2.2立方根 湘教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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2.2立方根湘教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数，，，，，，，无理数的个数为( )
A. B. C. D.
2.河北邢台调研，中有这样一道题目：“已知，求的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是 ( )
甲：的值是；
乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
A. 甲说的对，的值就是 B. 乙说的对，的另一个值是
C. 乙说的对，的另一个值是 D. 两人都不对，应有个不同的值
3.下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
4.的立方根是( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 负数没有方根
B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应
C. 平方根和立方根都等于它本身的数是和
D. 近似数有个有效数字
6.如图，该几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成已知该几何体的体积约为方块之间的缝隙忽略不计，则每个小正方体的棱长为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，
则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( )
A. B. C. D.
8.下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
9.若，，则式子的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
10.的立方根是( )
A. B. C. D.
11.按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是 ( )
A. B. C. D.
12.面积为的正方形，其边长等于( )
A. 的平方根 B. 的算术平方根 C. 的立方根 D. 的算术平方根
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.的立方根为______．
14.已知和分别是一个正数的两个平方根，的立方根为，则的平方根为______．
15.已知，则的平方根为______．
16.计算： ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的一个平方根是，的立方根为求的立方根．
18.本小题分
已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根．
19.本小题分
完成下列各题：
把下列各数分别填入所属的集合，．，，，．，，，相邻两个之间的个数逐次加．
有理数：______；
无理数：______；
正实数：______；
负实数：______．
求下列各式中的值．
，；
如图，，，，与全等吗？为什么？
20.本小题分
计算或解方程：
；
．
21.本小题分
已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分．求的平方根．
22.本小题分
已知一个正数的两个不相同的平方根是和．
求的值．
求的立方根．
23.本小题分
已知与最简二次根式可以加减合并，是的立方根．
求，的值；
求的平方根；
若，求的值．
24.本小题分
如果一个正数的两个不同平方根是和．
求这个正数的值
求的立方根．
25.本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，为无理数，共有个．
故选：．
根据实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数解答本题即可．
本题主要考查无理数的定义，立方根，二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了立方根的知识，关键是掌握立方根等于本身的数是或．
根据立方根的定义解答即可．
【解答】
解： ，
或．
当时，；
当时，；
当时，．
故有个不同的值，故两人说法都不对．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：．，正确，符合题意；
B、，不正确，不符合题意；
C、等号左边是算术平方根，应等于；不正确，不符合题意；
D、等号左边是算术平方根，应等于．不正确，不符合题意；
故选：．
分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可．
本题主要考查了立方根，算术平方根，熟练掌握它们的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：的立方是，
的立方根为．
故选：．
首先根据立方根的定义求出的立方，然后就可以解决问题．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同
5.【答案】
【解析】A.方根包括平方根、算术平方根和立方根，负数有立方根，故此选项说法错误．数轴上的数与实数具有一一对应的性质，实数包括有理数和无理数，数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，故此选项说法错误．平方根和立方根等于它本身的数只有所以此说法错误．近似数的有效数字是指从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有的数字．这些数字构成了该近似数的有效数字．例如，对于近似数，有效数字的和，共有个有效数字．需要注意的是，数字之间的和末尾的通常被认为是有效数字的一部分，除非它们位于非显著位置即小数点右侧的第一个非零数字之后那么本选项，有效数字为、、，故有个有效数字，所以本选项说法正确．综上所述，本题答案为．
本题考查了实数，注意负数有立方根，没有平方根．数轴上的点与实数一一对应，平方根和立方根等于它本身的数是，近似数有三个有效数字．
本题考查了数轴和实数，平方根和立方根，有效数字的应用，主要考查学生对基础知识的掌握程度，理解力和辨析力．
6.【答案】
【解析】解：由条件可知：每一个小正方体的体积为，则每个小正方体的棱长为，
故选：．
根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长．
本题考查立方根解决问题，读懂题意，掌握正方体体积公式是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
，
第个数应是，
故选：．
观察可知，这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可；
本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键．
8.【答案】
【解析】解：、原式，所以选项错误，不符合题意；
B、不能合并，所以选项错误，不符合题意；
C、原式，所以选项正确，符合题意；
D、原式，所以选项错误，不符合题意；
故选：．
根据平方根的性质对、进行判断；根据实数的加法法则对进行判断；根据立方根的性质对进行判断．
本题考查了平方根和立方根的性质以及实数混合运算，解答的关键是掌握以上知识点．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查平方根与立方根，先求得，，再计算的值，写出选项．
【解答】
解：，，
，，
当，时，，
当，时，．
10.【答案】
【解析】【分析】求出后即可求出答案．
【详解】，
的立方根为，
故选B．
【点睛】本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是实数的运算，熟知有理数与无理数的概念是解答此题的关键．
根据所给出的程序，由算术平方根和立方根的定义进行计算即可．
【解答】
解：由所给的程序可知，当输入时，，
是有理数，
取其立方根可得到，，
是有理数，
取其算术平方根可得到，
是无理数，
．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：面积为的正方形，其边长等于，即：的算术平方根；
故选：．
根据算术平方根的定义，求解即可．
本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义，求解即可．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据立方根的定义即可求出的立方根．
此题主要考查了立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．
【解答】
解：的立方根为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
的立方根为，
，
，
，
的平方根为，
故答案为：．
由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，即得，最后根据平方根的定义即可求解．
本题考查了平方根和立方根，掌握以上知识点是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
的平方根为．
故答案为：．
根据立方根的定义得出，进而求平方根即可．
本题考查立方根和平方根，熟练掌握该知识点是关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本运算，解答的关键是灵活运用立方根化简、牢记特殊角的三角函数值．
先运用立方根和特殊角的三角函数进行化简，然后再进行计算即可．
【解答】
解：原式．
17.【答案】解：的一个平方根是
，
解得．
的立方根为
解得，
．
的立方根是，
的立方根是．
【解析】本题考查了立方根的定义，平方根的定义，算术平方根熟记概念并求出、的值是解题的关键．根据平方根的定义列式求出，再根据立方根的定义列式求出，然后代入代数式进行计算即可得解．
18.【答案】解：由条件可知，
，
的立方根是，
，
，
，
的算术平方根为．
【解析】对于两个实数、，若满足，那么就叫做的平方根，若为非负数，那么就叫做的算术平方根；若满足，那么就叫做的立方根，据此可得，，求出、的值，进而求出的值，即可得到答案．
本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键．
19.【答案】，，，， ，，相邻两个之间的个数逐次加 ，，， ，，，相邻两个之间的个数逐次加
【解析】解：．
有理数： ；
无理数：相邻两个之间的个数逐次加；
正实数： ；
负实数：相邻两个之间的个数逐次加；
故答案为：，，，，；，，相邻两个之间的个数逐次加；，，，；，，，相邻两个之间的个数逐次加；
，
，
，
；
，
，
，
；
与全等，理由如下：
，
即，
，，
≌．
先将立方根化简，然后根据有理数、无理数、正实数、负实数的分类求解即可；
利用平方根求解即可；利用立方根求解即可；
根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可．
题目主要考查实数的分类，算术平方根及立方根，全等三角形的判定，理解题意，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
20.【答案】解：原式
；
，
，
，
．
【解析】先计算算术平方根，立方根和乘方，再计算加减法即可；
先移项，未知数的系数化为，再根据求立方根的方法解方程即可．
本题主要考查了实数的运算，求立方根的方法解方程，熟练掌握以上知识点是关键．
21.【答案】解：根据题意可得：，
，
，
，
，是的整数部分，
，
，
，
即的平方根为．
【解析】本题考查了代数式的求值、算术平方根、立方根、无理数的估算，理解算术平方根的定义，立方根的定义，会利用完全平方数和算术平方根估算无理数的大小是解答的关键．
根据算术平方根的定义得到，可解得值，根据，可得，再根据立方根的定义可得，可解得，然后将、、的值代入计算即可．
22.【答案】解：正数的两个不同的平方根分别是和，
，
解得：，
．
解：由可得：，
的立方根为，
的立方根为．

【解析】【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，以及立方根的定义．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，列出方程，求出的值，再求出的值即可；
先求出，再根据立方根定义，即可解答．
23.【答案】解：，由题意，得：，
，
；
当，时，
，
的平方根；
．
【解析】根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可；
先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可；
求出的值，将转化为，再代值计算即可．
本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值，熟练掌握以上知识点是关键．
24.【答案】解：由题意得：
，
解得：．
当时，，，
．
当时，，
的立方根为，即：．
【解析】本题考查了平方根的性质，立方根的计算．
根据平方根的定义计算即可；
将的值代入，求立方根即可．
25.【答案】解：的立方根是，的算术平方根是，
解得：
是的整数部分，
，
，
的平方根是．

【解析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
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