4.4平行线的判定 湘教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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4.4平行线的判定湘教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在平行四边形中，，分别是和的平分线，添加一个条件，仍无判定四边形为菱形的是( )
A.
B.
C.
D. 平分
2.如图，下列不能判断的条件有( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
3.如图，下列四个选项中，不能判定的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，下列条件不能判定的是( )
A. B.
C. D.
5.在平面内如果直线，，那么；
相等的角是对顶角；
两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
如果直线，，那么；
两条直线平行，同旁内角相等；
两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．
以上说法正确的有几个( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线下列作法错误的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在下列条件中，能判断的是( )
A. B.
C. D.
9.将一副三角板按如图放置，则下列结论：如果，则有；；如果，则有；如果，必有；正确的有( )
A. B. C. D.
10.善思的雯雯发现英文大写字母“”中某一个部分也可以抽象成一个数学问题：如图，已知，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
11.如图，下列不能判定的条件是( )
A. B. C. D.
12.淮南万毕术是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是( )
A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 内错角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，此时，三角板绕点以度秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以度秒的速度逆时针旋转，时间为秒，当与第三次平行时， ______秒
14.一测量员从点向正北出发，行走米到点，然后向左转，再走米到点，再左转，行走米到点，那么与的位置关系是______．
15.一副直角三角尺按如图所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动至图的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题：
如图，当 ______时，；
在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为______．
16.如图，已知，，那么的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知点在上，点，在上，，．
试说明：；
若，，试说明：；
若，，求的度数．
18.本小题分
如图，，说明：请将说明过程填写完整．
证明：，已知
________________________
又，已知
___，_____________________
________，_____________________
______________________
19.本小题分
填充证明过程和理由：
如图，，，平分，求证：．
20.本小题分
如图，平面内有三个点、、．
读句画图：
画线段、射线、直线；
在线段上任取一点不与、重合；
作，作，垂足分别是、；
请判断与的关系，并说明理由．
21.本小题分
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
画线段且使，连接；
线段的长为______；
的形状为______；
求的面积．
22.本小题分
如图，已知，．
求证：；
连接，恰好满足平分若，，求的度数．
23.
已知：如图，直线，，被直线所截，，．
求证：．
你在的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
24.本小题分
如图，，分别在，上，小明想知道和是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接，再找出的中点，然后连接并延长与直线相交于点，经过测量，他发现，因此他得出结论：和互补请写出证明过程．
25.本小题分
用无刻度直尺在图网格中画图点、、、都在网格的格点上：
画直线交于点；
过点画直线，使；过点作，垂足为点；
尺规作图：如图，已知及角的一边上点，过点作不写作法，保留作图痕迹
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
又，分别是，的平分线，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
若，不能判定四边形为菱形，故选项A符合题意；
若，则四边形为菱形，故选项B不符合题意；
若，则四边形为菱形，故选项A不符合题意；
若平分，
，
，
，
，
四边形为菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的性质和角平分线的性质得，进而由平行线的性质得，则，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定依次判断即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
同旁内角互补，两直线平行，
故不能判断；
，
内错角相等，两直线平行，
故不能判断；
，
内错角相等，两直线平行，
故能判断；
，
内错角相等，两直线平行，
故不能判断；
故选：．
根据平行线的判定定理来判断即可．
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的三个判定定理是本题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【解答】
解：、，同位角相等，两直线平行，此选项不符合题意；
B、，
，同旁内角互补，两直线平行此选项不符合题意；
C、，同旁内角互补，两直线平行，此选项符合题意；
D、，内错角相等，两直线平行，此选项不符合题意．
4.【答案】
【解析】解：和是同位角，当时，，故A错误；
和是同旁内角，当时，，故B错误；
和是内错角，当时，，故C错误；
和不是同位角，也不是内错角，当时，不能证明，故D正确，
故选：．
根据平行线的判定进行判断即可．
本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行线的判定与性质、对顶角的定义，相交直线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用平行线的判定与性质、对顶角的定义，相交直线的性质等知识一一判断即可．
【解答】
解：在平面内如果直线，，那么；正确．
相等的角是对顶角；错误，
两条直线被第三条直线所截，同位角相等；错误
如果直线，，那么；错误．
两条直线平行，同旁内角相等；错误．
两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：、如图，
，本选项正确，不符合题意；
B、由作图可知，，
，
，本选项正确，不符合题意；
C、如图，由作图可知，
四边形是菱形，
，本选项正确，不符合题意；
D、根据作图痕迹，无法判断，本选项错误，符合题意．
故选：．
利用作图痕迹，平行线的判定一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】
【解析】解：、与是直线、被所截形成的内错角，因为，所以应是，故A错误；
B、， 内错角相等，两直线平行，所以正确；
C、， 同位角相等，两直线平行，所以正确；
D、，同旁内角互补，两直线平行，所以正确；
故选：．
根据平行线的判定方法直接判定．
此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
8.【答案】
【解析】解：由可判断 ，不符合题意；
不能判定图中直线平行，不符合题意；
由可判定 ，符合题意；
由可判定 ，不符合题意；
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理判断；根据角的关系判断即可；根据平行线的性质定理判断；根据平行线的性质定理判断．【解答】
解：因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，故正确；
因为，，
即，故正确；
因为，
所以，
又因为，，
所以，
所以，故错误；
因为，，
所以，
所以，
所以，故正确．
故选A．
10.【答案】
【解析】解：如下图，过点作，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
过点作，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再证明，易得，然后根据求解即可．
本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
由平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可判断．
【解答】
解：，由同位角相等，两直线平行，能判定，故A不符合题意；
B.，与是邻补角，不能判定，故B符合题意；
C.，由内错角相等，两直线平行，能判定，故C不符合题意；
D.，由同旁内角互补，两直线平行，能判定，故D不符合题意．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行线的判定，关键是掌握确定平行线的判定方法．
根据题意得由内错角相等确定两平面镜平行．
【解答】
解：由题意得
根据内错角相等两直线平行得两平面镜平行．
13.【答案】
【解析】解：固定三角板，旋转三角板至与平行的位置，如图所示，
，
，
又，
，
三角板顺时针旋转的角度为，
即两三角板旋转的角度之和为时，与第一次平行，
当两三角板旋转的角度之和为时，与第三次平行，
，
解得．
故答案为：．
根据题意，先求出第一次平行时两三角板旋转的角度之和，再将此度数加上度得出第三次平行时旋转的角度之和即可解决问题．
本题主要考查了平行线的判定与性质及一元一次方程的应用，熟知平行性的判定与性质及能根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
14.【答案】平行
【解析】解：如图所示，．
故答案为：平行．
作出图形，然后根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题考查了平行线的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
15.【答案】 或或
【解析】解：如图，当时，
，
，
，
点与点重合，
，，三点共线，即如图，
；
故答案为：；
分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数，再找到关于点中心对称的情况：
如图，当时，；
如图，当时，
，
，，
；
当时，如图，
，
，
．
故答案为：或或．
画出图形，并根据平行线的性质求解即可；
分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数，再找到关于点中心对称的情况即可求解．
本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
首先得到，证明出，然后得到，进而求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，对顶角、邻补角，关键是平行线判定定理的熟练掌握．
17.【答案】【小题】解：，，，
，
．
【小题】解：，
．
，
．
，
，
，
．
【小题】解：，，
，
，
．
，
，
解得．
， ，
，，
．

【解析】 本题主要考查平行线的判定，根据，，结合对顶角相等可得，利用内错角相等两直线平行可证明结论．
本题主要考查平行线的判定与性质，垂线的定义，根据垂直的定义可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，可求得，利用同位角相等两直线平行可得，进而可证明结论．
本题主要考查平行线的判定与性质，根据同旁内角互补可判定，结合可求解的度数，根据平行线的性质可得，即可求解．
18.【答案】证明：已知，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．

【解析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的性质推出，推出，根据平行线的性质得出，即可．
19.【答案】证明：，
，
又，
，
平分，
，
．
，
．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的性质和判定是解题的关键．由平行线的性质和角平分线的定义可得，由此可判定，再由平行线的性质求解即可．
20.【答案】解：如图所示：线段、射线、直线即为所求；
如图所示：点即为所求；
如图所示：，即为所求；
；
理由：，，
．
【解析】根据线段、射线、直线的特征及垂线的定义作图；
根据平行线的判定定理求解．
本题考查了复杂作图，掌握线段、射线、直线的特征及平行线的判定定理是解题的关键．
21.【答案】 直角三角形
【解析】解：如图所示，即为所求；
由勾股定理和网格的特点可得，
故答案为：；
由勾股定理和网格的特点可得，
，，
，
是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
．
根据题意结合网格的特点作图即可；
利用勾股定理求解即可；
利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
利用割补法求解即可．
本题主要考查了网格作图，勾股定理和勾股定理的逆定理，网格中求三角形面积，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
22.【答案】解：证明：，
，
又，
，
．
连接，
，，
，
平分，
，
由知：，
，
又，
，
．
【解析】由得，结合已知条件可得出，据此可得出结论；
由得，再根据角平分线的定义得，然后由知，进而可得，然后再利用三角形的内角和定理可求出的度数．
此题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；以及三角形的内角和等于．
23.【答案】【小题】
证明：已知，
同旁内角互补，两直线平行．
已知，
内错角相等，两直线平行，
平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
【小题】
解：在的证明过程中应用了“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个互逆的真命题．

【解析】 见答案
见答案
24.【答案】证明：是的中点，
．
，，
≌．
．
．
和互补．
【解析】由“”可证≌，可得，可证，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25.【答案】解：如图中，直线，点可即为所求；
如图中，直线，直线即为所求；
如图中，直线即为所求．
【解析】根据直线的定义画出图形；
根据平行线，垂线的定义画出图形即可；
在的上方作，直线即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
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