2024-2025学年九年级下学期数学（浙教版）期中押题卷（含解析）

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2024-2025学年九年级下册期中考试（浙教版）
数学
考试范围：第1章-第2章 考试时间：100分钟 分值;120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑，不选、多选、错选，均不给分)
1．有理数在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
2． 中国的太空空间站离地球大约400000米，则近似数400000用科学记数法表示，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．x2＋x3＝x5 B．x2 x4＝x8 C．x6÷x2＝x3 D．（x2）3＝x6
4．如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．不确定
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在梯形中，，，是对角线的中点，直线交于点，则（　　）
A．2 B． C． D．1
10．已知二次函数y=2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式：　 　．
12．袋子里有四个完全相同的球，球上分别标有数字，随机摸出一个球，记下数字为，不放回，再随机摸出一个球，记下数字为，则的图象经过第三象限的概率为　 　.
13．如图，已知，添加一个条件　 　，使(写出一个即可).
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点，与BC相交于点，若点的坐标为的面积是，则的值为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，是射线上的动点，过点作轴，作轴，垂足分别为，，若四边形的周长是14，则点的坐标为　 　．
16．如图，在中，，，，点D为的中点，点E是线段上一动点，把沿直线翻折，点A的对称点是F，连结，若，则的长是　 　.
三、解答题(本大题共8小题，计72分，其中第17，18题各6分，第19，20题各8分，第21，22题各10分，第23，24题各12分，)
17．计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（ ）﹣2+ ．
18．小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为1得：⑤
是原分式方程的解⑥
19．如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）连接，那么相等吗？请说明理由．
20．为了提升学生对新型冠状病毒的防范意识，我市某重点中学对2022级全年级1 800人进行了新型冠状病毒防护安全知识测试(满分100分).测试完后，从A、B两班(每班均为60名学生)分别抽取了12份成绩，整理分析过程如下，请补充完整.
【收集数据】
A班介于85分与95分之间(含85分，不含95分)的学生测试成绩如下：
85，94，94，93，89，87.
B班12名学生测试成绩统计如下：
79，99，88，92，77，97，83，94，91，98，94，100.
【整理数据】
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
　组别 班级　 75≤x <80 80≤x <85 85≤x <90 90≤x <95 95≤x ≤100
A 0 1 a 3 b
B 2 1 1 4 4
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
班级 众数 中位数 平均数 方差
A 100 c 91 43.7
B 94 d 91 55.2
（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　.
（2）若规定得分在90分及以上为优秀，请估计全年级的学生中知识测试优秀的学生有多少人.
（3）你认为哪个班的学生知识测试的整体水平较好 请说明一条理由.
21．如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图2所示，．
（1）当杯子盖上时，吸管绕点O按顺时针方向转动到处，求扫过的面积．
（2）当杯子绕点C按顺时针方向转动到与水平线平行时（如图3）．
①求杯子与水平线的夹角的度数．
②由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到，参考数据：）
22．小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
（2）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．
23．阅读：如图1，点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，长度为5，则根据：，得到点P到点A的最短距离为：．
解决问题：
（1）如图2，已知正方形的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P．
①证明：．
②求点P到点C的最短距离．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，等边的边在x轴正半轴上，点，，点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，连接，交点为F，M是y轴上一点，求的最小值．
24．如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），点D是上一点，连接CD交AB于E．
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求的大小；
（2）如图2，若点B恰好是中点，求证：；
（3）如图3，将CD分别沿BC、AC翻折到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，若是请求出这个值，若不是，请说明理由；
答案解析部分
1．A
解：由数轴知：a＜0＜b，且＞，
∴ ，，，，
∴B、C、D项错误，A项正确.
故答案为：A.
由数轴知a＜0＜b，且＞，利用有理数的乘除法则、加减法则分别判断即可.
2．C
解：由题意得400000=
故答案为： C
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．D
解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，A选项错误；
B、x2 x4=x6≠x8，B选项错误；
C、x6÷x2=x4≠x3，C选项错误．
D、（x2）3=x6，D选项正确．
故答案为：D.
分别根据同底数幂的乘法与除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可。
4．D
5．B
解：如图所示，
在等边中，，
∵DE∥BH∥FG，，
∴，∠2=∠HBC
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
先由等边三角形性质，得到∠ABC=60°，再由平行线性质，推出，∠2=∠HBC，再通过把∠ABC进行拆分，即可推出∠2的度数。
6．A
7．C
解：设绳子长尺，木长尺，
根据题意可得：，
故答案为：C.
设绳子长尺，木长尺，根据“ 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺 ”列出方程组即可.
8．D
解：∵要使有意义，
必须，解得
∵是整数，
∴n只能是3或8或11或12，
∴满足条件的n有4个
故答案为：D．
根据二次根式有意义的条件求出，在此范围内要使是整数，可知n只能是3或8或11或12，继而得解.
9．C
解：延长交的延长线于点，连接，如图，
，是对角线的中点，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
故答案为：C
延长交的延长线于点，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再进行边之间的转换即可求出答案.
10．C
解：∵二次函数y=2x2﹣12x+19=2（x﹣3）2+1，
∴开口向上，顶点为（3，1），对称轴为直线x=3，有最小值1，当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小；
∴C选项正确．
故答案为：C．
先利用配方法的计算方法及步骤将二次函数的一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐项分析判断即可.
11．
xy2+6xy+9x=x(y2+6y+9)=x(y+3)2
故答案为：x(y+3)2。
先提公因式x，再用完全平方公式分解即可。
12．
解：∵y=kx+b的图象经过第三象限时，
∴k>0或k<0，b<0，
树状图如下，
由上可得，一共存在12种等可能性，其中y=kx+b的图象经过第三象限的有8种可能性，
∴y=kx+b的图象经过第三象限的概率为，
故答案为：.
根据一次函数的性质可知：当k>0或k<0，b<0时，y=kx+b的图象经过第三象限，然后画出相应的树状图，即可求得相应的概率.
13．（答案不唯一）
14．2
解：由题意可知点M的坐标为（4，），点N的坐标为（，2，），则BM=2-，BN=4-，
由反比例函数k值的几何意义可得：S△OCN+S△OAM=k，
∴S△BMN=S矩形OABC-k-，
(2 )(4 )=8-k-，
解得：k=2．
故答案为：2．
根据题意和反比例函数的几何意义，列出S△BMN=S矩形OABC-k-，导入数据计算即可。
15．或
16．1
解：∵在中，，，，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
由折叠性质得，，，
∴则点F在以点D为圆心，5为半径的圆上运动，
∵，，
∴，则，
取中点H，连接、，设与相交于点P，
则，，，
∴，又，
∴，
∴，又，
∴，
∴即，
∴，
设，
∵，
∴即，
解得，即.
故答案为：1.
利用勾股定理可得AC的值，由中点的概念可得AD=5，根据折叠的性质可得DF=AD=5，AE=EF，∠A=∠F，则点F在以点D为圆心，5为半径的圆上运动，取AB的中点H，连接AF、DH，设DF与AB相交于点P，则HD=BC=3，AH=AB=4，HD∥BC，证明△HAD∽△EFP，△HAD∽△HDP，根据相似三角形的性质可得HP，设AE=EF=x，然后根据相似三角形的性质进行计算.
17．解：原式=1+3﹣ ﹣4+3 ，=2
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案． 此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质进而化简是解题关键．
18．解：错误的步骤是①、②，正确解答如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解为．
观察阅读材料中的解方程过程并结合等式的性质和去括号法则可找出错误的步骤，根据等式的性质和去括号法则可求解．
19．（1）证明：∵，
∴，即
∵，
∴，
∵，
∴
在和中
∴；
（2）解：相等．理由如下：如图，
∵
∴，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴．
（1）根据等式性质由推出，由二直线平行，内错角相等得，进而根据等角的补角相等可得，再用边角边证明其全等即可；
（2）由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，由内错角相等两直线平行得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形即可．
20．（1）3；5；94；93
（2）解：根据题意可知年级从A、B两班分别抽取了12份成绩，其中90分以上的有3+5+4+4=16(份)，
∴估计全年级的学生中知识测试优秀的学生有1 800×=1 200(人).
（3）解：从众数来看：A班成绩为100分的人数最多，B班成绩为94分的人数最多；
从中位数来看：A班成绩的中位数为94分，B班成绩的中位数为93分，则A班成绩94分以上的人数多于B班；
从方差来看：A班成绩的方差小于B班成绩的方差，则A班成绩更为集中.
综上所述，A班的学生知识测试的整体水平较好.
解：（1）由题意可得：A班介于85分与95分之间有6人，
∴a=6-3=3，b=12-1-3-3=5，
∵A班抽取的成绩从小到大排序后位于中间的两个成绩分别是94、94，B班抽取的成绩从小到大排序后位于中间的两个成绩是92、94，
∴c=(94+94)÷2=94，d=(92+94)÷2=93，
故答案为3；5；94；93.
（1）结合表格中的数据，根据中位数的计算方法求解即可；
（2）根据题意先求出其中90分以上的有16份，再计算求解即可；
（3）根据众数，中位数和方差，结合题意，作答即可。
21．（1）
（2）①；②点A的位置是下降了厘米
22．（1）
（2）
23．（1）解：①∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
②如图：取中点O，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的上运动，
∵，，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
（2）解：∵点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图：作的外接圆，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为定三角形，一定，，，
∴为定三角形，
∴确定不变，
当点M为y轴一定点，则一定，所以当在同一条直线上时，有最小值，
由垂线段最短可知：当轴，最小，
如图：作于K，
∵为等边三角形，，
∴，即，
当轴时，轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
连接，
∵，，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∴
∴的最小值为
（1）①由题意可得BM=CN，再根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②取中点O，连接，根据全等三角形性质可得，则，根据垂径定理，勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可得OE=BD，再根据等边三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，作的外接圆，连接，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，由等边对等角可得，则，再根据三角形三边关系可得，根据三角形性质可得确定不变，当点M为y轴一定点，则一定，所以当在同一条直线上时，有最小值，由垂线段最短可知：当轴，最小，作于K，根据等边三角形性质可得，即，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，连接，根据三角形内角和定理可得，再解含30°角的直角三角形即可求出答案.
24．（1）解：∵，
∴∠CAB=∠CDB=40°，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠ABC=∠ACB=α，
∴α=×（180° 40°）=70°；
（2）证明：∵点B是的中点，
∴，
∴∠DCB=∠A，
∵∠ABC=∠CBE，
∴△BCE∽△BAC，
∴，
∴BC2=BE·BA，
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BEC=∠ACD+∠A，∠BCD=∠A，
∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，
∴CB=CE，
∴CE2=BE·BA；
（3）解：是定值，．
∵将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，
∴∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，
∴∠MCN=2∠ACB=2α，
如图3，过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，
连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°，
∵，
∴∠P=∠ACB=∠NCQ=α，
在△ABP和△NQC中
，
∴△ABP≌△NQC（AAS），
∴AB=NQ=MN，
∴，为定值．
（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=40°，根据三角形内角和即可求解；
（2）证明△BCE∽△BAC， 利用相似三角形的性质可得BC2=BE·BA，根据三角形外角的性质及角的和差求出∠ABC=∠ACB=∠BEC， 利用等角对等边可得CB=CE，继而得解；
（3）由折叠的性质可得∠MCN=2∠ACB=2α，过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，根据AAS证明△ABP≌△NQC，可得AB=NQ=MN， 继而得解.