模型20 “两点一线” （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

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模型20 “两点一线”模型
基础模型
类型 异侧两点求线段和最小值 同侧两点求线段和最小值
图示
条件 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P,使 PA+PB的值最小 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点 P，使PA+PB的值最小
结论 连接AB交直线 l 于点 P，此时PA +PB 的值最小，最小值为线段 AB 的长 作点 B 关于直线 l 的对称点 B'，连接AB',交直线l于点 P,此时 PA+PB的值最小，最小值为线段AB'的长
结论分析
结论：连接AB 交直线l于点 P，此时PA+PB值最小，最小值为线段AB 的长
证明：如图①， ∴当点A,P,B三点共线时,PA+PB 的值最小,最小值为线段AB 的长.
结论：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点 P，此时 PA+PB的值最小，最小值为线段AB'的长
自主证明：
模型拓展
拓展方向：求线段差的最值
类型 同侧两点求线段差最大值 异侧两点求线段差最大值
图示
条件 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点 P,使|PA-PB|值最大 两定点A，B位于直线l异侧，在直线 l上找一点 P,使得|PA-PB|值最大
结论 连接AB 并延长，与直线l交于点 P，此时|PA-PB|的值最大，最大值为线段AB的长 作点 B关于直线l的对称点 B'，连接AB'并延长，与直线l交于点P，此时|PA-PB|的值最大，最大值为线段AB'的长
模型解题三步法
例1 如图,在矩形ABCD 中, ,点 E 在边 BC 上且 点 P 是对角线BD 上的一个动点,连接PE,PC,则 周长的最小值为 .
例2 如图，在菱形ABCD中，对角线 点E 为边AB 的中点，点 P 为对角线 BD 上一点,则|PC-PE|的最大值为 .
题以类解
1.如图,在边长为4 的正方形ABCD 中,E 是AB边上的点,且AE=3,点 Q 为对角线AC上一点，则DQ+QE的最小值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.如图,直线y=x+2与x轴,y轴分别交于A，B两点，点C 为线段AB 的中点，点 P是y轴上一动点，当 PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为 ( )
3. 如图,在等边△ABC 中,AB=4,AD 是中线,点 E是AD 的中点，点 P 是边AC上一动点，则BP-EP的最大值是 .
的 最 小 值为 .
5. 如图，⊙O 的直径MN=1,点A 是⊙O 上一点,且∠AMN=30°,点B是 的中点，点P 在直径 MN 上运动,则BP+AP 的最小值为 .
6. 如图，在△ABC中,AB=AC,AC 的垂直平分线交 AC 于点F,交AB 于点 E,连接 EC,AB=10,△BEC的周长是 18，若点 P 在直线 EF 上，连接PA,PB.
(1)PA+PB的最小值为 ;
(2)|PA-PB|的最大值为 .
7.如图，抛物线 的对称轴为直线x=1，与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找到一点 M，使△ACM的周长最小，请求出此时点 M 的坐标与△ACM周长的最小值.
模型20 “两点一线”模型
模型展现
自主证明：
如图②，由轴对称性质可知,PB=PB',
∵ PA+PB=PA+PB'≥AB',
∴当点A,P,B'三点共线时，PA+PB的值最小，最小值是线段AB'的长(也可以作点A 关于直线l的对称点 A'，同理也可求出 PA+PB 的最小值).
模型解题三步法
例1 【解析】根据“两点一线”模型作解图，当C，P，E'三点共线，即点P 与点P'重合时，PE+PC 的值最小(同侧两点求线段和最小值).连接BE',过点 E'作 E'H⊥BC 于点 H,∵∠DBC= 30°,AB=CD=3,∴ BC=3 .∵BE 点E'是点E关于BD的对称点,∴∠E'BD=∠CBD=30°,BE'=BE,∴∠E'BH=60°,∴△BEE'是等边三角形(一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)， ,∴PE+PC 的最小值为 ,∴△PEC 周长的最小值为
例2 点 C 点E BD 点P 【解析】根据“两点一线”模型作解图,点C'与点A 重合,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD(菱形的对角线互相平分),∴AP=PC,∴|PC-PE|=|AP-PE|≤AE,∴当点A,E,P三点共线时,|PC-PE|取得最大值,最大值为 AE 的长(异侧两点求线段差最大值).∵AC=4,BD=6,∴OA=2,OB=3,∴ 在 Rt△ABO 中,AB= ，又∵点E 为边AB的中点， 即|PC-PE|的最大值为
题以类解
1. C 【解析】找模型：是否存在两个定点：点E和点 D.是否存在一条定直线和该直线上一动点：定线段：AC，动点：点Q.是否求最值：DQ+QE的最小值.抽离模型：如解图.用模型：连接DE,∵DQ+QE≥DE,∴当D,Q,E三点共线时,DQ+QE 取得最小值(异侧两点求线段和最小值)，∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD=4,∠DAE=90°(正方形的性质),.
2. B 【解析】找模型：是否存在两个定点：点A和点 C.是否存在一条定直线和该直线上一动点：定直线：y轴，动点：点P.是否求最值：PA+PC 的最小值.抽离模型：如解图.用模型：根据“两点一线”模型作解图，作点 A 关于y轴的对称点A',连接A'C交y轴于点 P.∵直线y=x+2与x轴,y轴分别交于A,B 两点,∴A(-2,0),B(0,2),∵点 C 为线段AB 的中点,∴C(-1,1),∵点A'与点A关于y轴对称,∴A'(2,0),设直线A'C的解析式为 解← 直线A'C的解析式为 令x=0,则 点P 的坐标为((0, ).
3. 【解析】如解图，连接 BE 并延长交 AC于点 P',当点 P 与点 P'重合时,BP-EP 取得最大值，最大值为 BE的长(同侧线段差最大值),在等边△ABC 中,AD 是中线,∴BD=DC=2,AD⊥BC(等边三角形三线合二), ∵ E 是 AD中点， 在 Rt△BDE 中,
4.5 【解析】由两点间距离公式可将 看作点(x,0)和点(1,1)两点间的距离，将 看作点(x，0)和点(5，2)两点间的距离，建立如解图坐标系，设点A(1,1),B(5,2),作点A关于x轴的对称点A',则 的最小值即为A'B的长(同侧两点求线段和最小值)，过A'作 A'D 平行x轴,过 B 作 BD 平行y轴,两直线相交于点 D,∴D(5,-1),∵A'B= 的最小值为5.
【解析】如解图，作点A 关于MN的对称点A',连接A'B,A'B与MN交点即为点 P,此时BP+AP 的值最小，最小值为AB'的长(同侧线段和最小值)由对称性可知AP=A'P，∴BP+AP=BP+A'P=A'B,连接OA,OB,OA',可知 ,则∠NOA'=∠NOA=2∠AMN=60°(同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，∵点B 为. 的中点,∴∠BON=30°,∴∠BOA'=∠BON+∠NOA'=90°,∵MN=1,∴OA'=OB= ∴在 Rt△OA'B 中, 即BP+AP 的最小值为
6. (1)10;(2)8 【解析】(1)∵EF 垂直平分AC,∴EA=EC,又∵C△BEC=BE+EC+BC=18,BE+EA=AB=10,∴BC= 18-10=8,当 P 与点 E 重合时,PA+PB 的值最小,最小值为AB的长(异侧两点求线段和最小值)，∴PA+PB的最小值为10;(2)如解图,FE 与 CB 的延长线交于点 P',连接 PC,∵ EF 垂直平分AC,∴PA=PC,∴PA-PB=PC-PB≤P'C-P'B=BC,当点 P,B,C三点共线时,|PC-PB|有最大值(异侧两点求线段差最大值)，此时P'C-P'B=BC=8,∴|PA-PB|的最大值为8.
7.解:(1)∵ 抛物线的对称轴为直线x=1, 解得b=-2,
∵抛物线与y轴交于点 C(0,-3),
∴c=-3,
∴抛物线的解析式为y
(2)∵抛物线的解析式为
∴A(-1,0),B(3,0),如解图，取点 C关于抛物线对称轴x=1的对称点 D，根据抛物线的对称性,得D(2,-3);连接AD,交抛物线的对称轴于点 M(同侧两点求线段和的最小值),
设直线 AD 的解析式为y= kx+d,代入A(-1,0),D(2,-3),得: 解得
∴直线AD 的解析式为y=-x-1,∴M(1,-2);
∴ △ACM 周长的最小值为 3