3.2不等式的基本性质 湘教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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3.2不等式的基本性质湘教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.若，则下列不等式仍成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知，则一定有，“”中应填的符号是( )
A. B. C. D.
4.下列变形中不正确的是( )
A. 由得 B. 由 得
C. 由得 D. 由得
5.若，那么下列各式中不正确的是( )
A. B. C. D.
6.关于的方程组，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.设，，，，，则，，之间的关系是 ( )
A. B. C. D.
8.若，则下列式子中一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.若，则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.如果，那么下列各式中错误的是 ( )
A. B. C. D.
11.下列说法不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，且，则的取值范围为______．
14.若不等式，两边同除以，得，则的取值范围为______．
15.下列说法：立方根等于本身的数是，，；没有平方根；两个无理数的和还是无理数；若，，则；若，则；，则是负数，其中正确的序号是______．
16.在有理数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如：，则不等式的解集是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的方程．
若该方程的解满足，求的取值范围；
若该方程的解是不等式的负整数解，求的值．
18.本小题分
对于下列问题：、是实数，若，则，如果结论保持不变，怎样改变条件，这个问题才是正确的？下面给出两种改法：、是实数，若，则，、是实数，若，则，试利用不等式的性质说明这两种改法是否正确？
19.本小题分
已知关于，的二元一次方程组的解满足．
求的取值范围．
在的条件下，若不等式的解集为，求整数的值．
20.
已知，是否一定有？请说明理由．
已知，是否一定有？请说明理由．
21.
用等号或不等号填空：
当时， ；
当时， ；
当时， ．
无论取什么值，与总有上面的大小关系吗？请说明理由．
22.本小题分
身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方体重单位：千克；身高单位：米．
国家卫健委制定的中国标准如下表：
指数范围
身体描述 偏低 正常 超重 肥胖
已知某同学体重千克，身高米．
通过计算，选择对该同学合适的身体描述；
若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围．
23.本小题分
有一个数学游戏，如图，一个实数从，，三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置例如：将按照或的顺序进行运算，是将数据经过“乘以”的运算得出结果．
将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果；
将一个大于的数按照的顺序进行运算，发现运算结果总小于请验证这个结论．
24.本小题分
已知，且，，求的最大值与最小值．
25.本小题分
已知关于、的方程满足方程组．
若，求的值；
若、均为非负数，求的取值范围；
在的条件下，求的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据不等式的性质：不等式两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变． 不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变． 不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变判断如下：
A、和均大于，但不一定大于，故选项错误
B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误；
C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确；
D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误；
故选：．
根据不等式的性质：不等式两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变． 不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变． 不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、若，则，原不等式不成立，不符合题意；
B、若，则，原不等式不成立，不符合题意；
C、若，则，原不等式不成立，不符合题意；
D、若，则，原不等式成立，符合题意；
故选：．
不等式基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式基本性质：不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式基本性质：不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向变．据此逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质．
3.【答案】
【解析】解：，
．
故选A．
根据不等式的性质：不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变，即可选出答案．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
根据不等式的性质分别判断即可．
【解答】
解：由得，故A不符合题意；
由 得，故B不符合题意；
由得，故C符合题意；
由得，故D不符合题意，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、不等式的两边都减，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；
B、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故B错误，符合题意；
C、不等式两边同乘以，不等号方向不变，故C正确，不符合题意；
D、不等式的两边都除以，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质，可判断；根据不等式的性质，可判断；根据不等式的性质，可判断、．
主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】
【解析】先解方程组，再转化不等式解答即可．
本题考查了方程组的解法，解不等式，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键．
【详解】解：解方程组
得，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质及分式的恒等变形．
不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
先根据已知条件将、、变形，然后由不等式的基本性质，结合的条件即可求解．
【解答】
解：，
，，．
，
，
．
，
，
，
即．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
【解答】
解：由可得，但不一定不成立；
B.由可得，故不成立；
C.由，当时，可得，但当时，，故原结论不一定成立；
D.由可得，成立；
故选D．
9.【答案】
【解析】解：、，，原变形错误，不符合题意；
B、，，原变形正确，符合题意；
C、，，原变形错误，不符合题意；
D、，，原变形错误，不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是不等式的基本性质，解答此类题目时一定要注意当不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：、，，故本选项错误，符合题意；
B、，，故本选项正确，不合题意；
C、，，故本选项正确，不合题意；
D、，，故本选项正确，不合题意．
故选A．
11.【答案】
【解析】解：、若，则，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、若，则，原说法正确，故本选项不符合题意；
C、若，则，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、若，当时，则，原说法不正确，故本选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐一计算，即可得到答案．
本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式两边同时加或减同一个数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：、不等式的两边都加上可得，原变形正确，故本选项符合题意；
B、不能确定是正数、负数或，因此不一定成立，故本选项不符合题意；
C、不等式的两边都除以，只有时可得，所以，不等式不一定成立，故本选项不符合题意；
D、不等式的两边都加上可得，原变形错误，故本选项不符合题意．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由得，
根据可知，
当时，取得最大值，且最大值为，
当时，取得最小值，且最小值为，
所以．
故答案为：．
由得，根据可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值，将和代入解析式，可得答案．
本题考查了一元一次不等式的性质利用不等式的性质结合的取值范围确定出的取值范围是解答的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题可知：，
解得：．
运用不等式的性质解题即可．
本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的符号要改变，是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：立方根等于本身的数是，，，故说法正确，符合题意；
时，，此时没有平方根，
时，，此时有平方根，故说法错误．不符合题意；
，，两个均是无理数，它们的和为，是有理数，故说法错误，不符合题意；
若，，即，，则，故说法正确，符合题意；
若，即，则，即，故说法错误，不符合题意；
若，则不一定是负数，例如，满足，但是是正数，故说法错误，不符合题意；
故答案为：．
根据实数的性质，加减乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了立方根，实数的性质以及运算法则，熟练掌握以上知识点是关键．
16.【答案】
【解析】根据题意，得，即，，所以，则
17.【答案】解：，
，
该方程的解满足，
，
解得：．
，
，
，
，
，
，
该不等式的负整数解为，
由题意，得，
解得．
【解析】先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于的不等式，即可求解；
求出不等式的解集，根据不等式的负整数解为，代入方程，即可求解．
本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
18.【答案】解：这两种改法都正确，理由如下：
由，且、均为正数，利用不等式性质得，，所以．
由，且、均为负数，利用不等式性质得，，所以．
【解析】根据不等式基本性质对两种改法进行逐一判断即可．
本题考查的是不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
19.【答案】【小题】解：
得．
，
，
解得．
【小题】解：不等式的解集为，
，
解得
又，
．
整数的值为．

【解析】 本题考查二元一次方程组的解，一元一次不等式的解法．
先根据方程组求得再由，列出关于的不等式，求解即可．
本题考查不等式的解集，不等式的性质．
根据不等式的解集为，求得 ，结合，即可得解．
20.【答案】【小题】
解：已知，一定有理由：不等式两边都加上，根据不等式的基本性质，得，所以；两边都除以，根据不等式的基本性质，得，所以．
【小题】
已知，一定有理由：不等式两边都加上，根据不等式的基本性质，得，所以；两边都除以，根据不等式的基本性质，得，所以．

【解析】 见答案
见答案
21.【答案】【小题】

【小题】
无论取什么值，总有．
理由：因为，所以，即．

【解析】 略
见答案
22.【答案】解：由题意可得，
该同学为：，
，
该同学的身体描述为肥胖；
设该同学的体重为，
由题意可得，，
解得，
即若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，该同学合适的体重范围为．
【解析】根据题意和题目中的数据，可以计算出该同学的值，然后对照表格中的数据，即可对该同学的圣体进行描述；
根据题意，可以列出相应的不等式组，然后求解即可．
本题考查有理数的混合运算、不等式的性质，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确运算法则和解不等式的方法．
23.【答案】解：根据题意列式为：
．
设这个数为，则．
，
．
【解析】根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可．
本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键．
24.【答案】解：，
，，，
，
，
，，为三个正数或者一个正数两个负数，
当，，为三个正数时，，，，
，与矛盾，
，，为一个正数两个负数，
若，则，
若，则，
若，则，
的最大值为，最小值为．
【解析】先根据化简，在根据判断，，与的大小关系，从而求解的最值．
本题主要考查了解不等式以及绝对值，判断，，与的大小关系是本题解题的关键．
25.【答案】解：，
得：，
，
，
解得：；
，
解得：，
、均为非负数，
，，
即，
解得：；
，
，
，
，
，
即，
的最大值为，最小值为．
【解析】利用整体的思想可得：，从而可得，然后进行计算即可解答；
先解方程组可得：，然后根据已知易得：，，从而可得，最后进行计算即可解答；
利用的结论可得：，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
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