如图,△ABC的面积为18 cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,则△PBC的面积为 .
14.如图,等边三角形ABC的边长为6 cm,动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧,当点D落在BC边上时,点P需移动 s.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠BAD=22.5°,求BD的长.
16.(8分)(2024·聊城期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
(1)试说明AD垂直平分EF;
(2)若AB=8,AC=6,S△ABC=28,求DE的长.
17.(8分)(1)如图①,在△ABC中,EF∥BC,点D在EF上,BD,CD分别平分∠ABC,
∠ACB,若已知BE=5,CF=3,求EF的长度;
(2)如图②,点B,C,G在同一直线上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACG,DE∥BC交AB于点E,交AC于点F,直接写出线段EF与BE,CF的数量关系.
18.(8分)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB.
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
19.(10分)(2024·承德期末)机器人AD在水平线路BC间(不含B,C)往返运动,BC=10,D为BC上动点,AD⊥BC,AD=6,连接AB,AC.
(1)机器人在运动的过程中,△ABC的周长是否改变 (填“改变”或“不变”);△ABC的面积是否改变 (填“改变”或“不变”).
(2)机器人运动到BC中点时,判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)机器人运动的过程中,△ABC为等腰三角形,点D的位置有 处.
20.(10分)如图,在△ABC中,AB=20 cm,BC=16 cm,点D为线段AB的中点,动点P以2 cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动,同时点Q以a cm/s的速度从C点出发在线段CA上运动,设运动时间为t(s).
(1)若AB=AC,P在线段BC上,求当a为何值时,能够使△BPD和△CQP全等
(2)若∠B=60°,求点P出发多长时间后,△BDP为直角三角形
【附加题】(10分)
在平面直角坐标系xOy中,A(m,0),B(0,m),其中m>0.
(1)若点C(4,3)在第一象限,AB⊥AC,求m的值;
(2)点D为x轴正半轴上一个动点,OD=t,点E的坐标为(n,t),n>t>m,若BD=ED,则在点D运动的过程中,∠EAD的大小是否发生变化 若不变,请求出∠EAD的度数;若变化,请说明∠EAD的大小变化过程.
