2024-2025学年九年级下学期数学（人教版）期中考试（含解析）

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2024-2025学年七年级2024-2025学年九年级下册期中考试（人教版）
数学
考试范围：第二十六章-第二十七章 考试时间：100分钟 分值;120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．有理数、在数轴上的位置如图所示，则数，，，的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面的总面积约为250000m2，将数据250000用科学记数法可表示为(　　)
A． B． C．2.5×104 D．0.25×106
4．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列说法错误的是（　　）
A．数据的中位数是．
B．为了解昆明市中学生对“古滇文化”的知晓情况，适宜采用抽样调查．
C．若甲、乙两组数据的方差 ，则乙组数据比甲组数据稳定．
D．为了解名学生体质达标情况，从中抽测了名学生，样本是名学生．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，菱形，点均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
8．在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙需带钱y，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知抛物线y=-x2+px+q的对称轴为直线x=-3，过其顶点M的一条直线y=mx+n与该抛物线的另一个交点为N(-1，1)．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN的值最小，则点P的坐标为(　　)
A．(0，2) B．(0，) C．(0，) D．(0，)
10．如图，在边长为的正方形中，是边上一动点不含，两点，将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，则以下结论中正确的是（　　）
线段长度的最小值为；
四边形的面积最大值为；
当≌时，；
当为中点时，是线段的垂直平分线．
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11．计算：　 　．
12．已知，若有一角与的两边分别平行，则该角的度数为　 　，另有，若的一边，另一边与直线相交于点P，且点E不在直线上，则的度数为　 　．
13．已知关于的一元二次方程有解，求的取值范围　 　．
14．在矩形中，以D为圆心，为半径画弧，交于点E，再以为直径作半圆交弧于点F，连接、，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．已知，矩形中，，，为边上一动点，以为边构造等边（点位于下方），连接.
⑴如图①，当时，　 　；
⑵点在运动的过程中，的最小值为　 　.
三、解答题（本题共7小题，共70分）
16．先化简，再求值：其中的值从不等式组的整数解中选取．
17．春季开学后，某校为了让学生有效应用压岁钱，开展有意义的“尊老、敬老”慈善捐款活动，将捐款捐赠给本市敬老院．学生会为了了解学生捐款的情况，随机调查了该校部分学生，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为　 　人，在扇形统计图中，捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是　 　度，在调查的这组学生中，捐款金额的中位数是　 　元；
（2）补全条形统计图；
（3）学生会为了更好地引导学生合理支配压岁钱，选出甲，乙，丙和丁四人从不同的方面在全校进行讲解，但由于时间的限定，临时调整只能两人讲解．因此，学生会采用随机抽签的方式从甲，乙，丙和丁四人中确定两名讲解人选．请用列表或画树状图的方式说明抽中甲和乙的概率是多少？
18．如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为，过点A作y轴的垂线l，交y轴于点C，把直线上方反比例数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象（不包含直线）”．
（1）若时，求一次函数解析式；
（2）在（1）的条件下，求“G图象”与x轴交点的横坐标；
（3）过y轴另一点作y轴的垂线，与“G图象”交于E，F两点
①若时，且，求m的值；
②若，直接写出n与m的数量关系（用含m的代数式表示n）
19．如图1，CD是的弦，半径，垂足为B，过点C作的切线l.
（1）若点E在上，且，连接OE.
①连接AE，求证：；
②如图2，若B是OA的中点，连接OD，求证：DE是的直径；
（2）如图3，过点B作，垂足为F，若的半径是4，求的最大值.
20．为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，．
（1）求点到水平地面的高度；
（2）求点与点之间的水平距离．
（结果精确到1．参考数据：，，，）
21．我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点，点.
（1）函数的双语点是　 　；
（2）函数（k为常数，目）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）函数的图象上只有唯一一个双语点，且当时，m的最小值为k，求实数k的值.
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm.设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t秒（0＜t≤4）.
（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
23．如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
（1）图2中a＝　 　；当t＝1时，照亮的区域面积S＝　 　．
（2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式；
（3）若存在三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等．①t1+t2＝　 　；②当t3＝4t1时，则正方形GPEF的面积为　 　．
答案解析部分
1．B
解：由题意可知：
a＞0＞b，，
∴-a＜0＜-b，a＞-b，-a＜b
-a＜b＜0＜-b＜a
B正确.
故答案为：B.
本题考查了利用数轴比大小，数轴右边的点所表示的数值永远大于左边的点所表示的数值；离原点越远的点的绝对值越大，互为相反数的点的到原点的距离相等，即绝对值相等，据此可判断得出答案.
2．D
A、∵不是同类二次根式，∴A不符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵，∴C不符合题意；
D、∵，∴D符合题意；
故答案为：D.
利用二次根式的加法、平方差公式、同底数幂的乘法及幂的乘方逐项判断即可。
3．A
解：
故答案为：A .
用科学记数法表示一个绝对值大于1的数，把它写成的形式，其中，n为整数．小数点移动几位到第一位数字后面，n就等于几，n也可以说是原数整数部分位数减1.
4．A
解：从左面看，底层是2个小正方形，第二层是1个小正方形，第三层是1个小正方形，
∴几何体的左视图是：
，
故答案为：A．
根据从左面看到的图形判定即可．
5．D
解：、数据按照由小到大的顺序排列为，
∴数据的中位数为，该选项正确，不合题意；
、为了解昆明市中学生对“古滇文化”的知晓情况，适宜采用抽样调查，该选项正确，不合题意；
、若甲、乙两组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，该选项正确，不合题意；
、为了解名学生体质达标情况，从中抽测了名学生，样本是名学生的体质情况，该选项错误，符合题意；
故答案为：
根据中位数的定义、抽样调查、方差的定义、样本的定义对选项逐一判断即可求解。
6．A
解：解不等式3x-9<0，得x<3；
解不等式4x+6≤22，得x≤4，
∴不等式组的解集为x<3.
故答案为：A.
首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集，然后根据解集的表示方法进行判断.
7．A
8．D
9．A
解：如图，作点N关于y轴的对称点N'，连结MN'交y轴于点P，此时PM+PN的值最小．
将点N的坐标代人抛物线表达式，并联立对称轴公式，得
，解得
∴y=-x2-6x-4=-(x+3)2+5，
∴M(-3，5)．
点N关于y轴的对称点为点N'(1，1)，
设直线MN'的表达式为y=kx+b(k≠0)，
将点M，N'的坐标代人直线表达式，得，解得
∴直线MN'的表达式为y=-x+2，
当x=0时，y=2，即P(0，2)．
故答案为：A.
作点N关于y轴的对称点N'，连结MN'交y轴于点P，此时PM+PN的值最小，由待定系数法求出二次函数的解析式y=-(x+3)2+5，得到点M的坐标，由对称性得点N关于y轴的对称点为点
N'(1，1)，然后用待定系数法求出直线MN'的表达式为y=-x+2，令x=0，即可得P点坐标.
10．A
解：四边形为正方形，边长为，
，，
设，则，
由折叠知：，，
点、、三点在通一条直线上，
，即：，
，
又，
，
又，
∽，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
当为最小时，为最小，
，
当时，DM为最小，最小值为，
即当DM=3时，为最小，
此时，
故结论正确；
设四边形的面积为，
则，
由可知：，，
，
当时，为最大，最大值为，
四边形的面积最大值为．
故结论正确；
由翻折的性质可知：≌，
，，
在和中，
，，
≌，
又≌，
≌≌≌，
，
在上取一点，使，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，
即：，
解得：，
，
故结论正确；
点为的中点，
，
设，
由可知：≌，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
即：，
，
不是线段的垂直平分线，
故结论不正确．
综上所述：正确的结论是．
故选：．
根据正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值即可求出答案。
11．20
12．或；，，，
13．且
解：∵一元二次方程有解，
∴k-1≠0，△=k-4(k-1)20，
解不等式得：k，且k≠1，
∵有意义，
∴k0，
综上所述：且，
故答案为：且
根据方程有解可知△=k-4(k-1)20，再根据 有意义可知k0，据此求出公共解集即可.
14．
15．45；
解：如图所示，连接交于O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
当时，则，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴点F在直线上运动（直线与的夹角为30度），
∴当时，有最小值，
∴此时，
故答案为：45；．
（1）连接AC、BD交于O，连接OF、AE，由矩形的性质和勾股定理求出AC的长，进而得到，证明是等边三角形，得到， 则，再根据SAS证明 ，得到，则；当时，则，，可求出，则，由此可得；
（2）由确定点F在直线上运动（直线与的夹角为30度），故当时，有最小值，则此时．
16．，-2
17．（1）60；108；50
（2）解：补全条形统计图如图．
（3）解：画树状图得：
解：（1）由扇形图和条形图可知： 捐款50元的频数和百分数分别为21人、35%，∴本次调查的学生人数为21÷35%=60（人）；由扇形图和条形图可知：捐款100元的频数为18人，∴捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数=×360°=108°；捐款20元的频数=60×20%=12（人），∴捐款金额的中位数=（人）；
（2）由（1）得：捐款20元的频数=12（人）；捐款200元的频数=60-3-12-21-18=6（人），在条形图中补充完整；
（3）由树状图可知：所有可能的结果为12种，抽中甲和乙的机会有2次，∴抽中甲和乙的概率=.
（1）由扇形图和条形图可知： 捐款50元的频数和百分数分别为21人、35%，根据样本容量=频数÷百分数可求得本次调查的学生人数；捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数=捐款金额为100元的百分数×360°；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，根据定义和已知可求得捐款金额的中位数；
（2）根据样本容量等于各小组频数之和可求得捐款200元的频数，结合（1）的计算可将条形图中补充完整；
（3）由题意画出树状图，观察树状图可知：所有可能的结果为12种，抽中甲和乙的机会有2次，然后用概率公式计算即可求解.
18．（1）解：当时，，即
一次函数经过
所以一次函数
（2）解：设“G图象”与x轴交点的坐标为
关于的对称点的坐标为，
根据题意，在上，，
即“图象G”与x轴交点的横坐标为．
（3）解：①
∴令，则，即
即
当时，，即
②
解：②当时，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，
，
在反比例函数上，
点A的横坐标为，
直线l为，
点与关于直线l为对称，
，
解得：，
故n与m的数量关系为．
本题考查一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数的解析式，对称的性质．
（1）将代入，求出，将点A代入可求出b，进而求出答案；
（2）设“G图象”与x轴交点为，可得直线l为，由对称得关于直线的对称点的坐标为，将此点代入，可求出与x轴交点的横坐标 ；
（3）①将代入，可求出，从而求出， 在反比例函数上，由点与关于直线l为对称，可得，解方程可求出m的值；
②将代入，可求出，进而求出，，由点与关于直线l为对称可得方程，化简式子可求出答案．
19．（1）解：证明：①如图4，连接OC
∵ l是的切线，OC是半径，
∴
∵
∴
∵
∴
∴；
②：如图5，连接OC，AD
∵ B是OA的中点，
∴，
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∴
∴DE是的直径；
（2）解：如图6，连接OC
∵ l是的切线，OC是半径，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设，则
∴
当时，有最大值1
∴的最大值为1.
（1）①连接OC，根据切线的性质可得OC⊥l，根据弧、圆心角的关系可得∠COE=∠COA，由等腰三角形的性质可得OC⊥AE，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行进行证明；
②由题意可得OD=AD=AD，推出△OAD为等边三角形，得到∠DOA=60°，由弧、圆心角的关系可得∠DOA=∠AOC=∠EOC=60°，则∠DOE=180°，据此证明；
（2）连接OC，易得OC∥BF，由平行线的性质可得∠OCB=∠CBF，证明△OCB∽△CBF，根据相似三角形的性质表示出BF，然后表示出BC-BF，接下来利用二次函数的性质进行解答.
20．（1）点到水平地面的高度是150米．
（2）点与点之间的水平距离1049米．
21．（1）（-1，-2）
（2）解：不存在双语点，理由如下，
依题意，
即，
∴，
当时，解得：或
当时，无解
∴和；
∴当时，有两个双语点，分别为和；
当时，不存在双语点；
（3）解：依题意，
整理得，，
∵函数的图象上只有唯一一个双语点，
∴有相等的两个实数根，
∴
∴
∴
对称轴为直线，开口向上，
当，时，，
即时，解得：，
当时，则当时，取得最小值
∵m的最小值为k
∴
即，
∵
∴原方程无解，
当时，则当时，取得小值，
∴
即
解得：或（舍去）
综上所述：或.
解：（1）解：依题意，
解得：
∴函数的双语点是：（-1，-2）；
故答案为：（-1，-2）；
（1）根据题意可得方程组，解方程组，即可求出答案；
（2）根据题意可得方程组 ，由此得 ， 然后分当k＞0 与k＜0 两种情况解答即可；
（3）易得 ，整理得 ，根据函数图象上只有唯一一个双语点，可得该方程根的判别式的值为0，据此建立出m关于n函数解析式，根据函数最值情况即可解决问题.
22．（1）解：矩形中，，
过点P作，垂足为M，
，
，
，
当时，S有最大值；
（2）解：①当时，，
，
②当时，作，垂足为E，
此时，，
即，
.
③当时，作，垂足为F，
此时，，
即，
.
或或均使为等腰三角形.
（1）首先根据勾股定理求出BD，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则△BPM∽△BDC，根据相似三角形的性质可得PM，利用三角形的面积公式表示出S，然后根据二次函数的性质可得S的最大值；
（2）①当BP=BQ时，可得t的值；②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时BE= ，易证△BQE∽△BDC，然后根据相似三角形的性质可得t的值；③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，此时BF= ，易证△BPF∽△BDC，然后根据相似三角形的性质可得t的值.
23．（1）24；9
（2）解：i)当 时，
ii)当 时， 由已知可得抛物线的顶点为
设解析式为 ，
图象经过
抛物线的解析式为：
综上所述， 点 在整个运动过程中 关于 的函数解析式为
（3）8；
解：(1)由题意，当t=4时，PC=4，由勾股定理得GP2=GC2+PC2=(2)2+42=24，S=GP2=24，故a=24.当t=1时，PC=1，GP2=GC2+PC2=(2)2+12=9，故S=9；
(3)如图所示，
当0≤t≤8时，图像关于直线x=4对称，且存在 三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等，故 t1+t2＝ 8；
当t>4时，，图像关于直线x=8对称，故t2+t3=16，
同时 t1+t2＝ 8， t3＝4t1 ，
解得t3=，
代入函数解析式得S=
(1)由图像当t=4时，S=a，求出此时的PC的长得GP的平方，即为正方形的面积，同理当t=1时，求出GP2，即为面积；
(2)当t<4时，求出GP2的表达式，即为面积表达式；当t>4时，结合题意设顶点式，代入(4，24)即可求出解析式；
(3)结合图像的对称性知 t1+t2＝ 8，t2+t3=16，同时 t3＝4t1，求出t3的值，代入函数解析式即可得对应的面积.