模型21 “一点两线”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

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模型21 “一点两线”模型
基础模型
结论:作点P 关于OA,OB的对称点 P',P",连接P'P",分别交OA,OB 于点 此时 的周长最小，最小值为线段 P'P"的长
证明：由轴对称可知，
,
∴当点P'，M ，N ，P"四点共线时，△PMN的周长最小，最小值为线段 的长.
模型解题三步法
例 如图， 点P是 内部一点，且 G，H分别是射线 CA 和CB上的动点，连接PG,PH,GH,则 PGH 周长的最小值为 .
题以类解
1. 如图，在四边形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,点E,F分别是边 BC,CD上的动点,连接AE,AF,EF.当△AEF 的周长最小时,∠AEF+∠AFE 的度数是 ( )
A. 100° B. 120° C. 140° D. 160°
2. 如图,在△ABC中,∠CAB=60°,AP⊥BC 于点 P,点M,N分别是AC,AB边上的动点,连接PN,PM,NM,若 则△PMN周长的最小值是 .
3. 如图,点 P 是菱形ABCD内一点,∠D=45°, ,点 E 和点 F 分别是 BA,BC 上的动点，则△PEF周长的最小值是 ________.
4.如图，抛物线 与直线y=-x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为(0,3),点M,N分别是直线BC 和x轴上的动点，则△DMN周长的最小值为 .
模型21 “一点两线”模型
例 【解析】根据“一点两线”模型作解图，则P'P"的长即为△PGH 周 长 的 最小值,连接 CP',CP",∵∠ACB = 30°,由对称性可知 CP =CP'= CP", ∠P'CP"= 60°,∴△P'CP"为等边三角形(一个角是 60°的等腰三角形为等边三角形)，∴P'P"=6，即△PGH 周长的最小值为6.
题以类解
1. C 【解析】找模型：是否存在定角：定角：∠BCD；是否存在定线段长且另一点在角的内部：定线段长：AC，另一点：点A；是否求最值：△AEF 周长最小时的角度.抽离模型：如解图，即△AEF 周长的最小值为 A'A"的长，用模型：根据“一点两线”模型得：根据对称的性质可知， ∵∠ABC=∠ADC=90°,∴点 A,B,A'三点共线,点 A,D,A"三点共线,∴ ∠AEF=∠A'+ (三角形的外角等于与他不相邻的两内角的和),∴ ∠AEF+∠AFE = 2∠A'+2∠A″=2(∠A'+∠A"),∵ ∠BAD=110°,∴∠A'+ ∠A"=180°-∠BAD=70°(三角形内角和定理),∴∠AEF+∠AFE=140°.
2.3 【解析】找模型：是否存在定角：定角：∠CAB；是否存在定线段长且另一点在角的内部：定线段长：AP，另一点：点P；是否求最值：△PMN周长的最小值.抽离模型：如解图，用模型:根据“一点两线”模型得 MP=MP',NP= ∠CAP=∠CAP',∵ ∠CAB=60°,∴∠P'AP"= 此时△PMN 的周长最小(“一点两线”型线段最短),过点 A 作 AH⊥P'P"于点 H,则 P'H= ∴△PMN周长的最小值是3.
3. 2 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠D=45°,∴ ∠ABC =45°,根据“一点两线”模型作解图，分别作点 P关于 BA,BC 的对称点 G,H,连接GH,分别交 BA,BC 于点 E,F,连接BG,BH.∵点P 关于 BA 的对称点为 G,关于BC 的对称点为 H,∴ PE =GE,BP =BG,∠GBA =∠PBA(对称的性质).∴ PF=HF,BP =BH,∠HBC=∠PBC,∴BG=BH=BP=2,∠GBH=∠GBA+∠PBA+∠PBC+∠HBC =2∠PBA+2∠PBC=2∠ABC=90°,∴△GBH 是等腰直角三角形，. 的周长的最小值为 PE+EF+PF=GE+EF+HF=GH=2
【解析】由题意得,C(0,5),如解图,分别作点 D 关于 x轴和直线 BC 的对称点D'(0,-3),D",∵直线 BC 的解析式为y=-x+5,∴ ∠OCB=∠OBC=45°,则 CD"∥x 轴,∵CD=5-3=2,∴CD"=2,则 D"(2,5),连接CD",连接D'D"分别交x轴、直线BC于点 N, 1D'D",此时△DMN 的周长最小为 D'D"的长(“一点两线”型线段最短),∵ CD"=2,CD'=5-(-3)= 8,∴ △DMN周长的最小值为 D'D'=