模型22 “三动点”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习
文档属性
| 名称 | 模型22 “三动点”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 292.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-12 19:27:52 | ||
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文档简介
模型22 “三动点”模型
模型展现
图示
条件 在△ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC上的动点,求△DEF周长的最小值
结论 作点D关于AC,BC的对称点D',D",连接D'D",交AC,BC于点E ,F ,当CD最小,即CD⊥AB时,△DEF的周长最小,最小值为D'D"的长
结论分析
结论:作点D 关于AC,BC的对称点D',D",连接D'D",交AC,BC于点. ,当CD最小,即CD⊥AB 时,△DEF 的周长最小,最小值为 D'D"的长
证明：如图，由轴对称的性质知
∴当D'，E，F，D"四点共线时，△DEF的周长最小，最小值为线段. 的长.
∵ ∠D'CD"大小不变为 ∴当线段 CD 的值最小，即当CD⊥AB时，线段D'D"的值最小.此时△DEF的周长最小.
模型解题三步法
例 如图,在△ABC中, 的面积为22.5.点 D,E,F 分别是三边AB,BC,CA上的动点,则 周长的最小值为 .
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题以类解
1. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,D,E,F分别是三边AB,BC,CA 上的动点,则DE+EF+FD的最小值为 .
2.如图，抛物线y= 与x轴交于A，B两点(点A在点 B 左侧)，点C 为抛物线对称轴上一点，且纵坐标为2 ,D,E,F分别为AB,BC,AC边上的动点(不与顶点重合)，当△DEF 的周长最小时，点E 的坐标为
3. 如图,AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,BC=2AD=4,点M为BC的中点,点E,F在边AB,CD上运动,点 P 在线段 MC 上运动,连接EF,EP,PF,则△EFP周长的最小值为 .
4. 如图, 所在圆的圆心是点O,∠BOC=60°,P,E,F分别是 线段AB 和AC上的动点，则△EFP周长的最小值为 .
模型22 “三动点”模型
模型解题三步法
例 9 【解析】根据“三动点”模型作解图，由
对称性可知GD=DE,EF = FH,AG = AE =AH,∴ △DEF 的周长为 DE + DF + EF =GD+DF + FH ≥ GH,∵ ∠GAD = ∠DAE,∠EAC = ∠HAC,∴∠GAH=2∠BAC,∵ ∠BAC=30°,∴∠GAH=60°,∴△AGH为等边三角形,∴ GH=AE,∴当AE⊥BC 时,GH 最短,此时△DEF 的周长最小(“三动点”型线段最短),∵ BC=5,△ABC的面积为22.5,∴ ∴AE=9,∴△DEF 的周长最小值为9.
题以类解
1.485【解析】找模型：在三角形三边上是否存在三个动点：点D，E，F；是否存在特殊角：∠B；是否求最值：DE+EF+FD 的最小值.抽离模型：如解图，用模型：根据“三动点”模型得：当点 F',D,E,F"四点共线时线段和最小,为 F'F"的长,此时点 D,E与点 B 重合,连接BF,∵ F'F"经过点B,且 BF'=BF=BF",∴当 BF 最小时,F'F"最小,当BF⊥AC时,BF最小(垂线段最短),过点B作BG⊥AC 于点 G.∵AB=6,BC 根据三角形面积公式， 即 解得 ∴BF|的最小值为 ,∴F'F"的最小值为 即 DE+ EF+FD 的最小值为4
2. (2, ) 【解析】令 0，解得x =-1,x =3,∴A(-1,0),B(3,0),∴抛物线的对称轴为直线 x=1,∴ C(1,2 ),∴AB=4,BC=4,AC=4,∴△ABC为等边三角形(三条边相等的三角形是等边三角形).找模型：在三角形三边上是否存在三个动点:点 D,E,F;是否存在特殊角:∠CAB;是否求最值：△DEF 周长的最小值.抽离模型：如解图.用模型：由对称性可知，DE=DM,FE=FN,AE=AM=AN,∴△DEF 的周长为 DE+EF+FD=DM+FN+DF≥MN.∵ ∠BAC=60°,∠BAE = ∠BAM,∠CAE = ∠CAN ,∴∠MAN=2∠BAC=120°(对称的性质), .当AE的值最小时,MN 的值最小,即当AE⊥BC 时,AE的值最小(垂线段最短)，此时 MN 取得最小值,即△DEF的周长最小.∵AB=4,∴ ∴点E的纵坐标为 ，横坐标为 =3-1=2,∴点E的坐标为(2, ).
【解析】如解图，作点 P 关于直线AB的对称点 T，关于直线 CD 的对称点 R，连接RT交AB于点 E,交 CD于点 F,过点 R 作 RH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H,连接 PT,PR,CR,设PC=x,则 PB=BT=4-x,PC=CR=x.∵∠DCR=∠DCB=60°, ∴ ∠RCP = 120°, 的周长为 PE ∵点 M 为 BC 的中点,∴ CM=BM=2,∵ 点 P 在 CM 上运动,∴0≤x≤2,∴当x=2时，△EFP的周长最小，最小值为
【解析】如解图，连接BC，作点 P关于AB 的对称点 M，关于AC的对称点N，连接MN交AB于点 E,交AC 于点 F,此时PE+EF+PF=EM+EF+FN≥MN,当点M,E,F,N四点共线时，取得最小值，即为 MN 的长，∴当MN的值最小时,PE+EF+PF 的值最小(“三动点”模型线段最短),∵AP=AM=AN,∠BAM=∠BAP,∠CAP = ∠CAN, ∠BAC = 60°,∴∠MAN=120°(对称的性质),. .当PA 的值最小时，MN 的值最小，取AB的中点 J,连接 CJ.∵AB=8,AC=4,∴AJ=JB=AC=4,∵∠JAC=60°,∴△JAC是等边三角形,∴ JC=JA=JB,∴∠ACB=90°, =60°,OB=OC,∴ △OBC 是等边三角形, ，过点A 作AH⊥OC 交OC 的延长线于点 H,∴∠ACH= ·当点 P 在直线 OA 上时,PA 的值最小，最小值为 ∴ MN 的最小值为
模型展现
图示
条件 在△ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC上的动点,求△DEF周长的最小值
结论 作点D关于AC,BC的对称点D',D",连接D'D",交AC,BC于点E ,F ,当CD最小,即CD⊥AB时,△DEF的周长最小,最小值为D'D"的长
结论分析
结论:作点D 关于AC,BC的对称点D',D",连接D'D",交AC,BC于点. ,当CD最小,即CD⊥AB 时,△DEF 的周长最小,最小值为 D'D"的长
证明：如图，由轴对称的性质知
∴当D'，E，F，D"四点共线时，△DEF的周长最小，最小值为线段. 的长.
∵ ∠D'CD"大小不变为 ∴当线段 CD 的值最小，即当CD⊥AB时，线段D'D"的值最小.此时△DEF的周长最小.
模型解题三步法
例 如图,在△ABC中, 的面积为22.5.点 D,E,F 分别是三边AB,BC,CA上的动点,则 周长的最小值为 .
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题以类解
1. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,D,E,F分别是三边AB,BC,CA 上的动点,则DE+EF+FD的最小值为 .
2.如图，抛物线y= 与x轴交于A，B两点(点A在点 B 左侧)，点C 为抛物线对称轴上一点，且纵坐标为2 ,D,E,F分别为AB,BC,AC边上的动点(不与顶点重合)，当△DEF 的周长最小时，点E 的坐标为
3. 如图,AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,BC=2AD=4,点M为BC的中点,点E,F在边AB,CD上运动,点 P 在线段 MC 上运动,连接EF,EP,PF,则△EFP周长的最小值为 .
4. 如图, 所在圆的圆心是点O,∠BOC=60°,P,E,F分别是 线段AB 和AC上的动点，则△EFP周长的最小值为 .
模型22 “三动点”模型
模型解题三步法
例 9 【解析】根据“三动点”模型作解图，由
对称性可知GD=DE,EF = FH,AG = AE =AH,∴ △DEF 的周长为 DE + DF + EF =GD+DF + FH ≥ GH,∵ ∠GAD = ∠DAE,∠EAC = ∠HAC,∴∠GAH=2∠BAC,∵ ∠BAC=30°,∴∠GAH=60°,∴△AGH为等边三角形,∴ GH=AE,∴当AE⊥BC 时,GH 最短,此时△DEF 的周长最小(“三动点”型线段最短),∵ BC=5,△ABC的面积为22.5,∴ ∴AE=9,∴△DEF 的周长最小值为9.
题以类解
1.485【解析】找模型：在三角形三边上是否存在三个动点：点D，E，F；是否存在特殊角：∠B；是否求最值：DE+EF+FD 的最小值.抽离模型：如解图，用模型：根据“三动点”模型得：当点 F',D,E,F"四点共线时线段和最小,为 F'F"的长,此时点 D,E与点 B 重合,连接BF,∵ F'F"经过点B,且 BF'=BF=BF",∴当 BF 最小时,F'F"最小,当BF⊥AC时,BF最小(垂线段最短),过点B作BG⊥AC 于点 G.∵AB=6,BC 根据三角形面积公式， 即 解得 ∴BF|的最小值为 ,∴F'F"的最小值为 即 DE+ EF+FD 的最小值为4
2. (2, ) 【解析】令 0，解得x =-1,x =3,∴A(-1,0),B(3,0),∴抛物线的对称轴为直线 x=1,∴ C(1,2 ),∴AB=4,BC=4,AC=4,∴△ABC为等边三角形(三条边相等的三角形是等边三角形).找模型：在三角形三边上是否存在三个动点:点 D,E,F;是否存在特殊角:∠CAB;是否求最值：△DEF 周长的最小值.抽离模型：如解图.用模型：由对称性可知，DE=DM,FE=FN,AE=AM=AN,∴△DEF 的周长为 DE+EF+FD=DM+FN+DF≥MN.∵ ∠BAC=60°,∠BAE = ∠BAM,∠CAE = ∠CAN ,∴∠MAN=2∠BAC=120°(对称的性质), .当AE的值最小时,MN 的值最小,即当AE⊥BC 时,AE的值最小(垂线段最短)，此时 MN 取得最小值,即△DEF的周长最小.∵AB=4,∴ ∴点E的纵坐标为 ，横坐标为 =3-1=2,∴点E的坐标为(2, ).
【解析】如解图，作点 P 关于直线AB的对称点 T，关于直线 CD 的对称点 R，连接RT交AB于点 E,交 CD于点 F,过点 R 作 RH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H,连接 PT,PR,CR,设PC=x,则 PB=BT=4-x,PC=CR=x.∵∠DCR=∠DCB=60°, ∴ ∠RCP = 120°, 的周长为 PE ∵点 M 为 BC 的中点,∴ CM=BM=2,∵ 点 P 在 CM 上运动,∴0≤x≤2,∴当x=2时，△EFP的周长最小，最小值为
【解析】如解图，连接BC，作点 P关于AB 的对称点 M，关于AC的对称点N，连接MN交AB于点 E,交AC 于点 F,此时PE+EF+PF=EM+EF+FN≥MN,当点M,E,F,N四点共线时，取得最小值，即为 MN 的长，∴当MN的值最小时,PE+EF+PF 的值最小(“三动点”模型线段最短),∵AP=AM=AN,∠BAM=∠BAP,∠CAP = ∠CAN, ∠BAC = 60°,∴∠MAN=120°(对称的性质),. .当PA 的值最小时，MN 的值最小，取AB的中点 J,连接 CJ.∵AB=8,AC=4,∴AJ=JB=AC=4,∵∠JAC=60°,∴△JAC是等边三角形,∴ JC=JA=JB,∴∠ACB=90°, =60°,OB=OC,∴ △OBC 是等边三角形, ，过点A 作AH⊥OC 交OC 的延长线于点 H,∴∠ACH= ·当点 P 在直线 OA 上时,PA 的值最小，最小值为 ∴ MN 的最小值为
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