模型26 赵爽弦图 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型26 赵爽弦图
模型展现
模型解题三步法
例 中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，三国时期赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，证明了勾股定理.在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间小正方形EFGH组成，连接AG.若AB=10,EF=2,则sin∠GAF 的值为 ( )
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题以类解
1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的伟大成就.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为9，设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y，下列四个说法： 25,②x-y=3,③2xy+9=25,④x+y=7.其中正确的是 ( )
A. ②③④ B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
2.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形IJKL的面积分别为S ,S ,S ,若 24,则正方形 EFGH 的边长为 .
3.勾股定理被称为几何学的基石，相传在西周由商高发现，又称商高定理，三国数学家赵爽利用弦图(它是由四个全等的直角三角形围成的)，证明了商高结论的正确性.若AB=15,BC=12,将四个直角三角形中的短直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的面积(即图②阴影部分)是 .
4. 阅读理解
【材料阅读】赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明勾股定理的准确性.如图①所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.证明方法如下：
设直角三角形的三边中较短的直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，朱实面积=2ab,黄实面积: 朱实面积+黄实面积： 大正方形面积：
【实际应用】
若较短的直角边的长为6，另一条直角边长为8，求小正方形与大正方形的面积比；
【拓展延伸】
类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由 3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中,若 求AB 的长.
模型解题三步法
例 A 【解析】根据“赵爽弦图”模型得，AF=.BF+EF.在 Rt△ABF 中, 解得BF=6(负值已舍去), 题以类解
1. B 【解析】找模型：是否存在大正方形：正方形ABCD，大正方形内部是否存在4个全等的直角三角形和一个小正方形：Rt△ABE，Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△DAH,正方形 EFGH.抽离模型：如解图.用模型:①在 Rt△ABE 中,根据勾股定理得 =25，故该说法正确；②根据赵爽弦图知,x-y=EF= ，故该说法正确；③根据赵爽弦图知，四个全等的直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式4× 即2xy+9=25,故该说法正确;④由2xy+9=25 可得:2xy=16,又∵ 25 (完全平方和公式)， (负值已舍去)≠7，故该说法错误.∴说法正确的有①②③.
2. 2 【解析】找模型：是否存在大正方形：正方形 EFGH，大正方形内部是否存在4个全等的直角三角形和一个小正方形：Rt△EHI，Rt△HGL,Rt△GFK,Rt△FEJ,正方形 LIJK.抽离模型:如解图.用模型:设AH=x,HD=y, ∴在Rt△AEH中, (负值已舍去)，即正方形 EFGH 的边长为2
3. 432 【解析】如解图,根据题意可得,AC= ∵风车由4个全等的直角三角形组成，∴这个风车的面积为4×108=432.
4.【实际应用】
解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是6和8,
∴小正方形的边长为2，
根据勾股定理得，大正方形的边长为 =10,
【拓展延伸】
解:如解图,过点 B 作 BH⊥AD 交AD的延长线于点H，
∵∠BDH=60°,BD=AF=
易得
由题意知,△ABD≌△BCE≌△CAF,
(负值已舍去).