4.3平行线的性质 湘教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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4.3平行线的性质湘教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在边长为的正方形网格中，与相交于点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，已知点、、、在同一直线上，，，添加下列条件后，仍不能判断的是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知，是的平分线，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，直线，于点若，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.如图，，平分，，，，则下列结论：，平分，，．
其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
6.图是实验室利用过滤法除杂的装置图，图是其简化示意图，在图中，若，，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，直线，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线相交，，则( )
A.
B.
C.
D.
9.一副三角形板如图放置，，，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，已知，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点，若，分别平分，，则与的数量关系为( )
A. B.
C. D.
11.下列命题中，真命题的是( )
A. 带根号的数都是无理数 B. 一个角的补角大于这个角
C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形的一个外角大于它的任何一个内角
12.如图，已知，，，给出下列结论：；；；平分；其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.要在，两地之间修一条公路如图，从地测得公路的走向是北偏东如果，两地同时开工，那么在地按_____施工，能使公路准确接通．
14.浙江湖州期中如图所示，一个长方形纸条按如图所示的方法折叠，则__________．
15.如图，在中，平分，平分，过点作，分别与，相交于点，若的周长为，的周长为，则 ．
16.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，，的平分线是，，求的度数．
18.本小题分
如图，在小区道闸的平面示意图中，垂直地面，垂足为点，平行于地面。若，求的度数。
19.本小题分
如图，，与的平分线相交于点，证明与的位置关系．
解：平分已知，
______；
同理．
已知，
______，
所以 ______．
______，
______，
与的位置关系是______．
20.
如图，，试用不同方法证明．
如图，，，，之间有怎样的数量关系？证明你的结论．
21.本小题分
如图，，若，，求的度数．
22.本小题分
如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接，求证：
；
四边形是菱形．
23.本小题分
如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
求证：；
若在边上存在点，使四边形是正方形，且，求此时的大小．
24.本小题分
如图，，平分，，求的度数．
25.本小题分
如图，直线与直线相交于点，根据下列语句画图：
过点作，交于点；
过点作，垂足为；
若，猜想是多少度？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，取格点，连接，，
由网格可知：，，
，
，
，
，
，
故选：．
取格点，连接，，由网格可知，，，从而可得，利用余弦的定义即可求解．
本题考查了解直角三角形，平行线的性质，勾股定理及逆定理，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得，然后利用、、、进行分析即可．
【解答】
解：，
，
，
A.添加可利用定理判定，故此选项不合题意；
B.添加可利用定理判定，故此选项不合题意；
C.添加可证出，可利用定理判定，故此选项不合题意；
D.添加，不能根据、、、、证明，所以不能判定，故此选项符合题意；
故选D．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：，
，
，
是的平分线，
，
故选：．
由题意得：，由得，根据是的平分线得．
本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
4.【答案】
【解析】解：如图，过点作直线．
，，
．
，
．
．
故选：．
过点作的平行线，利用平行线的性质即可求解．
本题考查了垂线及平行线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，角平分线性质，垂线的性质等内容，掌握平行线、角平分线及垂线的性质是解题关键，由，则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到；利用，可计算出，则，即平分； 利用，可计算出，则； 根据，，可知不正确．
【解答】
解：，
，
，
平分，
，所以正确；
，
，
，
，所以正确；
，
，
，
，所以正确；
，
而，所以错误．
综上所述，正确的结论为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质可得，，然后根据等边对等角求得，利用三角形内角和定理即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识点是关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，
过作交于点，可得，，再由，可得，进而得出，即可求出
【解答】
解：过作交于点，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
，
，
故选：．
先计算，再根据，得到，解答即可．
本题考查了平角的定义，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：中，，
，
，，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到，据此可得的度数．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，即可得出结论．
【解答】
解：过点作，过点作，
，
，
，，
，分别平分，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，带根号的数都是无理数是假命题，
例如：是有理数，
选项A中的命题是假命题，
故选项A不符合题意；
对于选项B，一个角的补角大于这个角是假命题，
例如：，它的补角为．
选项B中的命题是假命题，
故选项B不符合题意；
对于选项C，根据平行线的性质得：两直线平行，内错角相等
选项C中的命题是真命题，
故选项C符合题意；
对于选项D，根据三角形的外角定理得：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，
选项D中的命题是假命题，
故选项D不符合题意．
故选：．
根据是有理数可对选项A进行判断；根据，它的补角为可对选项B进行判断；根据平行线的性质可对选项C进行判断；根据三角形的外角定理可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了无理数的定义，互为补角的定义，平行线的性质，三角形外角定义，熟练掌握无理数的定义，互为补角的定义，平行线的性质，三角形外角定义是解决问题的关键，特别需要注意的是：如果是假命题就需要举出一个反例．
12.【答案】
【解析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【详解】解：，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
根据已知条件不能推出也等于，故错误；
，
，
，
不一定等于，故错误；
即正确的个数是，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
则，
，
即在地公路按施工，能使公路准确接通．
此题根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
此题是平行线的性质在实际生活中的运用，锻炼了学生对所学知识的应用能力．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质和折叠的知识，根据两直线平行内错角相等，以及折叠的性质求解即可．
【解答】
解：如图，由题意知 ，
．
由折叠得 ．
故答案为．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：如图，和交于点，
由三角板可知：，，
，
，
，
故答案为：．
根据三角板得到，，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查平行线的性质，三角板的性质，三角形内角和，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
17.【答案】解：，，
，，
是的平分线，
，
．
【解析】根据平行线的性质得到，角平分线的性质得到，再根据平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
18.【答案】解：如图所示，过点作，根据题意知，所以。
因为，所以，所以。
因为，，所以，
所以。

【解析】见答案
19.【答案】角平分线的定义 或垂直
【解析】解：平分已知，
角平分线的定义，
同理．
已知，
，
所以，
，
，
与的位置关系是．
故答案为：角平分线的定义；；；；；．
角平分线的定义及平行线的性质、垂直的定义即可得出结论．
本题考查平行线的性质、角平分线的定义，正确运用平行线的性质是解题的关键．
20.【答案】【小题】
证明：方法如图所示，过点作．
辅助线的作法，
两直线平行，内错角相等．
已知，
平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
等式的性质，即．
方法如图所示，延长交于点．
已知，
两直线平行，内错角相等．
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
等量代换．
【小题】
解：．
证明如下：如图所示，
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，已知，
两直线平行，同位角相等，
等量代换，即．

【解析】 见答案
见答案
21.【答案】解：已知，
两直线平行，内错角相等，
两直线平行，同旁内角互补，
已知，
等式性质，
．
【解析】本题考查平行线的性质．先根据，由两直线平行，内错角相等可得到，由两直线平行，同旁内角互补可得到，从而求得和的度数，再由即可求出的度数．
22.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
平分，
；
是等腰三角形，
，
平分，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【解析】本题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的几个判定方法，难度不大．
证得是等腰三角形后利用三线合一的性质得到即可；
首先证得四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．
23.【答案】证明：平分，平分的外角，
，，
，
，，
，，
，，
；
解：四边形是正方形，
，，
，
，即是直角三角形，
，
，
，
．

【解析】根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，则，，根据等角对等边即可求证；
根据正方形的性质得出，，进而推出是直角三角形，则，得出，即可解答．
本题考查了正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性定义，等腰三角形的判定，解直角三角形，解题的关键是掌握正方形对角线互相垂直平分；两直线平行，内错角相等；等角对等边．
24.【答案】解：，
，
平分，
，
，
．
【解析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
25.【答案】解：如图所示：即为所求；
如图所示：即为所求；
理由：，
，
，
．
【解析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键．
过点作，交于点；
过点作，垂足为；
利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
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