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第三章 函数
3.2反比例函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 反比例函数的概念 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，反比例函数的部分，考查1-2道题，分值为10分左右，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点，反比例函数与一次函数综合出现在解答题中也是一种可能，难度中上。
考点2 反比例函数的图象与性质 ☆☆☆
考点3 反比例函数的几何意义 ☆☆☆
考点4 反比例函数的实际应用 ☆☆
1
3
■考点一 反比例函数的概念 3
■考点二 反比例函数的图象和性质 5
■考点三 反比例函数中|k|的几何意义 9
■考点四 反比例函数的实际应用 21
29
43
■考点一 反比例函数的概念
反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数 ．
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0 的任意实数．
■考点二 反比例函数的图象和性质
1、反比例函数的图象和性质
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三 象限 第二、四 象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 . 在每个象限内，y随x的增大而增大 .
对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
2、待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式（k≠0）；2）把已知一对x，y的值代入解析式 ，得到一个关于待定系数k的方程；3）解这个方程求出待定系数k；4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
■考点三 反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
3）涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标 。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于 反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。
4）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点 ；②k值异号，两个函数可无 交点，可有一个 交点，可有两个 交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解 的情况．
■考点四 反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式 ，再利用图象 找出解决问题的方案，特别注意自变量的 取值范围．
■考点一 反比例函数的概念
◇典例1：（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … 1 2 4 …
y … 4 2 1 …
y与x的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确；
三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确；故选：C．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·吉林·期末）下列函数中，与x轴无交点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、当时，，则函数与x轴有交点，不符合题意；
B、当时，，则函数与x轴有交点，不符合题意；
C、当时，无解，则函数与x轴无交点，符合题意；
D、当时，，则函数与x轴有交点，不符合题意；故选C．
2.（2024上·浙江九年级期中）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，且，，故答案为：．
3．（2024·浙江舟山·一模）已知，则关于的函数为 ．
【答案】
【详解】∵，∴，∴关于的函数为：．故答案为：．
◇典例2：（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）以下四个点中，不在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，，，
∴不在反比例函数图象上，故D符合题意．故选：D．
◆变式训练
1．（2023年广东省中考数学真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ．
【答案】4
【详解】解：∵，∴故答案为：4．
2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，故答案为：．
■考点二 反比例函数的图象和性质
◇典例3：（2024·浙江嘉兴·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（ ）．
A．B． C．D．
【答案】D
【详解】解：，，
A.该选项的图像要求中，则，对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意；B. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾；当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意；C. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意；D. 该选项的图像要求中，则，对要求，两图像存在矛盾，符合题意．故选D．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·一模）一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设甲乙两地之间的距离为s，则（定值），，
符合反比例函数的一般形式，且速度和时间均为正数, 图象应为在第一象限的曲线. 故选：D．
2．（2023·贵州遵义·一模）下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【详解】解：根据一次函数图象过一、二、三象限可知：，，
根据反比例函数图象过一、三象限可知：，，，，故选：A．
◇典例4：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴有公共点
C．图象经过点，则 D．图象所在的每一个象限内，随的增大而增大
【答案】D
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限；与坐标轴没有公共点；在每一个象限内，随的增大而增大，则选项A和B错误，选项D正确；将点代入反比例函数得：，
解得或，则选项C错误；故选：D．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 （填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，即．故答案为：4（答案不唯一）．
2．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小，∴ 故答案为：1（答案不唯一）．
3.（2024·广东深圳·校考模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，若x越大，则对应的y值也越大
D．若、是其图象上两点，则不一定有
【答案】C
【详解】解：函数的图象如图所示：
A、由图示知，当时，y随x的增大而增大．故本选项结论正确，不符合题意；
B、由图示知，当时，y随x的增大而增大．故本选项结论正确，不符合题意；
C、由图示知，在同一象限内，当时，若x越大，则对应的y值也越大．若不在同一象限内则时，，时，，故本选项结论错误，符合题意；
D、由图示知，若，，则．故本选项结论正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大．
◇典例4：（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）．
【答案】
【详解】解：点，，在函数的图象上，
，，故答案为：．
◆变式训练
1．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）已知，是反比例函数图象上的点，且，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵反比例函数解析式为，∴它的图象在第二、四象限，
∵，∴，，∴，故选：B．
2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴反比例函数在第一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
当时，，此时点，在第三象限，
∴，∴，A正确，符合题意；
当时，，此时点在第三象限，点在第一象限，
∴，B，C错误，不符合题意；
当时，，此时点，在第一象限，∴，D错误，不符合题意；故选：A．
3．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】C
【详解】解：，函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
点在函数的图象上，
又，，∴，，
∴，∴的值可以是1；故答案为：C．
■考点三 反比例函数中|k|的几何意义
◇典例5：（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵过点作轴于点，轴于点，∴四边形是矩形，
∵点在反比例函数的图象上，∴，
∵以点为位似中心把四边形放大得到四边形，点在反比例函数的图象上，
∴四边形也是矩形，，∴相似比为， 故选：A ．
◆变式训练
1．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵直线与双曲线交于两点，
∴点与点关于原点对称，故正确；∵点与点关于原点对称，∴，
∵轴，轴，∴，∴，
∴，∴点是的中点，故正确；∵，∴在每一象限内，随的增大而减小，
当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误；∵轴，∴，∵点与点关于原点对称，∴，
∵点是的中点，∴，故正确；∴正确结论有个，故选：．
2．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，
∴A，B关于原点对称，∴，∵轴，∵，∴,∴，
∴，∴，，∴，
∵反比例函数图象上在第二象限，∴．故选：D．
◇典例6：（2024·山东枣庄·二模）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作轴于，轴于，如图，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴
∵，，∴，故正确；
∵，，∴，故正确；
当， 四边形是矩形，∴不能确定与相等，
而，∴不能判断，∴不能判断，∴不能确定，故错误；
若四边形是菱形，则，而，∴，
∴，∴，又由图象可得，，，∴，∴，故正确；
∴结论正确的是，故选：．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【详解】解：依题意，设，则，，
∵点A在的图象上则，同理∵B，D两点在的图象上，则
∵∴，又∵，故，∴，故选：D．
2．（2024·浙江·二模）如图，已知反比例函数第一象限的图象经过的顶点A，且交于点C，点B在x轴的正半轴上，将沿翻折，点C的对应点D恰好落在第二象限的图象上，平行x轴，若点E在上，且是的重心，连结，已知的面积为4，则的值为 ．
【答案】12
【详解】解：∵点E在上，且是的重心，的面积为4，
∴，，，∴，由对折可得：，∴，∵，，∴；故答案为：
◇典例7：（2024九年级下·浙江宁波·专题练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)请直接写出时x的取值范围；
(3)过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为，(2)或(3)或
【详解】（1）解：把代入中得，反比例函数的表达式为，．
把和代入一次函数得，解得
一次函数的表达式为．
（2）解：从图象可以看出，时的取值范围为或．
（3）解：点，点，则，
，由得，故点或．
◆变式训练
1．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点．
(1)求两个函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为5，求点Q的坐标．
【答案】(1)，(2)或(3)或．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴反比例函数的解析式为，
把代入，得，∴点坐标为，
∵一次函数解析式，经过，，
故得解得，∴一次函数解析式为；
（2）∵，，∴由图象可得，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，且都在x轴上方∴时x的取值范围或；
（3）由题意，设且，
解得，或．
2．（2023·浙江杭州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数，（a，b，k是常数，，）的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，．（O是坐标原点）。(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直接写出当时x的取值范围；(3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】(1)；(2)或(3)1或9个
【详解】（1）把代入是常数，，，得，
∴反比例函数的解析式为，把代入，得，∴，
把，坐标分别代入得，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）由图可知，当时x的取值范围为：或；
（3）设直线向下平移n个单位长度，此时直线对应的表达式为，
联立方程组得，消去y得，整理得，
∵由于直线与反比例函数图象只有一个交点，∴，即，解得，，
∴将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点．
◇典例8：（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为．
(1)判断并证明直线与的关系．
(2)求k的值．
(3)若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值．
【答案】(1)，理由见解析(2)6(3)
【详解】（1）解：如图1，，理由如下：
，矩形的A，B顶点分别在轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于D，C，，，，，
，，，，
，，，；
（2）解：如图2，作于G，，
，
，，，（舍去），；
（3）解：如图3，取点，，则直线与直线关于O对称，
连接，并延长交于，连接，则，
M是的中点，，当最小时，最小，
作直线，交y轴与Q，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作，当重合，重合，则的最小值是的长，
直线的解析式为：，设直线的解析式为：，
由整理得，，，
，（舍去），，，直线为，
∴，，∴，∴，
当最小时，最小，的最小值是的长，．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点．(1)求的面积．(2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标．(3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积．
【答案】(1)15(2)、、、(3)或
【详解】（1）解：把代入得，，∴，
把代入得，，∴，∴，
∴，，∴，
由，解得或，∴，，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，把代入得，，∴，∴直线的解析式为，把代入得，，∴，
∵，，∴，∴是直角三角形，，即，设，①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，
有，解得，∴，代入得，
∴反比例函数的表达式为，设，如图，
当，联立，解得，∴，
当，则，∴，
解得：或（舍），∴；
②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形，
有，解得，∴，同上可求反比例函数的表达式为，如图，
当，联立，解得，∴，
当时，此时点与点N重合，∴，
综上所述，点D的坐标为：、、、；
（3）解：如图，设点，
∵轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，∴，
当点E在上时，由题意可得，，∴，
∵，
，，∴；
当点E在上时，同理可得，综上所述，的面积为或．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数．(1)求函数的“镜子”函数．(2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点．①当时，求函数的“镜子”函数．②若，且点的横坐标为，求点的横坐标．
【答案】(1)(2)①；②点横坐标为15
【详解】（1）解：设“镜子”函数上某点的坐标为，则关于直线的对称点为，
所以函数的“镜子”函数为
（2）解：①设“镜子”函数上某点的坐标为，则关于直线的对称点为，
所以函数的“镜子”函数为
②函数的“镜子”函数为点坐标为设点坐标为，
，即为线段的中点，点坐标为，
，即点横坐标为15．
■考点四 反比例函数的实际应用
◇典例9：（2023·河南驻马店·三模）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．
杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图1：
某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：
如图2，小明取一根质地均匀的木杆长，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个质量为的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化，在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图3所示的函数图象．已知重力与质量之间的关系式为：，为物体的重力（单位：），为物体的质量（单位），．
(1)图3中函数的解析式为__________，自变量的取值范围是__________．
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体的质量的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？
【答案】(1)，(2)弹簧测力计的示数最小可以是
【详解】（1）根据图象设函数解析式为
∵图象过点代入求得∴函数的解析式为：
∵点是木杆的中点，木杆全长∴可知弹簧测力计到中点的距离最长为
∴ 故答案为：，．
（2）由（1），可知．∵∴当时，随的增大而减小．
又∵∴当时，取得最小值，最小值为．
∴弹簧测力计的示数最小可以是．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示．
受力面积 1 0.5 0.25 0.2
桌面所受压强 100 200 400 500 800
(1)根据表中数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值；
(2)现想将另一长、宽、高分别为，，，且与该长方体相同重量的长方体按如图2所示的方式（即面向上）放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【答案】(1)，(2)这种摆放方式安全，理由见详解
【详解】（1）解：由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，
所以压强是受力面积的反比例函数，设，
将代入得，解得，
∴桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式为，
把代入得，解得；
（2）解：这种摆放方式安全，理由如下：由图可得，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面时，，
∵，∴这种摆放方式安全．
2．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究；探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【详解】探究由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究，在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，，；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，由探究1知，，解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
◇典例10：（2023·山东临沂·二模）如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面4组数据：
重物质量m/kg 1 2 3 5
活塞到桶底的距离h/cm 24 16 12
(1)该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比．请你根据数据求出______．(2)在上面4组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标x，h的值作为该点的纵坐标y，得到4个点的坐标．①将这4个点的坐标填入下表：
…… ……
…… ……
②交将这4个点描在如图所示的平面直角坐标系中．并用平滑曲线连接；
③直接写出所得曲线对应的函数表达式．
(3)要使活塞到筒底的距离大于6，请直接写出在托盘中放入重物的质量m的取值范围．
【答案】(1)8(2)①见详解②见详解③(3)
【详解】（1）解：设，把代入得，，，
，把代入得，，，故答案为：8；
（2）解：①如图，
2 3 4 5
24 16 12 8
②反比例函数的图象如图所示；
③点在反比例函数图象上，所得曲线对应的函数表达式为；
（3）解：当时，即，解得，重物的质量的取值范围为．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）
确定有效消毒的时间段
背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x…123…y…34…
表1
问题解决
任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．
任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．
任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．
【答案】任务1：；；任务2：；任务3：或．
【详解】任务1：解：设当药物释放阶段（即）时，设，
把，代入，得，解得，∴；
设当药物释放后（即）时，设，
把代入，得，解得，∴；
任务2：把分别代入，得，解得，由图象，得；
任务3：（1）当时，把代入，得，解得；
把代入，得，满足题意；．
（2）时，把代入，得，解得（舍去）； ∴无解；
（3）时，（即）
①把代入，得，解得；
把代入，解得，满足要求（），∴；
②把代入，得，解得；
把代入，解得，满足要求（），∴．
综上，或．
2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
【答案】(1)(2)①；②见解析(3)上；1(4)0或或
【详解】（1）解：∵，∴，∴
（2）①解：当时，∴，∴
②先描出点，，，，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象
（3）解：当，，当时，，当时，，
结合图像，所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位．
（4）解：由函数与方程的关系可知，
当时，的函数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴化简得：∴
当时，的函数图像在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴化简得：∴
当时，的图像恰好有两个交点．∴或或．
1．（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可．
【详解】解：把代入，得．故选C．
2．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴，∴，当时，，故A不符合题意；
当时，，故B不符合题意；
∵，，∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．
3．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，反比例函数的图象上有，两点，
当，即时，；当，即时，；
当，即时，；故选：A．
4．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，，
， ，， ．故选：A．
5．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】解：∵方程无实数根，∴，
解得：，则函数的图象过二，四象限，而函数的图象过一，三象限，
∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，故选：A．
6．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小，点，都在反比例函数的图象上，，．
∵，在反比例函数的图象上，∴，∴.故选：B．
7．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【详解】当时，，∴与y轴的交点为；
由于是分式，且当时，，即，∴与x轴没有交点．
∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．
8．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，∴，
∴是等边三角形，∴，∵，∴，
∴，设，则，∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，∴，解得或（舍去），∴，
故选：A．
9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，∵，∴，，∴．
∵在反比例函数的图象上，∴．
∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，∴，∴，
∵轴，∴，∴，∴，
∴，解得：，即点C的横坐标为2，将代入，得，
∴C点的坐标为，∴,，∴，
∴,∴ 故选：B．
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】过点E作，则，
∴，∴设，
∵∴，∴
∴即，解得：故选D
11．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
【答案】/
【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为，时，，
，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为，
．故答案为：．
12．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
【答案】四/
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴∴∴点在第四象限，故答案为：四．
13．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
【答案】0
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴有，∴，故答案为：0．
14．（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0．
【答案】/小于
【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上，∴，，
∵，∴，∴．故答案为：．
15．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ．
【答案】或
【详解】解：由图象可得，当或时，，
∴满足的的取值范围为或，故答案为：或．
16．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；②的面积等于四边形的面积；③的最小值是；
④．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【详解】解：∵，，四边形是矩形；∴，∴，故①符合题意；
如图，连接，，，与的交点为，
∵，∴，∴，
∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，
∵轴，，∴四边形为矩形，∴，
∴当最小，则最小，设，∴，∴，
∴的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，∴，
∵反比例函数为，四边形为矩形，∴，，
∴，，，，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴，故④符合题意；故答案为：①②④
17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则 ．
【答案】
【详解】如图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，
∵四边形是平行四边形，点，，，
∴，∴，即，则，
∵轴，轴，∴∴
∴∴，∴∴故答案为：．
18．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：如图：连接
∵反比例函数的图象与交于两点，且∴
设，则∵∴
则∵点在第一象限 ∴
把代入得∴
经检验：都是原方程的解 ∵∴故答案为：
19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．(1)求的值和反比例函数的解析式；(2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
【答案】(1)；反比例函数的解析式为(2)；不等式的解集为
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；∴，把代入，得：，∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，
∴直线与直线平行，∴，∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，解得，，∴，
把代入，得：，∴，∴；
由图象知，当时，在直线的下方，∴不等式的解集为
20．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．
(1)求m，k的值；(2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)，(2)最大值是，此时
【详解】（1）解： ，，．
又，．，点．设直线的函数表达式为，
将，代入，得，解得，∴直线的函数表达式为．
将点代入，得．．将代入，得．
（2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．
，，．轴，，．
，，，．
设点P的坐标为，，则，．．
．
当时，有最大值，此时．
21．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．(1)求反比例函数的表达式；(2)求n的值及的面积．
【答案】(1)(2)，
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，∴，∴；∴；
（2）∵∴∴∴
∵将正比例函数图象向下平移个单位，∴平移后的解析式为：，
如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形，
∴∴∴设，则
∴，∴，∵，，在上
∴解得：（负值舍去）∴，
∴的解析式为，
当时，，则，∴，，则
∵直线与关于直线成轴对称，轴，
∴，和是等腰直角三角形，∴∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴∴
22．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
【答案】(1)，(2)点P坐标为或；
(3)Q点坐标为或
【详解】（1）解：依题意把代入，得出解得
把代入中，得出∴
则把和分别代入 得出解得∴；
（2）解：记直线与直线的交点为
∵∴当时，则∴
∵P是直线上的一个动点，∴设点，∵的面积为21，
∴
即∴ 解得或 ∴点P坐标为或；
（3）解：由（1）得出∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，
∴设点Q的坐标为 如图：点在点的右边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得（负值已舍去）经检验是原方程的解，∴Q点坐标为
如图：点在点的左边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得，符合题意，，不符合题意，
则，故
综上：Q点坐标为或．
1．（2024·山西·统考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点
【答案】C
【详解】解：A、∵，∴，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
C、反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意；
D、当时，则，∴函数图象经过点，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】解：在反比例函数中，，图象在第二、四象限，
若 则或，故A错误；
当时，若，则且或，
故或 ，故B错误；若则，则，故C错误；
若则且或，故，故D正确；故选：D．
3．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵反比例函数中，,
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵，∴，两点在第三象限，点在第一象限，
∴，故选：A．
4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（ ）
x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4
的值 3 3.31 3.64 3.99 4.36
的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42
A．2~2.1之间 B．2.1~2.2之间 C．2.2~2.3之间 D．2.3~2.4之间
【答案】B
【详解】解：由表格可知，当时，，
当时，，当时，存在一个x的值，使，答案：B．
5.（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长与它的邻边；②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口；③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示，即不满足所给的函数图象；综上可知：①②符合要求，故选A．
6．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得：，，，
当时，，即，，故选D．
7．（2024·浙江·模拟预测）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由反比例函数图象上点可知，反比例函数图象位于第二、四象限，即在每个象限内，图象自左向右上升，函数随的增大而增大，
反比例函数图象上位于第二象限的两个点的坐标分别为，位于第一象限的点的坐标为，．故选：A．
8．（2024·浙江·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或 C．或x＞2 D．或
【答案】A
【详解】解：把点，代入，
得出，解得：，m=0（舍去）∴点，B，
观察函数图象发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
则不等式的解集为：或.故选：A．
9．（2024·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要4min
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
【答案】C
【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意；
B、由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点可得，，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意；
C、当水温升至时，用时，当水温降至时，，解得：，
∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意；
D、在中，令，则，即：每20分钟，饮水机重新加热，
∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热，把代入，得：，
即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意；故选：C．
10．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知某函数的图象与函数的图象关于直线对称，下列命题：①图象与函数的图象交于点；②点在图象上；③图象上的点的纵坐标都小于4；④是图象上任意两点，若，则，其中真命题是 （填序号）．
【答案】/
【详解】解：点是函数的图象的点，也是对称轴直线上的点，
点是图象与函数的图象交于点；①正确；点关于对称的点为点，
在函数上，点在图象上；②正确；
中，，取上任意一点为，则点与对称点的纵坐标为；
图象C上的点的纵坐标不一定小于4，故③错误；
于对称点为，，在函数上，
，，若，则；若或，则；
④不正确；故答案为：．
11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则的值为 ．
【答案】15
【详解】解：如图所示，
，，，，，
，平分矩形，，，，，，
，．故答案为：15．
12．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：作于，，，
，，
在和中，，，，，
点，，，，，
，，解得或（舍去），故答案为：．
13．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A，C在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，则k的值为 ．
【答案】8
【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，作点B作轴，作轴，交于点F，连接，
∵菱形，∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
在和中，∴，∴，
∵点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，∴，∴，，即点C的横坐标为2，
同理得：，∴，∴点∴，故答案为8．
14．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点．
(1)若，求证：．(2)若，，，求该函数的表达式．
【答案】(1)0(2)
【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点．，，
，．
（2）解：，，，，，
，，，，，
，，，，，，，
，，该函数的表达式为．
15．（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．(1)求的值；(2)若点都在该反比例函数图象上；①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标；②当时，求的取值范围．
【答案】(1)3(2)①；②
【详解】（1）解：反比例函数，点都在该反比例函数图象上，
，解得，；
（2）解：点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称，，，则，解得，，
将代入得，解得，；
②，则，，，，．
16．（2023·浙江温州·模拟预测）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点.
(1)求的值，并在图中画出函数的图象；(2)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，画图见解析；(2)或．
【详解】（1）解：将点代入一次函数得，∴，∴点的坐标为，
把点代入反比例函数得，解得∴反比例函数的解析式为，
∴反比例函数的图象如下图；
（2）解：由，，根据函数图象可得：
不等式的解集为：或．
17．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点．
(1)求n的值与一次函数的解析式；(2)过点A作y轴的垂线，垂足为C，过点B作x轴的垂线，垂足为D，连接，求证：直线平行．
【答案】(1)，(2)见解析
【详解】（1）解：由题意知：将点代入中，，即：，
∴一次函数的解析式为：，∵将代入中，，即：；
（2）解：根据题意画图命名如下：
∵，∴，∴，即 ，
∵，∴，即，∵一次函数的解析式为，∴令，即，
∴，即，∴令，即，∴，即，
∵，，∴，∴，∴．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于， 两点，点在一次函数的图象上，且．
(1)求证：．(2)比较与的大小关系．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：由题意，得，，，
．
（2）解：．
，，，．
19．（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为单位：，长为单位：，当时，．
(1)求的长．(2)求关于的函数解析式，在图2中画出图像，并写出至少一条该函数性质．
(3)若要求不小于，求的取值范围．
【答案】(1)(2)，图象及性质见解析(3)
【详解】（1）解∵，∴，∴，∴，解得．
（2）由(1)得，，∴，∴或，画出图像如下：
性质：当时，随的增大而减小；
（3）由，，则，解得，∴的取值范围为：．
20．（2024·广西玉林·三模）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
1 a 3 4 6
4 3 2 b
(1)______，______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②函数是由函数的图象向______平移2个单位得到；
(3)【应用】下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线对称；④y的取值范围为．其中说法正确的是______（填写序号）；
(4)【拓展】不等式的解集为______．
【答案】(1)2，1.5；(2)①图象见解析；②左；(3)①④；(4)．
【详解】（1）解：由题意，，当时，由得，当时，，
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②由图象可知，函数是由函数的图象向左平移2个单位得到．
（3）解：如图，的图象如下：
由图象可得：①图象关于点对称；故符合题意；
②当时（或），y随x的增大而减小；故不符合题意；
③图象关于直线或对称；故不符合题意；
④y的取值范围为．故符合题意 故答案为：①④
（4）在同一坐标系内画与的图象如下：
∴由函数图象可得：的解集为，
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第三章 函数
3.2反比例函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 反比例函数的概念 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，反比例函数的部分，考查1-2道题，分值为10分左右，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点，反比例函数与一次函数综合出现在解答题中也是一种可能，难度中上。
考点2 反比例函数的图象与性质 ☆☆☆
考点3 反比例函数的几何意义 ☆☆☆
考点4 反比例函数的实际应用 ☆☆
1
3
■考点一 反比例函数的概念 3
■考点二 反比例函数的图象和性质 5
■考点三 反比例函数中|k|的几何意义 9
■考点四 反比例函数的实际应用 21
29
43
■考点一 反比例函数的概念
反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做 ．
自变量x和函数值y的取值范围都是 的任意实数．
■考点二 反比例函数的图象和性质
1、反比例函数的图象和性质
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第 象限 第 象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而 . 在每个象限内，y随x的增大而 .
对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
2、待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式（k≠0）；2）把已知一对x，y的值代入 ，得到一个关于待定系数k的方程；3）解这个方程求出待定系数k；4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
■考点三 反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
3）涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出 。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象 反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。
4）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有 ；②k值异号，两个函数可 交点，可有 交点，可有 交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的 的情况．
■考点四 反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定 ，再 找出解决问题的方案，特别注意 取值范围。
■考点一 反比例函数的概念
◇典例1：（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … 1 2 4 …
y … 4 2 1 …
y与x的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
◆变式训练
1．（23-24九年级上·吉林·期末）下列函数中，与x轴无交点的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024上·浙江九年级期中）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ．
3．（2024·浙江舟山·一模）已知，则关于的函数为 ．
◇典例2：（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）以下四个点中，不在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年广东省中考数学真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ．
2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
■考点二 反比例函数的图象和性质
◇典例3：（2024·浙江嘉兴·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（ ）．
A．B． C．D．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·一模）一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州遵义·一模）下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
◇典例4：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴有公共点
C．图象经过点，则 D．图象所在的每一个象限内，随的增大而增大
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 （填一个即可）．
2．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
3.（2024·广东深圳·校考模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，若x越大，则对应的y值也越大
D．若、是其图象上两点，则不一定有
◇典例4：（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）．
◆变式训练
1．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）已知，是反比例函数图象上的点，且，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
3．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（ ）
A．2 B． C．1 D．3
■考点三 反比例函数中|k|的几何意义
◇典例5：（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2024·山东枣庄·二模）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2024·浙江·二模）如图，已知反比例函数第一象限的图象经过的顶点A，且交于点C，点B在x轴的正半轴上，将沿翻折，点C的对应点D恰好落在第二象限的图象上，平行x轴，若点E在上，且是的重心，连结，已知的面积为4，则的值为 ．
◇典例7：（2024九年级下·浙江宁波·专题练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)请直接写出时x的取值范围；
(3)过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标．
◆变式训练
1．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点．
(1)求两个函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为5，求点Q的坐标．
2．（2023·浙江杭州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数，（a，b，k是常数，，）的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，．（O是坐标原点）。(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直接写出当时x的取值范围；(3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
◇典例8：（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为．
(1)判断并证明直线与的关系．(2)求k的值．(3)若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值．
◆变式训练1．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点．(1)求的面积．(2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标．(3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数．(1)求函数的“镜子”函数．(2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点．①当时，求函数的“镜子”函数．②若，且点的横坐标为，求点的横坐标．
■考点四 反比例函数的实际应用
◇典例9：（2023·河南驻马店·三模）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．
杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图1：
某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：
如图2，小明取一根质地均匀的木杆长，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个质量为的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化，在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图3所示的函数图象．已知重力与质量之间的关系式为：，为物体的重力（单位：），为物体的质量（单位），．
(1)图3中函数的解析式为__________，自变量的取值范围是__________．
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体的质量的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？
◆变式训练
1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示．
受力面积 1 0.5 0.25 0.2
桌面所受压强 100 200 400 500 800
(1)根据表中数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值；
(2)现想将另一长、宽、高分别为，，，且与该长方体相同重量的长方体按如图2所示的方式（即面向上）放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
2．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
◇典例10：（2023·山东临沂·二模）如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面4组数据：
重物质量m/kg 1 2 3 5
活塞到桶底的距离h/cm 24 16 12
(1)该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比．请你根据数据求出______．(2)在上面4组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标x，h的值作为该点的纵坐标y，得到4个点的坐标．①将这4个点的坐标填入下表：
…… ……
…… ……
②交将这4个点描在如图所示的平面直角坐标系中．并用平滑曲线连接；
③直接写出所得曲线对应的函数表达式．
(3)要使活塞到筒底的距离大于6，请直接写出在托盘中放入重物的质量m的取值范围．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）
确定有效消毒的时间段
背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x…123…y…34…
表1
问题解决
任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．
任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．
任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．
2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
1．（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
2．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
3．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
4．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
12．（2024·遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
13．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 .
14．（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0．
15．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ．
16．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；②的面积等于四边形的面积；③的最小值是；
④．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则 ．
18．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．(1)求的值和反比例函数的解析式；(2)将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
20．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．
(1)求m，k的值；(2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
21．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．(1)求反比例函数的表达式；(2)求n的值及的面积．
22．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
1．（2024·山西·统考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点
2．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（ ）
x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4
的值 3 3.31 3.64 3.99 4.36
的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42
A．2~2.1之间 B．2.1~2.2之间 C．2.2~2.3之间 D．2.3~2.4之间
5.（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长与它的邻边；②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口；③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模拟预测）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或 C．或x＞2 D．或
9．（2024·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要4min
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
10．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知某函数的图象与函数的图象关于直线对称，下列命题：①图象与函数的图象交于点；②点在图象上；③图象上的点的纵坐标都小于4；④是图象上任意两点，若，则，其中真命题是 （填序号）．
11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则的值为 ．
12．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为 ．
13．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A，C在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，则k的值为 ．
14．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点．
(1)若，求证：．(2)若，，，求该函数的表达式．
15．（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．(1)求的值；(2)若点都在该反比例函数图象上；①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标；②当时，求的取值范围．
16．（2023·浙江温州·模拟预测）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点.(1)求的值，并在图中画出函数的图象；(2)直接写出不等式的解集．
17．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点．(1)求n的值与一次函数的解析式；(2)过点A作y轴的垂线，垂足为C，过点B作x轴的垂线，垂足为D，连接，求证：直线平行．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于， 两点，点在一次函数的图象上，且．
(1)求证：．(2)比较与的大小关系．
19．（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为单位：，长为单位：，当时，．
(1)求的长．(2)求关于的函数解析式，在图2中画出图像，并写出至少一条该函数性质．
(3)若要求不小于，求的取值范围．
20．（2024·广西玉林·三模）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
1 a 3 4 6
4 3 2 b
(1)______，______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②函数是由函数的图象向______平移2个单位得到；
(3)【应用】下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线对称；④y的取值范围为．其中说法正确的是______（填写序号）；
(4)【拓展】不等式的解集为______．
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