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第三章 函数
3.3二次函数的图象与性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1.二次函数的相关概念 ☆ 二次函数作为中考三大函数中考点最多，出题频率最高，难度最大的函数，一直都是浙江中考数学中最重要的考点，总分值为10分左右，预计2025年浙江中考还会考。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
考点2.二次函数的图象与性质 ☆☆☆
考点3.二次函数与各项系数的关系 ☆☆☆
考点4.抛物线的图象变换 ☆☆
二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象与性质、图象与系数的关系、图象的变换等几大方面。而浙江中考二次函数考查在全国看来都是比较困难的，同学们需要特别关注的是含参的最值问题。
2
3
■考点一 二次函数的相关概念 3
■考点二 二次函数的图象与性质 5
■考点三 二次函数与各项系数之间的关系 13
■考点四 抛物线的图象变换 15
20
30
■考点一 二次函数的相关概念
1、二次函数的概念：一般地，形如 （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
■考点二 二次函数的图象与性质
1、二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 .
顶点 .
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=–时，y最小值= . 当x=–时，y最大值= .
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
增减性 当x<–时，y随x的增大而 ； 当x>–时，y随x的增大而 . 当x<–时，y随x的增大而 .； 当x>–时，y随x的增大而 .
■考点三 二次函数与各项系数之间的关系
1.抛物线开口的方向可确定a的符号：
抛物线开口向上， ；抛物线开口向下， .
2.对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：
对称轴在x轴负半轴，则 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则 ，即ab＜0
3.与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则 ；交于y轴正半轴，则 .
4.特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：
若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则 ；若对应的函数值y在x轴上方，则 ；若对应的函数值y在x轴的下方，则 ；
5.其他辅助判定条件：
1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；
3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
■考点四 抛物线的图象变换
1）二次函数图象的翻折与旋转
抛物线y=a(x-h) +k，绕顶点旋转180°变为： ；绕原点旋转180°变为： ；
沿x轴翻折变为： ；沿y轴翻折变为： ；
2）二次函数平移遵循“ ”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
■考点一 二次函数的相关概念
◇典例1：（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，其二次项系数是 ．
2.（2024·山东·九年级校考期中）若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
◇典例2：（2023年江苏中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2024·浙江·九年级校考期中）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
■考点二 二次函数的图象与性质
◇典例3：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．与y轴的交点是 D．函数的最大值是
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江·期末）已知二次函数，y与x的部分对应取值如下表：
x 0 1
y 1 2 1
则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时， D．方程有两个不相等的实数根
2．（24-25九年级上·浙江台州·期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为
B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线
C．当时，随的增大而增大
D．若点在抛物上，则
◇典例4：（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2022·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：（24-25九年级上·浙江宁波·期中）抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，若，，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
2. （2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
3.（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
4．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
◇典例7：（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ．
■考点三 二次函数与各项系数之间的关系
◇典例8：（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴另一个交点在到之间；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点且，则．其中正确结论为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线， 有以下结论： ①，②， ③抛物线上有两点和，若， 且， 则， ④设，是方程． 的两根，若则， 其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
■考点四 抛物线的图象变换
◇典例9：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
2.（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
◇典例10：（2021·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （23-24上·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（ ）
A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变 B．将图象沿x轴平移，则a的值不变
C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变 D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变
2．（23-24上·福建南平·九年级校考期中）将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如果将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，然后绕其顶点旋转，得到新的抛物线，那么（ ）
A． ，， B． ， C． ，， D． ，
◇典例11：（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·福建福州·期中）二次函数的图象与轴交于点A，将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点，平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线有两个交点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
9．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
10．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
11．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
12．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
13．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）；
14．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
15．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ．
16．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
17．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
18．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
19．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
20．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．
1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（ ）
A．当时，甲有最大值 B．当时，甲有最小值
C．当时，乙有最大值 D．当时，乙有最小值
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．二次函数的最小值为1
C．该函数的对称轴为 D．当时，随的增大而减小
3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标 D．当时，y随x的增大而增大
4．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）若点，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．其中判断错误的是（ ）
A． B．若点在图象上，则
C． D．若点，在图象上，则
8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1
10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点．下而给出了四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）（多选题）
A．① B．② C．③ D．④
11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（，为常数），则抛物线的对称轴是 ．
12．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）当函数取最小值时，的值为 ．
13．（2025九年级下·浙江·学业考试）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有 个．
14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标：①直线必经过这样的点；②对于取不等于零的任何值，关于的二次函数都不经过这样的点．则这个点的坐标为 ．
15．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标．(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．(1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式．
(2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．
17．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；
(2)当时，求y的最大值与最小值之差；
(3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（是实数）．
(1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）；(2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值；(3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围．
19．（24-25九年级上·浙江·期末）已知抛物线（）．(1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴．(2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式．(3)若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，求证：．
20．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是，最小值为，即．
请根据以上信息，完成下列问题：(1)已知二次函数的图象经过点．
①求该函数的表达式；②求该函数的的值．(2)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
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第三章 函数
3.3二次函数的图象与性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1.二次函数的相关概念 ☆ 二次函数作为中考三大函数中考点最多，出题频率最高，难度最大的函数，一直都是浙江中考数学中最重要的考点，总分值为10分左右，预计2025年浙江中考还会考。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
考点2.二次函数的图象与性质 ☆☆☆
考点3.二次函数与各项系数的关系 ☆☆☆
考点4.抛物线的图象变换 ☆☆
二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象与性质、图象与系数的关系、图象的变换等几大方面。而浙江中考二次函数考查在全国看来都是比较困难的，同学们需要特别关注的是含参的最值问题。
2
3
■考点一 二次函数的相关概念 3
■考点二 二次函数的图象与性质 5
■考点三 二次函数与各项系数之间的关系 13
■考点四 抛物线的图象变换 15
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■考点一 二次函数的相关概念
1、二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
■考点二 二次函数的图象与性质
1、二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=– .
顶点 （–，） .
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=–时，y最小值= . 当x=–时，y最大值= .
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
增减性 当x<–时，y随x的增大而减小 ； 当x>–时，y随x的增大而增大 . 当x<–时，y随x的增大而增大 .； 当x>–时，y随x的增大而减小 .
■考点三 二次函数与各项系数之间的关系
1.抛物线开口的方向可确定a的符号：
抛物线开口向上，a＞0 ；抛物线开口向下，a＜0 .
2.对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：
对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0
3.与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0 ；交于y轴正半轴，则c＞0 .
4.特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：
若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0 ；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0 ；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0 ；
5.其他辅助判定条件：
1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；
3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
■考点四 抛物线的图象变换
1）二次函数图象的翻折与旋转
抛物线y=a(x-h) +k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h) +k ；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h) -k ；
沿x轴翻折变为：y= -a(x-h) -k ；沿y轴翻折变为：y= a(x+h) +k ；
2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减 ”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
■考点一 二次函数的相关概念
◇典例1：（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ．
【答案】 3
【详解】解：∵，∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5．
故答案是：3，．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，其二次项系数是 ．
【答案】2
【详解】解：二次函数的二次项系数是2，故答案为：2．
2.（2024·山东·九年级校考期中）若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【详解】解：由于 是二次函数，
且，且，．故选B．
◇典例2：（2023年江苏中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、若直线过点，则，解得，所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入
得，解得，符合题意；D、由C可知，不合题意．故选：C．
◆变式训练
1.（2024·浙江·九年级校考期中）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意得，，即，故选：A．
2．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【详解】解：∵，∴，
∵四边形是矩形，∴，，
∴都是等腰直角三角形，∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选A．
■考点二 二次函数的图象与性质
◇典例3：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．与y轴的交点是 D．函数的最大值是
【答案】D
【详解】解：在二次函数中，函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项A、B错误，不符合题意；
当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意；
∵，∴函数有最大值，故选项D正确，符合题意，故选：D．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江·期末）已知二次函数，y与x的部分对应取值如下表：
x 0 1
y 1 2 1
则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时， D．方程有两个不相等的实数根
【答案】D
【详解】解：由图表可得，∵抛物线经过点和∴该函数的对称轴是直线，
∴点是抛物线的顶点，有最大值2，抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；
当时，，抛物线与轴的交点为，
∴抛物线与y轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意；
∵抛物线对称轴为直线∴当时和时，函数值相等
∵当时，∴当时，，故选项C错误，不合题意；
∵抛物线顶点坐标为，且开口向下∴抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故选项D正确，符合题意；故选：D．
2．（24-25九年级上·浙江台州·期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为
B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线
C．当时，随的增大而增大
D．若点在抛物上，则
【答案】D
【详解】解：，抛物线开口向上，顶点坐标为，故A正确，不符合题意；
抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
得到抛物线，故B正确，不符合题意；
，抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而增大，故C正确，不符合题意；
点在抛物上，且，
点比点更靠近对称轴，，故D不正确，符合题意．故选：D．
◇典例4：（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意；
B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意；C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意；
D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意；故选：C．
◆变式训练
1.（2022·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选B．
◇典例5：（24-25九年级上·浙江宁波·期中）抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大，
∵，，∴； 故选： D．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：如图所示，若，则，故A选项错误；
如图所示，若，则或，故B、D选项错误；
如图所示，若，则，故C选项正确；故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，对称轴，抛物线经过点，，且，
时，抛物线开口向上，且，，即，；
当时，抛物线开口向下，且，，即，，
故选：D．
◇典例6：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴函数的对称轴为直线，即直线，∵，故与关于对称轴对称，
即．故选：A．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为轴，
又，∴必在抛物线L上的是，故选：D．
2. （2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）．
3.（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴解得： 又∵，∴
∴解得：∴，故答案为：．
3．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，∴，∴；
∵，，，，∴，
∵存在， ∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，即，且，
∵，，∴且，
解得，故答案为：；．
◇典例7：（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9，
∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小；
①当时，当时，y随的x增大而增大，那么时取得最小值，时取得最大值，
最小值为，最大值为，已知最大值与最小值的差为12，
则可列出方程- ，解得，但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当时，此时 时取得最大值，时取得最小值，最大值为9，最小值为，
此时最大值与最小值的差为12，符合题意；
③当时，此时时取得最大值，时取得最小值，最大值为9，最小值为，
已知最大值与最小值的差为12，则可列出方程，解得，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去．∴综上，得到n的取值范围为：．
故选：B．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和，∴抛物线为．
当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值，
即此时抛物线经过点．将点代入抛物线解析式得：，
解得：．∴抛物线的解析式为．
当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为．令，即，解得：，．
∴点的横坐标最大值为．故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ．
【答案】0
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，大致图象如下：
且，，分两种情况讨论：
第种情况：当时，此时，∴当时，y随x增大而减小，
当时，y取最小值，即，当时，最大值为，，
解得：或（舍）∴，
当时，此时，根据图象可得：当时，函数取得最小值，解得（舍）
故答案为：0．
■考点三 二次函数与各项系数之间的关系
◇典例8：（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴另一个交点在到之间；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①∵根据题意得：抛物线的对称轴为，即，∴，∴①错误；
②当时，，∴，∵，∴，∴②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．∴③正确④∵抛物线的顶点坐标为，即对称轴为直线，
且与x轴的一个交点在点和之间，∴抛物线与x轴另一个交点在到之间．∴④正确．∴正确的有②③④，共3个．故选：C．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点且，则．其中正确结论为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【详解】解：由题意，抛物线开口向下，．又抛物线为．．
抛物线与轴交于负半轴，．，故①正确．
又，，故②正确．由题意，当时，．
又，，故③正确．抛物线的对称轴是直线，当时与当时函数值相等．当，则，故④错误．综上，正确的有：①②③．故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线， 有以下结论： ①，②， ③抛物线上有两点和，若， 且， 则， ④设，是方程． 的两根，若则， 其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：①∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，∴，
∵对称轴为直线，∴，即，∵，∴，∴，故结论①正确；
②由①知：，∴，故结论②正确；
③∵，∴二次函数的图象开口向下∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且， ，
∴，即到1的距离大于到1的距离，∴，故结论③正确；
④∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，∴，
若，则，，，∴，
若，则，，，∴，
综上所述，故结论④正确，∴正确的结论是①②③④．故选：D．
■考点四 抛物线的图象变换
◇典例9：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B．
◆变式训练
1. （2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4/4或2
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．故答案为：2或4．
2.（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上故选：D
3．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，故选：D．
◇典例10：（2021·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；故选：A．
◆变式训练
1. （23-24上·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（ ）
A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变 B．将图象沿x轴平移，则a的值不变
C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变 D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变
【答案】D
【详解】解：A、若将图象沿y轴平移m个单位，则，
∴a值不变，b值不变，故正确，不符合题意；
B、若将图象沿x轴平移m个单位，则，
∴a值不变，b值变化；故不符合题意；
C、若将图象沿y轴翻折，则开口方向不变，对称轴变化，与y轴交点不变，
∴a值不变，b值变化，c值不变，故正确，不符合题意；
D、若将图象沿x轴翻折，则开口方向变化，对称轴不变，与y轴交点变化，
∴a值变化，b值变化，c值变化，故符合题意；故选D．
2．（23-24上·福建南平·九年级校考期中）将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为；故选C．
3．（23-24上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如果将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，然后绕其顶点旋转，得到新的抛物线，那么（ ）
A． ，， B． ， C． ，， D． ，
【答案】B
【详解】解：抛物线可化为：，绕其顶点旋转得：，
把抛物线先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得：，
即：，，，故选B．
◇典例11：（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位．
【答案】20
【详解】解：如图，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积，
设，则，∴，
∴平行四边形的面积，
∴直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为20．故答案为：20．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·福建福州·期中）二次函数的图象与轴交于点A，将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点，平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ．
【答案】2
【详解】解：当时，，解得，，
将该函数图象向右平移个单位，抛物线的解析式为，；
解方程组，得，∴，
抛物线为轴对称图形，，为等腰直角三角形，
，解得（舍去），，即的值为2．故答案为：2．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线有两个交点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意， 抛物线的对称轴是直线，
向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线，
直线与新抛物线有两个交点，，
，，，，
又∵，则抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，的中点在对称轴的左侧，
，，又∵，．故选：D．
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，则抛物线变为，
∴化成顶点式则为 ，故选：A．
2．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得，，
即，当时，函数的最小值为．故选：B．
3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．
4．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，∴，故选∶A．
5．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，∴关于对称轴对称的点坐标为，∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，∴，解得，，故选：C．
6．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得
解得．故选：A．
7．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示：
∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，∴，，
∵抛物线与轴有两个交点，∴，
∵抛物线的顶点为，∴，
观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．
8．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【详解】解：设抛物线的解析式为：，
∴，，∴，故①正确；
∵点C的纵坐标在～之间，∴，即，∴，故②正确；
∵，∴，即，∴，
又∵，∴，故③错误；∵令相等，则
∴，解得（舍），，∴，故④正确；故选A．
9．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；
位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，
当时，，均随着的增大而减小，故选：D．
10．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，把代入，得，解得，
∴，当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．
11．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
【答案】C
【详解】解：二次函数解析式为，
二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，
当时，，当时，， ，
当时，，，故A、B错误，不符合题意；
当时，，由二次函数对称性可知，，
当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；故选：C．
12．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．
13．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【详解】解：，∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，∴抛物线的解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故答案为：．
14．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且．
∴对称轴为直线， ，∵，∴，故①错误，
∵∴，即，两点之间的距离大于
又∵∴时，∴若，则，故②正确；
③由①可得， ∴，即，
当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为
∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，∴∴
∴
∵，，对称轴为直线，∴当时，取得最大值为，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
又，∴点离较远，∴对称轴
解得：，故④正确．故答案为：②③④．
15．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ．
【答案】2
【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到，
把点代入得到，，得到，
∴，故答案为：2
16．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：把，，代入，
得，解得，∴，
把代入，得，∴，
∴，故答案为：．
17．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】4
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，
，
中存在一点，有，解得，则，
抛物线“开口大小”为，故答案为：．
18．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
19．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
【答案】(1)；；；(2)(3)b的值为或．
【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且，
，且抛物线开口向上，
与x轴交点的坐标分别为，，且．
即向上平移1个单位，，且，①；
，，即②；
，即③．故答案为；；；；
（2）解：，，，，；
（3）解：抛物线顶点坐标为，
对称轴为；当时，，当时，，
①当在取得最大值，在取得最小值时，有 ，解得（舍去）；
②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，有，解得（舍去）或，
③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，有，解得（舍去）或；
综上所述，b的值为或．
20．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】(1)(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【详解】（1）解：，∴的顶点为，
∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，
∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，∴，∴；
（2）由（1）得
∵点在抛物线上，点在抛物线上．
∴， ，整理得：
（ⅰ）∵，∴，整理得：，
∵，，∴，∴；
（ⅱ）将代入，整理得，
∵，∴当，即时，h取得最大值为．
1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是（ ）
A．当时，甲有最大值 B．当时，甲有最小值
C．当时，乙有最大值 D．当时，乙有最小值
【答案】C
【详解】解：∵甲，∴，顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，当时，甲有最小值，最小值为30；
∵乙，∴，顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，当时，乙有最大值，最大值为30；
∴选项错误，正确．故选：．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．二次函数的最小值为1
C．该函数的对称轴为 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【详解】解∶∵，∴，∴函数图象开口向上，故A不符合题意，
∵函数图象的对称轴为：，故C符合题意，∵函数图象的顶点坐标是，函数图象开口向上，
∴函数有最小值为5，故B不符合题意，∵函数图象的对称轴为，
∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故D不符合题意．故选：C．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【详解】解：A、对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意；
B、函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意；
C、开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意；
D、当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意；故选：D．
4．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）若点，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解∵，∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的所对应函数值越小，
∵点，，为二次函数图象上的三点，∴，∵，∴，故选：D
5．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在，∵的最小值为，∴，∴；
当时，在，∴当时函数有最小值，∴，解得：,
综上所述：的值为或，故选：．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：当时，；当时，；代入函数式得：，
∴，整理得：，
若，则，故A不符合题意；若，则，故B不符合题意；
若，则，故C符合题意；若，则，故D不符合题意；故选：C．
7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．其中判断错误的是（ ）
A． B．若点在图象上，则
C． D．若点，在图象上，则
【答案】B
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，
∵，结合函数图象可知，当时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方，
当时，，即，将代入可得，
，，故选项A正确；
∵∴关于对称轴的对称点的坐标为，
∵，∴点和点都在点右侧，在x轴的上方，
∴，解得：，故选项B错误；
将代入可得，，，，，
即，故选项C正确，∵，
∴在抛物线上关于对称轴对称，
∴点的纵坐标相等，即，∴，∴，
∴抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于，当时，，
将代入可得，，∴∴，故D正确，故选：B．
8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1
【答案】A
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，即，对称轴为直线．∴，
∵二次函数过和两点，∴，，
∴，∴，∴，
当时，的最小值为，故选：A
10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点．下而给出了四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）（多选题）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【详解】解：①由图得：，，，，，故此项正确；
②由图得：当时，，，，故此项正确；
③抛物线经过点，对称轴是直线，，抛物线经过点，
，，，故此项错误；
④由③得：，对称轴是直线，，，
，，，，故此项正确；故选：．
11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（，为常数），则抛物线的对称轴是 ．
【答案】/
【详解】解：
，则抛物线的对称轴是，故答案为：．
12．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）当函数取最小值时，的值为 ．
【答案】
【详解】解：，
当时，取得最小值；，当，即当时，
取得最小值，当2时，取得最小值．故答案为：．
13．（2025九年级下·浙江·学业考试）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有 个．
【答案】
【详解】解：，令得解得：或5，如图所示，
∴在红色区域内部及其边界上的整点为，共15个．
故答案为：．
14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标：①直线必经过这样的点；②对于取不等于零的任何值，关于的二次函数都不经过这样的点．则这个点的坐标为 ．
【答案】或或
【详解】解：设点满足上述条件，则，对任意实数m都有，消去整理得，
从而可知当或1或时才适合题意，∴适合题意的点为或或，有三个．
故答案为或或．
15．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标．(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：把代入得，，∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，抛物线的对称轴为，抛物线图象开口向上，
∴，则点M在抛物线的对称轴右侧，
∵点M的对称点为，即，且，∴，
∵，都有，∴点N在点M右侧，如图，此时，，∴，∴．
16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．(1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式．
(2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）∵函数图象经过点和，
∴，解得 ，∴；
（2）∵，∴顶点，
∵图象的顶点在函数的图象上，∴，
∴，∴，∴．
17．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；
(2)当时，求y的最大值与最小值之差；
(3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
【答案】(1)顶点坐标，对称轴是直线，与x轴的交点坐标是，
(2)9(3)或
【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标，对称轴是直线，
由，得，解得：，故与x轴的交点坐标是，；
（2）解：∵对称轴是直线，图象开口向上，
∴当时，当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时；
∵，∴当时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）解：∵，当时，则在时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当时，y有最小值，最小值为；综上所述，y的最小值为或．
18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（是实数）．
(1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）；(2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值；(3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围．
【答案】(1)(2)1或8(3)
【详解】（1）解：，
函数顶点坐标为；
（2）解：函数顶点在轴上，，解得：或，
，，二次函数表达式为：，
，二次函数图象的对称轴为，且开口向下，
时，函数最大值为，当时，，则时，函数有最大值，
即，解得：（舍去）；
当时，则时，函数有最大值，即，解得：（舍去）；
当时，函数最大值为0，不符合题意；综上，的值为1或8；
（3）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下，
二次函数图象上的两点，，时，始终有成立，
∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离，
，即，，即，
，，，即，，解得：，
，．
19．（24-25九年级上·浙江·期末）已知抛物线（）．(1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴．(2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式．(3)若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，求证：．
【答案】(1)直线(2)(3)证明见解析
【详解】（1）解：当，∴与y轴交点为，
∵抛物线经过点，∴对称轴为直线：，∴对称轴为直线；
（2）解：点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后所得到的点为，
由题意得把，代入∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）证明：∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，
∴抛物线的解析式为，将点，代入得，，
∴，
∵，∴当时，取得最大值18，即．
20．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是，最小值为，即．
请根据以上信息，完成下列问题：(1)已知二次函数的图象经过点．
①求该函数的表达式；②求该函数的的值．(2)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
【答案】(1)①二次函数解析式为；②；(2)的值为或
【详解】（1）解：①∵二次函数的图象经过点，
∴，解得，，∴二次函数解析式为；
②∵二次函数解析式为，∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为，顶点坐标为，即当时，二次函数有最小值，
当时，随的增大而减小，∴在中，有最大值，最大值为，
∴；
（2）解：∵函数的图象经过点，
∴函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大，
∴在中，时有最小值，最小为，时有最大值，最大值为
∴函数的极差值为：，
∵函数的图象经过点，∴，解得，，
当时，，∴函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小，
∴在中，时有最大值，最大为，时有最小值，最小值为
∴，∵两个函数的相等，∴，解得，；
当时，，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，
∴当时，二次函数有最大值，最大值为，当时，随的增大而增大，
在中，函数的最小值为，
∵函数的极差值，两个函数的相等，
∴当的最大值为时，，解得，，，
∵，不符合题意，∴，∴把代入函数中得，，解得，，
综上所述，的值为或．
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