5.2旋转 湘教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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5.2旋转湘教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，将绕的中点逆时针旋转，点，，的对应点分别为点，，当点与点第一次重合时，点运动路径的长为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在中，将斜边的中点绕直角顶点顺时针旋转得到点，连接，。若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，点，分别在正方形的边，上，，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，已知，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，正方形和正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转给出以下结论：；；；其中正确结论的序号是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，正方形中，是对角线上的一个动点不与、重合，连结，将绕点顺时针旋转到，连结交于点，的延长线与边交于点，连结以下结论：；；；则正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，把四边形绕点顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为( )
A.
B. 或
C. 或
D. 或
10.如图，绕着点逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是( )
A. 点， B. 点， C. 点， D. 点，
11.如图，在中，，，，点是边上一点将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边上一点，且针对的长度，两人的说法如下：
甲：长度的最小值是；
乙：长度的最大值是．
下列判断正确的是( )
A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都不对
12.如图，在中，，，，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，与交于点，则长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，，点为边一动点，连接并将绕点顺时针旋转得到当是等腰三角形时，的长为______．
14.如图，在中，，，平分交边于点将绕点逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接若，则的长为______．
15.如图，已知点、，点在轴上运动．将绕顺时针旋转得到，则的最小值为_____．
16.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与、重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
将中所得先向左平移个单位，再向上平移个单位得到，画出，并写出点的坐标；
若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标．
18.本小题分
如图，线段和线段关于点对称，只用直尺作对称中心；
如图，线段是线段绕点逆时针旋转后得到的图形旋转角小于，用直尺和圆规作旋转中心．
19.本小题分
如图，在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，是边上的一动点，连接交于点，连接．
求证：；
如图，连接，点在线段上不含端点，且，连接交于点，判断与的位置关系，并证明你的结论．
20.本小题分
如图，在的方格纸中，的顶点都在格点上．
将绕点顺时针旋转得到，画出；
求四边形的面积．
21.本小题分
操作与思考如图，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，请出的长；
迁移与应用如图，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接求的长．
22.本小题分
如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点．
若，求的度数；
若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长．
23.本小题分
如图，一副三角尺的两个直角重叠在一起，，，固定不动，绕着点顺时针旋转．
将绕着点旋转图的位置，若，则 ______
若，在旋转的过程中的度数会发生变化吗？若不变化，请求出这个度数．
若，问题中的结论还成立吗？请说明理由．
将绕点逆时针旋转度，当为多少时，两个三角形至少有一组边所在直线互相垂直请直接写出所有答案？
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
将关于点中心对称得到，其中点，，的对应点分别为，，；
点的坐标为______．
25.本小题分
如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点．
求证：；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的运算．
由旋转的性质得出，，，求出和，则可得出答案．
【解答】
解：绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，连接，
在中，点是的中点，，
，
，
，
，
点与点第一次重合时，旋转角为，
，
由旋转的性质得到，
点运动路径的长为，
点运动路径的长为：，
故选：．
连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点 与点 第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点 运动路径的长为，利用弧长公式求解即可．
本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，掌握弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．
设点为的中点，先利用勾股定理计算出，，利用斜边上的中线性质得到，，再根据旋转的性质得到，，然后证明得到，于是根据三角形面积公式得到的面积．
【解答】
解：设点为的中点，连接，过点作于点，过作交延长线于点，
，，，
，
点为的中点，
，
，
，
斜边的中点绕直角顶点顺时针旋转得到点，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
的面积为．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据旋转的性质判断，C错误，得到，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和分析可得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，故A错误，C错误；
，
，，
，故D正确；
不一定等于，
不一定等于，故B错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，将旋转绕点顺时针旋转，与重合，在延长线上截取，连接，
可得≌，
，，，
四边形为正方形，，
，
，
≌，
，
．
故选：．
将旋转绕点顺时针旋转，与重合，在延长线上截取，连接，得到≌，利用正方形的性质及，利用确定出≌，利用全等三角形对应边相等得到，再由求出长，即为长．
此题考查了旋转变换，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转与轴对称规律是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：正方形和，
，，，
，即．
在和中，
，
≌，
，
故结论正确，符合题意．
正方形绕点旋转，
与在不断的变化，
不一定等于，
不一定与全等，
故BG不一定等于，故不正确；
如图所示，设交于点，交于点．
由可知，即．
又，，，
，
．
故结论正确，符合题意．
如图所示，连接、，
由知，，
则在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
．
在中，，
在中，，
．
故结论正确，符合题意．
故选：．
根据正方形的性质可得，，，利用得到≌，利用全等三角形对应边相等，即可得到结论；
根据旋转的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
设交于点，交于点，并由知，≌，利用全等三角形的性质得到，由对应角相等知，然后利用三角形的内角和定理，可得到，从而证得结论；
连接、，由知，，从而知、、、均是直角三角形，分别利用勾股定理得到，，，；然后利用等式的变换，可得，再次利用勾股定理，在中得到，在中得到，最后将、的值代入即可证得结论．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7.【答案】
【解析】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，．
四边形是正方形，
，．
．
，即．
在和中，
，
≌．
≌．
，
故正确；
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，，
，
，
故错误；
在上截取，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
故正确；
故选：．
证明≌得，故正确；
先证明，由三角形内角和定理得，进而得，故正确；
证明，得，故错误；
在上截取，证明≌得，，再证明，得，故正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，关键是证明三角形全等．
8.【答案】
【解析】解：如图，旋转角有：，，，
故选：．
根据旋转角的定义判断即可．
本题考查旋转的性质，解题的关键是理解旋转角的定义，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：如图：
，，
，
点为的中点，
，，
，
点、、在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在中，，
，
当点在的延长线上，
在中，，
，
综上所述：当时，的长为或，
故选：．
分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图可得：绕着点逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点，，
故选：．
根据旋转的定义和性质解答即可．
本题考查了旋转，熟练掌握旋转的定义及性质是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，且，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
如图，当点，点，点共线，且时，长度最小，
，
，
最小值为，
当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，
最大值为：．
故选：．
由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，则当点，点，点共线，且时，长度最小，当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大．
本题考查了旋转的性质，垂线段最短，含度的直角三角形，勾股定理等知识，确定点的轨迹是本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图，
将按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，
，，，，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，
在中，，，
，
，
，，
∽，
：：，
即：：，
解得，
．
故选：．
过点作于点，如图，根据旋转的性质得，，，，，则可判断为等边三角形，所以，，，则，再在中利用勾股定理计算出，接着在中计算出，所以，然后证明∽，则利用相似比可求出，最后计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．
13.【答案】或
【解析】解：设，则，
由旋转的性质可知，，，
当时，是等腰三角形，则
在中，，
，
解得：；
当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
解得：负值舍去，
故答案为：或．
设，由旋转的性质可知，，，当时，利用勾股定理列方程求解；当时，过点作的延长线于点，证明≌，再利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
由题意可得：，，
，
在和中，
，
≌，
，
过点作，如图：
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先由三角形的内角和定理可得，证明≌，则，过点作，所以，则，设，根据直角三角形的性质得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
15.【答案】【答案】
【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，取点在轴的负半轴上取点，使得，连接，过点作于点，由“”可证，可得点在过点上升且于轴夹角为度的直线上移动，则求出，再利用三角形是等腰直角三角形求出，即的最小值即可．
【详解】取点在轴的负半轴上取点，使得，连接，过点作于点，
，，
，，，
又由旋转可知：，
，即，
，，
，
，
又，
，
点在直线上移动，直线即为过点上升且于轴夹角为度的直线，
，
，、
，
，即
，
由垂线段最短可知，的最小值即为的长度，即，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，
是直角三角形，
在直角三角形中，，，
由勾股定理得：，
将绕点逆时针旋转得到，旋转后点的对应点为点，
，，
由勾股定理得：，
由垂线段最短可知，当时，的长度最小，则长度的最小，
此时，
，
则线段长度的最小值是，
故答案为：．
先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，，利用勾股定理可得，从而可得当时，的长度最小，则长度的最小，然后利用三角形的面积公式求出的最小值，由此即可得．
本题考查了勾股定理、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
17.【答案】【小题】
图如下：
；
【小题】
图如下：
．
【小题】
如图：点为旋转中心，坐标为．

【解析】
分别将、、绕点逆时针旋转，得到、、，然后连接，最后直接读出坐标即可．

分别将、、向左平移个单位，再向上平移个单位，得到、、，，然后连接，最后直接读出坐标即可．

连接然后分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心，写出坐标即可．
18.【答案】解：如图中，点即为所求作．
如图中，点即为所求作．

【解析】本题考查作图旋转变换以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
连接，交于点，点即为所求作．
连接，，分别作，的垂直平分线交于点，点即为所求作．
19.【答案】证明：，，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：结论：理由如下：
如图中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
在和中，
，
≌
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
【解析】先证明，再由旋转的性质得到，，则，据此证明≌，即可证明．
先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是正方形，接着证明≌得到，则可证明≌，得到，最后证明，得到，则．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20.【答案】解：如图，即为所求；
四边形的面积．
【解析】利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
把四边形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
21.【答案】解：操作与思考
以为边，向左侧作等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，，，
≌，
，
，，
；
迁移与应用
作关于的对称点，连接，可得等边三角形，再以为边，向左侧作等边三角形，
，，
，
，，，
≌，
，
再作延长线于点，，
，，，．
，
，
，
又，分别为，的中点，
；
【解析】操作与思考以为边，向左侧作等边三角形，结合等边三角形的性质利用可证明≌，可知，再利用勾股定理可求得答案；
迁移与应用作关于的对称点，连接，可得等边三角形，再以为边，向左侧作等边三角形，类比可证≌，得，再作延长线于点，利用勾股定理可求得，再结合三角形中位线定理即可求得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
22.【答案】解：连接．
将绕点沿顺时针旋转得到，
，，，
，
又，，，
，
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌．
；
由旋转性质得，，
四边形是平行四边形，
．
，
，
．
．
，
由勾股定理，可求得，
≌，
．
【解析】连接根据旋转的性质先证明≌则，进而证明≌，得出；
根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得由勾股定理，可求得根据≌，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，，
，
；
如图，
若，即，
，，
，
即在旋转的过程中，不发生变化；
如图，
若，即，
，，
，
即中的结论还成立；
分情况讨论：
如图，
当时，
，
；
如图，
当时，
，
，
，
；
如图，
当时，；
如图，
当时，延长交于，
，
，
，
；
如图，
当时，延长交于，
，
，
，
，
；
如图，
当时，延长交于，
，
，
；
综上，当为或或或或或时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直．
由，求出，然后计算即可；
根据，表示出和，然后计算的值即可；
根据，表示出和，然后计算的值即可；
分情况讨论，分别根据角的和差关系以及四边形内角和定理求解即可．
本题主要考查了角的和差计算、垂直的定义、四边形的内角和，掌握角的和差计算、垂直的定义、四边形的内角和是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：如图：所作即为所求；
由图可得：，
故答案为：．
根据中心对称的性质作图，
根据所作图形，即可得出答案．
本题考查作图中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
25.【答案】证明：如图，连接，，
四边形为矩形，
，即，
将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，
，
；
解：将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，
由旋转的性质得：，，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：，
．
【解析】连接、，根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到结论；
先证≌，再根据全等三角形的性质得到，设，则，，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
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