模型23 “两点两线”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

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模型23 “两点两线”模型
结论：分别作点P，Q 关于OA，OB的对称点 连接 分别交OA,OB 于点 ，此时四边形PQNM周长最小，最小值为 的长
证明：如图，由对称的性质得. 四边形 PQNM 的周长为N .当P',M,N,Q'四点共线时, 的值最小，∵P，Q 为定点，∴ PQ 的长度为定值.∴当四边形 PQNM周长最小时，最小值为 的值.
模型解题三步法
例 如图，在矩形ABCD中， 点E,F分别在边 AD,AB上,且 点 G,H分别是边 BC,CD上的动点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形 EFGH周长的最小值为 .
题以类解
1.如图，在边长为10 的正方形ABCD中，点G是BC边的中点,E,F分别是AD 和 CD边上的点，则四边形 BEFG周长的最小值为 .
2. 如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C，抛物线的对称轴为直线l，顶点为点 D，点C 关于直线l的对称点为点E.若点M为y轴上一动点，点 N 为x 轴上一动点，则四边形 DENM 周长的最小值为 .
3. 如图，在 中,∠C=90°,E,F 为AB上两点， 若G，H分别为AC，BC上的两个动点，则四边形EGHF周长的最小值为 .
模型解题三步法
例 【解析】根据“两点两线”模型作解图,由对称的性质得F'G=FG,E'H=EH,∵EF (两点之间线段最短)，∴当H，G分别与H'，G'重合时(即E',H,G,F'四点共线时),EH+HG+FG的值最小，又∵ EF为定值，∴此时四边形 EFGH的周长最小.由题意得 BF'=BF=AF=1,DE'=DE=AD-AE=1,∠A=90°,∴ AF'=3, ∴四边形 EFGH 周长的最小值为
题以类解
1.30 【解析】找模型：是否存在定角： 角内是否存在定点：点B 和点 G，角的两边上是否存在两动点：点E，点F，是否求最值：四边形 BEFG 周长的最小值.抽离模型：如解图.用模型：根据“两点两线”模型得：由对称的性质得EB=EB',FG=FG',∴BE+EF+FG+ B'G',∴四边形 BEFG周长的最小值为 BG+B'G',∵G为BC的中点,GC=G'C,AB=AB', ∵在正方形ABCD 中,∠ABC=90°,∴ 在 Rt△B'BG'中， ∴四边形 BEFG的周长的最小值为25+5=30.
【解析】找模型：是否存在定角：∠xOy，角内是否存在定点：点 D 和点 E，角的两边上是否存在两动点：点M，点N，是否求最值：四边形 DENM 周长的最小值.抽离模型：如解图.用模型：根据“两点两线”模型得:由对称的性质得 DM=D'M,NE=NE', ∴当D',M,N,E'四点共线时,DM+MN+NE 的值最小(“两点两线”型线段最短)，此时四边形 DENM的周长最小,易得D(2,6),E(4,2),∴D'(-2, .四边形DENM 周长的最小值为
3. 18 【解析】如解图,分别作点 E,F关于AC,BC 的对称点 E',F',连接 EE',FF',连接E'F'交AC 于点 G',交BC 于点 H',连接AE',E'G,BF',F'H,则E'G=EG,F'H=FH,∴四边形 EGHF 的周长为 EF+EG+GH+HF=EF+ 当E',G,H,F'四点共线时，四边形 EGHF 的周长有最小值，即EF+E'F'的值(“两点两线”模型线段最短)，∵AB=10,AE=BF=1,∴EF=8,由对称可知AE=AE'=BF=BF',∠E'AC=∠EAC,∠FBC=∠F'BC,∵∠C=90°,∴ ∠CAB+∠CBA=90°,∴ ∠E'AE+∠F'BF =2(∠CAB+∠CBA)=180°,∴E'A∥BF',∴四边形AE'F'B 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),∴ E' F' = AB = 10,∴ 四边形EGHF 周长的最小值为8+10=18.