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第三章 函数
3.1平面直角坐标系及一次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 坐标与图形的位置 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，坐标系与一次函数的部分，考查2-3道题，分值为12分左右，通常以选填题（1-2题）、 应用题（1题）的形式考查。故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
考点2 函数有关概念及其意义 ☆☆
考点3 一次函数的表达式、图象与性质 ☆☆☆
考点4 一次函数与一次方程(组)、一次不等式的关系 ☆☆
考点5 一次函数的应用 ☆☆☆
平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。一次函数的图象与性质主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面考查，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
1
■考点一 坐标与图形的位置 4
■考点二 函数有关概念及其意义 9
■考点三 一次函数的表达式、图象与性质 12
■考点四 一次函数与一次方程(组)、一次不等式的关系 18
■考点五 一次函数的实际应用 19
25
35
■考点一 坐标与图形的位置
1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做 ，记作（a ，b）．
2．平面直角坐标系
平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相 并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 方向为正方向。（见图1）
原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系 。
坐标平面 坐标系所在的平面叫做 面。
象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为 。 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1）
点的坐标 对于坐标平面内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线， 垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的 坐标和 坐标， 有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 . （见图2）。
图1 图2
3．点的坐标特征：已知点P（a，b）
第一象限： ； 第二象限： ； 第三象限： ； 第四象限： ；
原点： ； x轴上： ； y轴上： ；
4．轴对称与中心对称：已知点P（x，y）
（1）点P关于x轴对称的点的坐标 ；（2）点P关于y轴对称的点的坐标 ．
（3）点P关于原点的对称点为 ．
5．图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y）
1）点P向右平移a个单位，坐标变为 ；2）点P向左平移a个单位，坐标变为 ；
3）点P向上平移b个单位，坐标变为 ；4）点P向下平移b个单位，坐标变为 ．
6.两个公式 已知、，
（1）AB中点C坐标为： ； （2）两点距离公式： ．
7.确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
■考点二 函数有关概念及其意义
1、函数的相关概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 ，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的 .
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
■考点三 一次函数的表达式、图象与性质
1.正比例函数的概念：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫 函数，其中k叫正比例系数。
2.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的 函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说 函数是一种特殊的 函数.。
3.一次函数的图象特征与性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 . y随x的增大而 .
k>0，b<0 .
k>0，b=0 .
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 . y随x的增大而 .
k<0，b<0 .
k<0，b=0 .
4.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（ ，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于 ．
②当–=0，即b=0时，直线经过 ．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于 ．
5.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当 ，两直线平行； ②当 ，两直线重合；
③当 ，两直线交于y轴上一点；④当 时，两直线垂直．
6.一次函数的平移法则： 。
■考点四 一次函数与一次方程(组)、一次不等式的关系
1.一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式。
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为 ；
从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的 坐标。
2.一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式。
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值 的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴 的点的横坐标满足的条件。
3.一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线。
从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的 ，以及这两个函数值是何值；
从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的 ，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标。
■考点五 一次函数的实际应用
一次函数的实际应用主要分为两大类：（1）根据实际背景列出一次函数关系式；（2）利用一次函数的增减性，解决函数的最值问题。
■考点一 坐标与图形的位置
◇典例1：（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆变式训练
1．（2024·浙江温州·三模）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·二模）如图，从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（2025·浙江·校考一模）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A．北偏东 B．钱塘明月号楼室 C．金惠路号 D．东经，北纬
4．（2024·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，将点水平向右平移个单位后落在第四象限内，则的值可以是 ．（写出一个即可）
◇典例2：（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，将矩形沿x轴正方向连续滚动2024次，点A依次落在点的位置，则点的坐标为 ．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，长为半径作弧，在右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的纵坐标为 ．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为（ ）
A．5 B． C． D．
3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：如图①，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为，有一边在射线上，则正六边形顶点的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
■考点二 函数有关概念及其意义
◇典例3：（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（ ）
A．B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）设函数，当时， ．
2．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三角形以的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面的函数图象．则这个长方形的面积为 ．
◇典例4：（2024·浙江温州·模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（km）与所花时间t（min）间的函数关系，根据图中信息，校车与步行的速度比是（ ）
A． B．2 C．10 D．8
2．（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）
A．4元 B．3元 C．2元 D．1元
■考点三 一次函数的表达式、图象与性质
◇典例5：（24-25九年级上·浙江宁波·期中）对于一次函数，下列命题是假命题的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限
C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点
◆变式训练
1．（2024·浙江温州·三模）一次函数的函数值随的增大而增大，当时，的值可以是( )
A． B． C．1 D．2
2．（2023·浙江衢州·模拟预测）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点 B．在第二、四象限 C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）给出下列函数：①；②；③．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当时，函数值y随x增大而减小”的概率是 ．
◇典例6：（23-24九年级上·山东济南·期末）直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（ ）
A．B． C． D．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，已知函数的图象经过点，则该函数的图象可能是（ ）
A．B． C．D．
◇典例7：（2024·浙江温州·二模）若一次函数（）的图象经过点，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则
◆变式训练
1．（2024九年级下·浙江·专题练习）已知点，，在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江湖州·模拟预测）若、是一次函数图象上的不同的两点，记，则当时，的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是一次函数图象上两个不同的点，则 ．
◇典例8：（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
◆变式训练1．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽淮北·一模）如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
■考点四 一次函数与一次方程(组)、一次不等式的关系
◇典例9：（2024·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为 ．
◇典例10：（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ．
◆变式训练
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数（m为实数），当时，，则m的取值范围是 ．
■考点五 一次函数的实际应用
◇典例11：（2024·浙江绍兴·二模）如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系．下表是测得的身高与“一拃长”一组数据：
一作长 16 17 18 19
身高 162 172 182 192
(1)按照这组数据，求出身高与一拃长之间的函数关系式；
(2)某同学一拃长为，求他的身高是多少？
(3)若某人的身高为，一般情况下他的一拃长应是多少？
◆变式训练
1.（2024·浙江宁波·模拟预测）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为．
(1)求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积．
(2)若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？
2．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：
收费方案 月使用费（元） 包时上网时间（小时） 超时费（元/小时）
无限
方案和方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系图象如下图所示：
(1)填空：表中的____________，____________；(2)请在图中画出方案的图象，并写出当上网时间不少于小时方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式；
(3)当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱；
当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱；
当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱．
◇典例12：（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．
销售单价x（元/件） … 2 3 4 …
每月销售量y（万件） … 6 5 4 2 …
(1)在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式；(2)如果公司每月的制造成本不超过万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
◆变式训练
1．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售
素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售．
素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天）12310日销售量（千克）30354075
问题解决
任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了．
任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式．
任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少．
1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（ ）
A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
8．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ．
14．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”）
15．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元．
16．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可）
17．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
18．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
19．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．(1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；(2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．
21．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
(1)的值为________；(2)当时，求与之间的函数关系式；(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
1．（2024·浙江宁波·一模）若点是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2024·浙江嘉兴·一模）已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（ ）
A． B． C． D．随a，b的值变化
5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
6．（2024·浙江宁波·二模）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（ ）
A．－5 B．－2 C． D．－1
8．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的一次函数与（都为常数，且都不为0）．函数满足（m为常数），下列说法正确的是（ ）
A．若，当时，
B．若，恒过定点
C．若，则与的函数图像一定都有交点
D．若是与函数图像的交点，则也在函数图像上
10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（）
①当时，该函数是一次函数；②若点在该函数图像上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
12．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ．
14．（2024·浙江·二模）如图，已知点P在直线上，点P的坐标为，将点P向下平移a个单位，再向左b平移个单位，得到点，且点也在该一次函数上，则 ．
15．（2024·辽宁大连·一模）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图实线所示，不超过按15元来结算费用；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图y2实线所示．(1)求与x之间的函数解析式；(2)现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
16．（2024·浙江绍兴·二模）如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．(1)当时，求关于的函数解析式．(2)当容器内的水量为时，求对应的时间．(3)每分钟的进水和出水各是多少升？
17．（2024·浙江杭州·一模）设一次函数（是常数，）．
(1)无论取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
(2)若时，该一次函数的最大值是6，求的值．
18．（2024·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于，两点，直线的图象分别与轴，轴交于、两点，为中点．(1)求直线的函数解析式；(2)直线分别与直线，直线交于点和点，当时，求的值．
19．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线l：（其中n为常数）与x轴交于点A，与y轴交于点．(1)求点M，N所确定的直线的函数表达式；(2)小华同学设计了一个电脑动画程序，在直线l：中，输入n的值．
①当时，直线l会闪烁，求此时输入的n的值；
②当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，求此时所有整数 n的个数．
20．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）小温和小州居住在同一小区，周末小温和小州相约到奥体中心看演出．小温先乘公交车从小区出发前往奥体中心，小温出发20分钟后，小州从小区乘坐轻轨出发，出站后立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往奥体中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与轻轨均视为匀速行驶）．若设小温乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示小温离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示小州乘轻轨过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示小州骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系．
根据图象中的信息解决下列问题：(1)直接写出图中点的坐标，并求线段的函数表达式
(2)求当小州换骑自行车时，小温所乘公交车离奥体中心的路程．
(3)求两人前往奥体中心途中，小州离开小区的路程比小温多2千米时的值．
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第三章 函数
3.1平面直角坐标系及一次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 坐标与图形的位置 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，坐标系与一次函数的部分，考查2-3道题，分值为12分左右，通常以选填题（1-2题）、 应用题（1题）的形式考查。故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
考点2 函数有关概念及其意义 ☆☆
考点3 一次函数的表达式、图象与性质 ☆☆☆
考点4 一次函数与一次方程(组)、一次不等式的关系 ☆☆
考点5 一次函数的应用 ☆☆☆
平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。一次函数的图象与性质主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面考查，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
1
■考点一 坐标与图形的位置 4
■考点二 函数有关概念及其意义 9
■考点三 一次函数的表达式、图象与性质 12
■考点四 一次函数与一次方程(组)、一次不等式的关系 18
■考点五 一次函数的实际应用 19
25
35
■考点一 坐标与图形的位置
1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）．
2．平面直角坐标系
平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直 并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上 方向为正方向。（见图1）
原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点 。
坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平 面。
象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限 。 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1）
点的坐标 对于坐标平面内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线， 垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横 坐标和纵 坐标， 有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b) . （见图2）。
图1 图2
3．点的坐标特征：已知点P（a，b）
第一象限：a>0，b>0 ； 第二象限：a<0，b>0 ； 第三象限：a<0，b<0 ； 第四象限：a>0，b<0 ；
原点：a=0，b=0 ； x轴上：b=0 ； y轴上：a=0 ；
4．轴对称与中心对称：已知点P（x，y）
（1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y） ；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y） ．
（3）点P关于原点的对称点为（-x，-y） ．
5．图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y）
1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y） ；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y） ；
3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b） ；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b） ．
6.两个公式 已知、，
（1）AB中点C坐标为： ； （2）两点距离公式： ．
7.确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
■考点二 函数有关概念及其意义
1、函数的相关概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应 ，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值 .
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
■考点三 一次函数的表达式、图象与性质
1.正比例函数的概念：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例 函数，其中k叫正比例系数。
2.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次 函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说正比例 函数是一种特殊的一次 函数.。
3.一次函数的图象特征与性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 . y随x的增大而增大.
k>0，b<0 一、三、四 .
k>0，b=0 一、三 .
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 . y随x的增大而减小 .
k<0，b<0 二、三、四 .
k<0，b=0 二、四 .
4.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴 ．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点 ．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴 ．
5.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2 ，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2 ，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2 ，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1 时，两直线垂直．
6.一次函数的平移法则：左加右减，上加下减 。
■考点四 一次函数与一次方程(组)、一次不等式的关系
1.一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式。
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0 ；
从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横 坐标。
2.一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式。
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0 的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分 的点的横坐标满足的条件。
3.一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线。
从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等 ，以及这两个函数值是何值；
从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标 ，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标。
■考点五 一次函数的实际应用
一次函数的实际应用主要分为两大类：（1）根据实际背景列出一次函数关系式；（2）利用一次函数的增减性，解决函数的最值问题。
■考点一 坐标与图形的位置
◇典例1：（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】解：∵为非负数，∴为正数，
∴点P的横坐标为正，纵坐标为负，∴点P在第四象限．故选D．
◆变式训练
1．（2024·浙江温州·三模）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，过作于点，∴，故选：．
2．（2024·浙江宁波·二模）如图，从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【详解】解：从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，点的位置用表示，
∴表示的位置是先向东走步，再向北走步，即为点，故选：B．
3．（2025·浙江·校考一模）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A．北偏东 B．钱塘明月号楼室 C．金惠路号 D．东经，北纬
【答案】A
【详解】解：塘明月号楼室、金惠路号、东经，北纬都可确定物体位置，
北偏东只能确定方向，但不能确定具体物体的位置．故选：A．
4．（2024·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，将点水平向右平移个单位后落在第四象限内，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵将点水平向右平移个单位后落在第四象限内，
∴，解得：，∴的值可以是．故答案为：（答案不唯一）．
◇典例2：（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，将矩形沿x轴正方向连续滚动2024次，点A依次落在点的位置，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：从开始翻转，当旋转到，时，回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环．
∵，，∴，
当时，即，解得：，∴横坐标为，纵坐标为2，
则的坐标，故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，长为半径作弧，在右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的纵坐标为 ．
【答案】
【详解】解：在x轴上分别取点M和N，使得，
由题知，是等边三角形，∴，
∴，∴．
在和中，，∴，∴．
过点C作x轴的垂线，垂足为D，在中，，
∴，∴．
又∵点A的坐标为，∴，∴．
在中，，∴，
∴点B的纵坐标为．故答案为：．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作交的延长线于点，过作轴，轴，过点作轴，则：，，
∵点，，∴，∴，∵旋转，∴，
∵，∴为等腰直角三角形，∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；∴点的纵坐标为；故选D．
3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：如图①，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为，有一边在射线上，则正六边形顶点的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过作于，
六边形是正六边形，，，
，，
在中，，，
在中，．正六边形的顶点的极坐标应记为．故选：C．
■考点二 函数有关概念及其意义
◇典例3：（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t，
A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意；
B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意；
C、图象准确反映了题意，符合题意；D、图象函数一直下降，不符合题意．故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）设函数，当时， ．
【答案】4
【详解】解：，，当时，，故答案为：4．
2．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三角形以的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面的函数图象．则这个长方形的面积为 ．
【答案】/平方厘米
【详解】解：由图可知，第5~7秒时三角形完全覆盖住长方形，可得三角形的面积等于，
第2~5秒时，三角形和长方形从开始覆盖到完全覆盖，∴三角形的底边为，
∴三角形的高为，即长方形的宽也为，第7秒时，三角形已经运动到长方形最右端，
∴长方形的长为，∴长方形的面积等于．
◇典例4：（2024·浙江温州·模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
【答案】D
【详解】解：A．前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意；B．根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为千米分钟，故此选项错误，不符合题意；C．经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意；D．经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意．故选：D．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（km）与所花时间t（min）间的函数关系，根据图中信息，校车与步行的速度比是（ ）
A． B．2 C．10 D．8
【答案】C
【详解】解：根据函数关系图可知，步行的速度为：，
校车的速度为：，∴校车与步行的速度比是：，故选：C．
2．（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）
A．4元 B．3元 C．2元 D．1元
【答案】C
【详解】根据图象可得，当时，每千克苹果的单价是（元），
当时，每千克苹果的单价是（元），
故一次购买3千克这种苹果需要花费：（元），
分三次每次购买1千克这种苹果需要花费：（元），（元），
即一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．故选：C
■考点三 一次函数的表达式、图象与性质
◇典例5：（24-25九年级上·浙江宁波·期中）对于一次函数，下列命题是假命题的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限
C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点
【答案】C
【详解】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意；
B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意；
C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意；
D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意；故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江温州·三模）一次函数的函数值随的增大而增大，当时，的值可以是( )
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大，
，当时，，故选：D．
2．（2023·浙江衢州·模拟预测）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点 B．在第二、四象限 C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大
【答案】D
【详解】解：A、当时，．所以图象不过，故错误；
B、因为，所以一次函数的图象在第一、三象限，故错误；
C、关于原点成中心对称，故错误；D、因为，所以随的增大而增大，故正确．故选：D．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）给出下列函数：①；②；③．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当时，函数值y随x增大而减小”的概率是 ．
【答案】
【详解】解：①是一次函数，， y随着x的增大而减小，符合条件；
②是反比例函数，，当时，y随着x的增大而减小，因此当时，函数值y随x增大而减小，符合条件；③是二次函数，当时，y随着x的增大而增大，因此当时，函数值y随x增大而增大，不符合条件．综上：符合条件的函数有①②，共2个．
∴取出的函数符合条件“当时，函数值y随x增大而减小”的概率是．故答案为：．
◇典例6：（23-24九年级上·山东济南·期末）直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【详解】解：直线经过第一、二、四象限，∴，
∴直线的图像经过一，三，四象限；故选D．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二象限，∴，解得，∴，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．
2．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由函数图象可知，，
∵的图象与轴交于，∴当时，，
∴，∴，令，则，∴，∴．故选：D．
3．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，已知函数的图象经过点，则该函数的图象可能是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【详解】解：∵函数的图象过点，
∴，解得，∴，∴直线交y轴的正半轴，且过点，故选：A．
◇典例7：（2024·浙江温州·二模）若一次函数（）的图象经过点，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则
【答案】A
【详解】解：一次函数（）的图象经过点，，，解得，
若，即时，则随的增大而增大，，，故若，则 ；
若，即时，则随的增大而减小，，，
若，则有可能大于0，也可能小于0；综上所述，若，则 ；故选：A．
◆变式训练
1．（2024九年级下·浙江·专题练习）已知点，，在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，且，∴可知在时，随的增大而减小，
A.，随的增大而增大，不符合题意；
B.，时，随的增大而减小，符合题意；
C.，时，随的增大而增大，不符合题意；
D.，时，随的增大而增大，不符合题意．故选：B．
2．（2023·浙江湖州·模拟预测）若、是一次函数图象上的不同的两点，记，则当时，的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵、是一次函数图象上的不同的两点，，
∴该函数图象是随的增大而减小，∴，故选：B．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是一次函数图象上两个不同的点，则 ．
【答案】2
【详解】解：把代入得，， ，
∴，，∴，故答案为：2．
◇典例8：（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【详解】解：当时，，，当，，，
当时，，，当，，，
的最小值为2，最小值为，，
当时，取得最小值，即，，由题意知，所以，
当时，，，不符合题意舍去，当时，，满足题意，故选：D
◆变式训练
1．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：点、的坐标分别为，，，
轴，，．
将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），．
直线经过点，，解得，
直线经过点，把代入，解得，点的坐标为．故选：A．
2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点，
时，，时，，，，．
由折叠的性质得：，，．
设，则．在中，，
即，解得：，．故选：B．
3．（2024·安徽淮北·一模）如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：当线段最短时，，
∵直线为，∴当时，；当时，，
∴，∴．∵，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴．作于点H，
则，∴，即点B的横坐标为，
把点B的横坐标代入，可得：，∴．故选：A．
■考点四 一次函数与一次方程(组)、一次不等式的关系
◇典例9：（2024·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是，
交点的纵坐标为．方程组的解为．故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为 ．
【答案】或
【详解】解：当时，与x轴交点为 ，
当时，与x轴交点为，∴，解得：．故答案为：或．
◇典例10：（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：把代入，把点代入，求得：，
∵当时，对于x的每一个值函数的值大于一次函数的值，
∴，故答案为：．
◆变式训练
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】D
【详解】解：在一次函数中令，则，
一次函数的图象过点，在一次函数中令，则，一次函数的图象过点，如图，画出两个一次函数图象，
由函数图象可以得出：当时，，当或时，，故选：D
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数（m为实数），当时，，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：当时，，解得：，
时，，，，故答案为：．
■考点五 一次函数的实际应用
◇典例11：（2024·浙江绍兴·二模）如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系．下表是测得的身高与“一拃长”一组数据：
一作长 16 17 18 19
身高 162 172 182 192
(1)按照这组数据，求出身高与一拃长之间的函数关系式；
(2)某同学一拃长为，求他的身高是多少？
(3)若某人的身高为，一般情况下他的一拃长应是多少？
【答案】(1)身高与一拃长之间的函数关系式为；
(2)他的身高是；(3)他的一拃长应是．
【详解】（1）解：由题意得：h是关于d的一次函数，设，
把，代入得：，解得，
身高与一拃长之间的函数关系式为；
（2）解：在中，令得，他的身高是；
（3）解：在中，令得，解得，他的一拃长应是．
◆变式训练
1.（2024·浙江宁波·模拟预测）某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为．
(1)求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积．
(2)若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？
【答案】(1)；(2)温度应控制在内
【详解】（1）解：设，由已知，时，；时，．
，解得：， ．
当时，，∴该溶液的体积为．
（2）解：由题意得：，解得．答：温度应控制在内．
2．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：
收费方案 月使用费（元） 包时上网时间（小时） 超时费（元/小时）
无限
方案和方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系图象如下图所示：
(1)填空：表中的____________，____________；(2)请在图中画出方案的图象，并写出当上网时间不少于小时方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式；
(3)当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱；
当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱；
当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱．
【答案】(1)，；(2)当时，方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式；(3)当或时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式．
【详解】（1）解：由图象知：，，故答案为：，；
（2）解：由表中数据可知，当时，，
当时，，当时，，图象如图所示：
∴当时，方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式；
（3）解：由题意知：，，，
令或，解得或，令，解得，
∴当或时，该用户选择收费方式；
当时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式．
◇典例12：（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．
销售单价x（元/件） … 2 3 4 …
每月销售量y（万件） … 6 5 4 2 …
(1)在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式；(2)如果公司每月的制造成本不超过万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】(1)一次函数，
(2)当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万
【详解】（1）解：由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为一次函数，
设y与x之间的函数关系式为，
把代入得：，，y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设总利润为w，由题意得，；
公司每月的制造成本不超过万元，每件制造成本为元，
每月的生产量小于等于3万件，即．解得：，
，图象开口向下，对称轴右侧w随x的增大而减小，
时，w最大，最大值为．
答：当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万．
◆变式训练
1．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售
素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售．
素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天）12310日销售量（千克）30354075
问题解决
任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了．
任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式．
任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少．
【答案】任务1：超市卖柚子到第30天了；任务2：；任务3：在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元
【详解】解：任务1：由题意得，第柚子的价格为：，
则，解得：，即超市卖柚子到第30天了；
任务2：由表格知，日销售量（千克）是时间（天的一次函数，
设函数的表达式为：，
将代入上式得：，解得：，
故一次函数的表达式为：；
任务3：设销售旺季里利润为元，
当时，则，
当时，取得最大值为（元；
当时，则，
则函数的对称轴为，
故当时，函数取得最大值为：798元，
综上所述：当时，函数取得最大值为1200元，
即在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元．
1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（ ）
A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
【答案】D
【详解】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
故对应的是半亩八十四步，故选D．
2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴单项式与单项式是同类项，∴，解得，，
∴点在第四象限，故选：D
3．（2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点P的坐标为，∴点Q的坐标为，故选：C．
4．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：
①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故选：D．
5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D．
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，故选：C．
7．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【详解】解：由图象可知，面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，∴，
∵，∴，∴．故选：A
8．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；C.当时，，原说法错误；
D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；故选A．
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由一次函数：的图象可得：，，
由一次函数：的图象可得：，，
∴，，，，正确的结论是A，符合题意，故选A．
10．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：令，则，解得：，即点为，
则点A关于y轴的对称点是．故选：A．
11．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解∶∵不等式的解集是，∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，故选：B．
12．（2024·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即，故选：D．
13．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ．
【答案】
【详解】解：∵A，B的位置分别表示为．
∴目标C的位置表示为．故答案为：
14．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【详解】解：正比例函数的图象经过点，，解得：，
又，的值随的增大而减小．故答案为：减小．
15．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元．
【答案】4500
【详解】解：设，把，代入，得，解得，
∴，当时，，即投入80万元时，销售量为4500万元，
故答案为：4500．
16．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点，∴．
∵y随x的增大而减小，∴，当时，，解得：，
∴b的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）
17．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
【答案】
【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶
设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即，∴， ，
∴，，即∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线，
∴，，∴，则点，
设直线的解析式为，则，解得，
那么，直线的解析式为，故答案为：．
18．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，∴关于的方程的解是．
故答案为：．
19．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时，(2)
【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社，
∴张华的骑行速度为，∴张华离家时，张华离家，
张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是，
张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是．故答案为：.
②,故答案为：．
③当时，张华的匀速骑行速度为，∴；
当时，；当时，设一次函数解析式为：，
把，代入，可得出：，解得：，∴，
综上：当时，，当时，，当时，．
（2）张华爸爸的速度为：，
设张华爸爸距家，则，
当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有，解得：，
∴，
故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是．
20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．(1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；(2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．
【答案】(1)煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
(2)购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
【详解】（1）解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元．由题意得：，解得：，
答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
（2）解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，由题意得：，解得：，
∵a只能取正整数，∴a的最大值为33，
设总的购买费用为元，∴，
∵，∴当时，费用最低，此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台；
答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
21．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
(1)的值为________；(2)当时，求与之间的函数关系式；(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】(1)(2)(3)没有超速
【详解】（1）解：由题意可得：，解得：．故答案为：．
（2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为，
则：，解得：，∴．
（3）解：当时，，∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，∴辆汽车减速前没有超速．
1．（2024·浙江宁波·一模）若点是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】解：点是第二象限的点，，解得：，故选：A．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）已知一次函数的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵一次函数的图象如图所示，∴，
∵小兔子在第二象限∴横坐标为负，纵坐标为正，∴点A的坐标可能是．故选：D．
3．（2024·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交的延长线于点，，
四边形是正方形，，，
，，，
，，，
，，点的坐标为．故选：B．
4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（ ）
A． B． C． D．随a，b的值变化
【答案】C
【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示：
∵轴，在第一象限，∴，，
∵直线的解析式为，∴点C的坐标为，∴，
∴，∵轴，∴，∴，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，∴，故选：C．
5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】C
【详解】解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T，
∵，∴，∴，
∵，∴，由旋转知，，
∴，即，∴，
∴，∴，∴．故选：C．
6．（2024·浙江宁波·二模）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】解：在图中画出慢车距快车出发地甲的路程（千米）与出发后所用的时间（小时）的关系如图所示，则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为5次．故选：D．
7．（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（ ）
A．－5 B．－2 C． D．－1
【答案】A
【详解】解：∵∴函数的函数值随着x的增大而增大，
当时，则当时取得最小值，即，解得，故选：A
8．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，，，故选D．
9．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的一次函数与（都为常数，且都不为0）．函数满足（m为常数），下列说法正确的是（ ）
A．若，当时，
B．若，恒过定点
C．若，则与的函数图像一定都有交点
D．若是与函数图像的交点，则也在函数图像上
【答案】D
【详解】解：A：当时，有，故A是错误的；
B：当时，有，，故B是错误的；
C：设，，
若，且或1，则，则与的函数图象都没有交点，故C是错误的；
D：是函数图象的交点，
当时，，也在函数图象上，故D是正确的；故选：D．
10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得；
直线经过点C时，将代入直线中，可得，解得；
故b的取值范围是．故选：B．
11．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（）
①当时，该函数是一次函数；②若点在该函数图像上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【详解】解：当时，该函数是一次函数，正确，故①符合题意；
若点在该函数图像上，且，
，y随x的增大而增大，则正确，故②符合题意；
若该函数不经过第四象限，则，原说法错误，故③不符合题意；
令，则该函数恒过定点，正确，故④符合题意；
故符合题意的有①②④，故选：A．
12．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ．
【答案】
【详解】如图，过作于，易知，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
，而，，，∴A点坐标为，
设直线解析式为，则，∴，∴直线l解析式为．故答案为：
13．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，即，∴，即，
又∵，∴，即，
∵，∴，解得，故答案为：．
14．（2024·浙江·二模）如图，已知点P在直线上，点P的坐标为，将点P向下平移a个单位，再向左b平移个单位，得到点，且点也在该一次函数上，则 ．
【答案】/
【详解】解：点在直线上，，解得：，
点的坐标为．当时，，解得：，
点的坐标为，，，．故答案为：．
15．（2024·辽宁大连·一模）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图实线所示，不超过按15元来结算费用；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图y2实线所示．(1)求与x之间的函数解析式；(2)现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】(1)(2)选甲商店购买更多水果
【详解】（1）解：当时，由题意可得：与x之间的函数解析式为，
当时，，即的转折点的坐标为；
当时，设y1与x之间的函数解析式为，
把和代入解析式得，解得，∴，
综上所述，与x之间的函数解析式为．
（2）解：∵，∴，解得：，
设与x之间的函数解析式为，则有：，解得：，
∴∴，解得：，∵，∴选甲商店购买更多水果．
16．（2024·浙江绍兴·二模）如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．(1)当时，求关于的函数解析式．(2)当容器内的水量为时，求对应的时间．(3)每分钟的进水和出水各是多少升？
【答案】(1)关于的函数解析式为
(2)对应的时间(3)每分钟的进水量为，出水量为
【详解】（1）解：当时，设关于的函数解析式为，
，两点在函数图象上，，．
关于的函数解析式为．
（2）解：当容器内的水量为时，即，由（1）知，．对应的时间．
（3）解：每分钟的进水量为．每分钟的出水量为．
每分钟的进水量为，出水量为．
17．（2024·浙江杭州·一模）设一次函数（是常数，）．
(1)无论取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
(2)若时，该一次函数的最大值是6，求的值．
【答案】(1)定点(2)
【详解】（1）解：一次函数，当时，，
无论取何值，该一次函数图象始终过定点；
（2）解：当时，当时，一次函数，解得，
当时，当时，一次函数，解得（不合题意，舍去），综上，．
18．（2024·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于，两点，直线的图象分别与轴，轴交于、两点，为中点．(1)求直线的函数解析式；(2)直线分别与直线，直线交于点和点，当时，求的值．
【答案】(1)直线l2的函数解析式为(2)或2
【详解】（1）解：令，则，即点，
为中点，则点，将点的坐标代入得：，
解得：，即直线的函数解析式为：；
（2）当时，即，，则，，
则，则或2．
19．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线l：（其中n为常数）与x轴交于点A，与y轴交于点．(1)求点M，N所确定的直线的函数表达式；(2)小华同学设计了一个电脑动画程序，在直线l：中，输入n的值．
①当时，直线l会闪烁，求此时输入的n的值；
②当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，求此时所有整数 n的个数．
【答案】(1)(2)①；②15个
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
，解得，点M，N所确定的直线的函数表达式为；
（2）解：①在函数中，当时，，，
当时，，，，（舍去负值），；
②当直线过点时，，解得，
当直线过点时，，解得，
当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，此时所有整数 n有3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17共15个．
20．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）小温和小州居住在同一小区，周末小温和小州相约到奥体中心看演出．小温先乘公交车从小区出发前往奥体中心，小温出发20分钟后，小州从小区乘坐轻轨出发，出站后立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往奥体中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与轻轨均视为匀速行驶）．若设小温乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示小温离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示小州乘轻轨过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示小州骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系．
根据图象中的信息解决下列问题：(1)直接写出图中点的坐标，并求线段的函数表达式
(2)求当小州换骑自行车时，小温所乘公交车离奥体中心的路程．
(3)求两人前往奥体中心途中，小州离开小区的路程比小温多2千米时的值．
【答案】(1)，线段的函数表达式为；线段的函数表达式为；
(2)千米(3)或
【详解】（1）解：设小温乘坐公交车的时间为（分），
根据题意，当小温出发20分钟时，小州从小区门口乘轻轨出发，则图中点的坐标为，
由图可知，，，设线段的函数表达式为，
将点代入，可得，解得，∴线段的函数表达式为，
设线段的函数表达式为，将点，代入，
可得，解得，∴线段的函数表达式为；
（2）根据题意，当小州换骑自行车时，，∴小温所乘公交车行驶路程为（千米），
∴小温所乘公交车离奥体中心的路程为（千米）；
（3）设线段的函数表达式为，将点，代入，
可得，解得，∴线段的函数表达式为，
两人前往奥体中心途中，小州离开小区的路程比小温多2千米时，
在小州乘轻轨过程中，则，解得，
在小州骑自行车过程中，则，解得，∴的值为或．
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