4.5垂线 湘教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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4.5垂线湘教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中是假命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
2.如图，已知点在直线上，、两点在直线上，且，是个钝角，若，则、两直线的距离可以是
A. B. C. D.
3.下列说法中：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
开不尽方的数都是无理数；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
无限小数都是无理数，正确的个数是( )
A. B. C. D.
4.是直线外一点，，，是直线上三点，且，，，则点到直线的距离 ( )
A. 小于 B. 等于 C. 不大于 D. 等于
5.在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是
A. B. C. D.
6.如图，，，垂足分别为、下列说法中错误的是( )
A. 线段的长是点到的距离 B. 、、三条线段，最短
C. 线段的长是点到的距离 D. 线段的长是点到直线的距离
7.如图，，，垂足为，则下面的结论中正确的个数为( )
与互相垂直； 与互相垂直；点到的垂线段是线段； 线段是点到的距离。
A. B. C. D.
8.在同一平面内，已知，，若直线、之间的距离为，直线、之间的距离为，则直线、间的距离为( )
A. 或 B. C. D. 不确定
9.两点之间，垂线段最短；
同位角相等；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
若，则点在第四象限；
；
．
其中真命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，已知直线和相交于点，，平分若，则的度数为
A. B. C. D.
11.如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
12.如图，，直线分别交，于，两点，于点若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为______．
14.如图，是边长为的等边三角形，点在边上不与点，重合，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则周长的最小值是 ．
15.如图，直角三角形中，，，，点是上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则线段长的最小值为______．
16.如图，，，，，点在线段上运动，则线段长的最小值是__________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，点是的边上的一点．
过点画的平行线，交于点；
过点画的垂线，交于点；
点到直线的距离是线段 的长度．
比较大小： 填“”、“”“”．
18.本小题分
如图，平面上有三点、、．
画直线，画射线不写作法，下同；
过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交射线于点；
线段 的长度是点到直线的距离；线段的长度是点 到直线 的距离；
线段、的大小关系为 ；理由是： ．
19.本小题分
如图，内有一点．
过点画直线，垂足为；
过点画，交于；
画出表示点到射线的距离的线段；
若，则的度数是______．
20.本小题分
按下列要求画图并填空：
如图，直线与相交于点是上的一点，
过点画出的垂线，交直线于点．
过点画出，垂足为点．
点到直线的距离是线段 的长．
点到直线的距离为 ．
21.本小题分
如图为网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，请用无刻度的直尺利用网格，根据下列要求完成画图．
画线段；
画直线；
过点画直线的垂线，垂足为；
在线段、、中，最短的线段为______．
22.本小题分
如图，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上．
过点画直线的垂线，垂足为；
比较与的大小：____，理由是_______________．
已知，求中边上的高的长．
23.本小题分
如图所示，码头、火车站分别位于，两点，直线和分别表示铁路与河流．
从火车站到码头怎样走最近画图并说明理由．
从码头到铁路怎样走最近画图并说明理由．
从火车站到河流怎样走最近画图并说明理由．
24.本小题分
如图，直线、相交于点，，垂足为．
若，求的度数．
若：：，求的度数．
25.本小题分
如图，直线与相交于点，，若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、对顶角相等，是真命题，本选项不符合题意；
B、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题，本选项符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，本选项不符合题意；
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，是真命题，本选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角相等，平行线的性质，垂线的性质一一判断即可．
本题考查命题与定理，对顶角相等，平行线的性质，垂线的性质，点到直线的距离，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点到直线的距离，点到直线的距离等知识．
根据垂线段最短，可得、两直线的距离小于，即可．
【解答】
解：，是个钝角，若
、两直线的距离小于
符合题意
3.【答案】
【解析】解：过平面上的一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
开不尽方的数都是无理数，这个说法正确，符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故这个说法正确，符合题意；
无限不循环小数都是无理数，原说法错误，不符合题意；
综上所述：正确的有共个．
故选：．
根据直线的性质，点到直线的距离的定义，线段的性质，实数的定义对各小题分析判断即可得解．
本题考查了实数，直线、线段的性质，点到直线的距离的定义．熟练掌握以上知识点是关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答．
【解答】
解：因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
所以点到直线的距离，
即点到直线的距离不大于．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂线段过点作线段所在直线的垂线段，是一条线段，且垂足应在线段所在的直线上．
根据垂线段的定义直接观察图形进行判断．
【解答】
解：过点作线段的垂线，垂足是点，垂线段即为所求，故A正确．
B.不垂直，所以错误．
C.是过点做的垂线段，故错误．
D.过点作的垂线，故错误．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是点到直线的距离，垂线段最短的有关知识，由题意利用点到直线的距离，垂线段最短的相关知识对给出的各个选项进行逐一分析．
【解答】
解：，，垂足分别为、，
线段的长是点到的距离，故A正确，不符合题意；
、、三条线段，最短，故B正确，不符合题意；
线段的长是点到点的距离，故C错误，符合题意；
线段的长是点到直线的距离，故D正确，不符合题意．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂线，点到直线的距离，关键时注意点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线进行分析．
【解答】
解：与互相垂直，说法正确；
与互相垂直，说法错误；
点到的垂线段是线段，说法错误；
线段的长是点到的距离，故此说法错误，
正确的有个．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：当直线在直线、之间时，如图，
直线、间的距离为；
当直线在直线、外部时，如图，
直线、间的距离为，
所以直线、间的距离是或．
故选：．
分两种情况，当直线在直线、之间时，当直线在直线、外部时，即可解决问题．
本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论．
9.【答案】
【解析】解：两点之间，垂线段最短；说法正确，是真命题；
两直线平行，同位角相等；原说法错误，是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；说法正确，是真命题；
若，则点在第二或四象限；原说法正确，是假命题；
；说法正确，是真命题；
；原说法正确，是假命题．
综上：是真命题．
故选：．
分别根据绝对值的性质，算术平方根的性质，坐标与图形的性质及平行公理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理，绝对值，算术平方根，坐标与图形的性质，垂线段最短，同位角、内错角、同旁内角，关键是相关知识的熟练掌握．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，对顶角相等的性质以及垂线定义，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键，先根据，得出是直角，求出的度数，再根据平分求出的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【解答】
解：，
是直角，
，
，
，
平分，
，
，
．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：如图，作，
，
，
，，
，
，
故选B．
根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
由直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到．
本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出．
13.【答案】
【解析】解：在上截取，连接，过点作于点，如图，
由题意可得：．
由旋转的性质可得：，，
，即，
又，，
≌，
，
当最短时，最小．
当点与点重合时，最短，即为的长．
，，，
，
．
，
，
，
，
故答案为：．
在上截取，连接，过点作于点，证明≌，得出，结合垂线段最短可知当点与点重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含度角的直角三角形的性质求解即可．
本题考查三角形全等的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，垂线段最短．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：将绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
周长，
当有最小值时，周长有最小值，
当时，有最小值，此时，
，即的最小值为，
周长的最小值为，
故答案为：
由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，由周长，当时，周长有最小值，求出的最小值即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，证明是等边三角形是本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
线段长的最小值为．
故答案为：
连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
16.【答案】
【解析】解：因为点在线段上运动，
所以当时，线段的长度最短，
又因为，，，，
所以，
所以，
故答案为：．
当时，线段的长度最短，依据三角形的面积即可得到的长．
本题主要考查了垂线段最短，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短
17.【答案】【小题】
解：的平行线如图所示；
【小题】
解：的垂线如图所示；
【小题】
【小题】

【解析】
本题考查了作图、应用与设计作图，比较线段的长短，点到直线的距离，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质．
利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可；

根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可；

根据点到直线的距离的定义，解决问题即可；
解：点到直线的距离是线段的长度．
故答案为：；

根据垂线段最短，解决问题．
解：根据垂线段最短可知，
故答案为：．
18.【答案】解：如图所示：
；；；
；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【解析】【分析】
此题主要考查了垂线，以及垂线的性质，关键是正确画出图形，掌握点到直线的距离的定义．
根据垂线的画法画图即可；
根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离填空；
根据垂线段的性质：垂线段最短可得答案．
【解答】
解：见答案；
线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．
故答案为；；；

理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
故答案为；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
19.【答案】
【解析】解：如图，直线即为所求；
如图，直线即为所求；
如图，线段即为所求；
，
．
故答案为：．
根据垂线的定义画出图形；
根据平行线的定义画出图形；
根据垂线段的定义画出图形；
利用平行线的性质求解．
本题考查作图复杂作图，垂线，点到直线距离，解题的关键是理解题意，正确画出图形．
20.【答案】【小题】
解：如图，直线即为所求；
【小题】
解：如图，直线即为所求；
【小题】
【小题】

【解析】
本题考查作图复杂作图，垂线，到直线的距离等知识：
根据垂线的定义画出图形即可；
根据垂线的定义画出图形即可；

根据点到直线的距离的定义，判断即可．
解：点到直线的距离是线段的长．
故答案为：；

根据点到直线的距离的定义，判断即可．
解：点到直线的距离为，
故答案为：．
21.【答案】
【解析】解：如图，线段即为所求作的线段；
如图，直线即为所求作的直线；
如图，即为所求；
因为垂线段最短，所以最短．
故答案为：．
根据线段定义画图即可；
根据直线定义画图即可；
根据垂线定义画图即可；
根据垂线段最短解答即可．
本题考查了线段，直线的定义，垂线段最短，垂线定义，熟练掌握线段，直线的定义，垂线段最短性质，垂线定义是解题的关键．
22.【答案】解：如图，直线即为所求；
；垂线段最短；
由题可知，边上的高为，
因为边上的高，
所以，
所以，
所以中边上的高的长为．
【解析】【分析】
本题考查尺规作图，垂线段最短，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
作直线垂直并交于点，直线即为所求；
根据垂线段最短解决问题即可；
利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】
解：见答案；
，理由是垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短；
见答案．
23.【答案】解：如图所示，沿走最近，理由：两点之间线段最短．
如图所示，沿走最近，理由：垂线段最短．
如图所示，沿走最近，理由：垂线段最短．

【解析】本题主要考查了线段的性质和垂线段的性质，熟练掌握两点之间线段最短和垂线段最短是解决此题的关键．
从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离，依据两点之间线段最短解答；
从码头到铁路的距离是点到直线的距离，依据垂线段最短解答；
从火车站到河流的距离是点到直线的距离，依据垂线段最短解答．
24.【答案】解：，
，
又，
，
；
设 ，
：：，
，
，
即，
，
，
．
【解析】根据垂直的定义得出，根据余角的定义求得，进而根据邻补角即可求解；
根据题意设 ，则，根据平角的定义求得，继而得出，根据对顶角的定义即可求解．
本题考查了垂线的定义，对顶角的定义，邻补角的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
25.【答案】解：，
，
．
【解析】因为，所以，因为，可得的度数．
本题考查了垂线，关键是掌握垂线的定义．
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