二次根式(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的定义
1.(2024·廊坊质检)下列各式子中,一定是二次根式的是(C)
A. B.
C. D.
知识点2 二次根式有意义的条件
2.(2023·通辽中考)二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为(C)
3.(2023·济宁中考)若代数式有意义,则实数x的取值范围是(D)
A.x≠2 B.x≥0
C.x≥2 D.x≥0且x≠2
4.若代数式有意义,则实数x的取值范围是 x>3 .
5.(2024·宜宾期中)若实数a,b满足b=++5,则2a+b的平方根为 ±3 .
6.若下列式子有意义,x的取值必须满足什么条件
(1). (2). (3)+(x-2)0.
(4). (5)+. (6).
【解析】(1)∵有意义,
∴4-x≥0,解得x≤4;
(2)∵有意义,
∴,解得x≥0且x≠1;
(3)∵+(x-2)0有意义,
∴,解得x>1且x≠2;
(4)∵有意义,
∴,解得x>4;
(5)∵+有意义,
∴,解得x=3;
(6)∵有意义,
∴-x2≥0,解得x=0.
知识点3 二次根式的非负性
7.若|x+2|+=0,则的值为(C)
A.5 B.-6 C.6 D.36
8.(2024·成都期中)若+=0,则(a+b)2 023= -1 .
9.若实数a,b,c满足|a-|+=+.
(1)求a,b,c;
【解析】(1)由题意可得c-3≥0且3-c≥0,解得c=3,∴|a-|+=0,
则a=,b=2;
(2)若满足上式的a,c为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的周长.
【解析】(2)当a是腰长,c是底边时,等腰三角形的腰长之和:+=2<3,不能构成三角形,舍去;
当c是腰长,a是底边时,任意两边之和大于第三边,能构成三角形,
则等腰三角形的周长为+3+3=+6,
综上,这个等腰三角形的周长为+6.
【B层 能力进阶】
10.(2023·绵阳中考)使式子+在实数范围内有意义的整数x有(C)
A.5个 B.3个 C.4个 D.2个
11.已知x,y是实数,+y2-6y+9=0,则xy的值是(B)
A.4 B.-4 C. D.-
12.当x= - 时,+5的值最小.
13.式子y=+(x-6)0中x的取值范围是 x≥-2且x≠6 .
14.(易错警示题·概念不清)若的值为0,则x的值为 2 .
15.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),C(-1,2),且|a+2|+=0.
(1)a= -2 ,b= 3 .
【解析】(1)由题意得,a+2=0,b-3=0,解得a=-2,b=3.
(2)①在x轴的正半轴上存在一点M,使△COM的面积等于△ABC的面积,求点M的坐标.
②在y轴上是否存在点M,使△COM的面积等于△ABC的面积恒成立 若存在,求出符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(2)①∵a=-2,b=3,C(-1,2),
∴AB=3-(-2)=5,点C到x轴的距离为2,
∴OM×2=××5×2,解得OM=,
∵点M在x轴正半轴上,
∴M的坐标为(2.5,0);
②在y轴上存在点M,使△COM的面积等于△ABC的面积恒成立,理由如下:
∵△COM的面积等于△ABC的面积恒成立,C到y轴的距离为1,
∴OM×1=××5×2,解得OM=5.
∴点M的坐标为(0,5)或(0,-5).
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、运算能力、抽象能力)
(1)问题情境:请认真阅读下列这道例题的解法并完成填空.
例:已知y=++2 023,求的值.
解:由,得x= 2 022 ,
∴y= 2 023 ,∴= ;
【解析】(1)由,得x=2 022,
∴y=2 023,
∴=.
(2)尝试应用:若x,y为实数,且y>++2,化简:.
【解析】(2)由,得x=3,∴y>2,
∴原式==1.
(3)拓展创新:已知n=+-m+7,求m-n的值.
【解析】(3)由,得mn=10,
∴n=7-m,∴m+n=7,
∵(m-n)2=(m+n)2-4mn=72-4×10=9,
∴m-n=±3. 二次根式(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用二次根式的性质进行计算
1.二次根式等于(B)
A.-6 B.6 C.±6 D.36
2.(2024·广州质检)-=(A)
A.-2 024 B.2 024
C.- D.
3.化简:= .
4.计算:
(1);(2);
(3);(4).
【解析】(1)原式==0.3;
(2)原式=52×()2=125;
(3)原式==;
(4)原式==.
知识点2 实数内的因式分解
5.下列各式中,在实数范围内能因式分解的是(B)
A.x2+5 B.x2-5 C.x2+9 D.x2+x+1
6.在实数范围内因式分解:x4-6x2+9= (x+)2(x-)2 .
7.在实数范围内因式分解:
(1)3x2y-6y; (2)y2-2y+6.
【解析】(1)原式=3y(x2-2)=3y(x+)(x-);
(2)原式=y2-2y+=(y-)2.
知识点3 利用二次根式的性质进行化简
8.如果=3a-2,那么a的取值范围是(C)
A.a> B.a<
C.a≥ D.a≤
9.若a>b>0,则+的结果是(A)
A.a B.2b-a
C.a-2b D.-a
10.化简:= -1 .
11.【问题再现】王军同学在化简时,他认为=a-5.
(1)你认为他的看法对吗 请把你的意见写出来.
【归纳总结】
(2)由此题你可以看出,在进行形如的化简运算时应注意什么
【学以致用】
(3)已知<1,化简:= a-a2 ;
(4)当a=9时,计算+的值.
【解析】(1)王军的看法不正确.
=|a-5|,在化简时应该注意a-5的取值范围.
(2)在化简时应该注意a的取值范围.
(3)∵<1,∴0≤a<1,∴a-1<0,
∴=a(1-a)=a-a2.
(4)当a=9时,原式=+=+=+=1.
【B层 能力进阶】
12.下列算式中,正确的是(C)
A.=4 B.=±3
C.=8 D.-(-1)2 024=1
13.把4x4-9在实数范围内分解因式,结果正确的是(D)
A.(2x2+3)(2x2-3)
B.(x+)(x-)
C.(2x2+3)(2x+)(2x-)
D.(2x2+3)(x+)(x-)
14.(2023·凉山州中考)计算(π-3.14)0+= .
15.若实数a,b在数轴上的对应点如图,则化简+|a+b|的结果为
-2b .
16.计算:(1)+-;
(2)+(-3)-|-2|+-(-1)2 024.
【解析】(1)原式=3+2-3=2.
(2)+(-3)-|-2|+-(-1)2 024
=4-3+-2+3-1
=1+.
17.已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简+.
【解析】∵三角形的三边长分别为a,b,c,
∴a>0,b>0,c>0,a+b>c,
∴a+b+c>0,c-a-b<0,
∴+
=|a+b+c|+|c-a-b|
=(a+b+c)-(c-a-b)
=a+b+c-c+a+b
=2a+2b.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(运算能力、推理能力、模型观念)求代数式a+,a=1 007,如图是小亮和小芳的解答过程:
解:原式 =a+ =a+1-a =1 解:原式 =a+ =a+a-1 =2 013
(1) 小芳 的解法是正确的;
【解析】(1)∵a=1 007,
∴1-a<0,
∴=|1-a|=a-1,
即a+
=a+a-1
=2a-1,
当a=1 007时,原式=2 013,
∴小芳的解法是正确的;
(2)化简:a+(其中a<0);
【解析】(2)∵a<0,
∴a-4<0,
∴a+
=a+
=a+|a-4|
=a-a+4
=4;
(3)若+=13,直接写出a的取值范围.
【解析】(3)+=|a-5|+|a+8|,
当a≤-8时,|a-5|+|a+8|=5-a-a-8=-2a-3=13,解得a=-8;
当-8
当a≥5时,|a-5|+|a+8|=a-5+a+8=2a+3=13,解得a=5;
综上,a的取值范围是-8≤a≤5. 二次根式(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的定义
1.(2024·廊坊质检)下列各式子中,一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
知识点2 二次根式有意义的条件
2.(2023·通辽中考)二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为( )
3.(2023·济宁中考)若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x≠2 B.x≥0
C.x≥2 D.x≥0且x≠2
4.若代数式有意义,则实数x的取值范围是 .
5.(2024·宜宾期中)若实数a,b满足b=++5,则2a+b的平方根为 .
6.若下列式子有意义,x的取值必须满足什么条件
(1). (2). (3)+(x-2)0.
(4). (5)+. (6).
知识点3 二次根式的非负性
7.若|x+2|+=0,则的值为( )
A.5 B.-6 C.6 D.36
8.(2024·成都期中)若+=0,则(a+b)2 023= .
9.若实数a,b,c满足|a-|+=+.
(1)求a,b,c;
(2)若满足上式的a,c为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的周长.
【B层 能力进阶】
10.(2023·绵阳中考)使式子+在实数范围内有意义的整数x有( )
A.5个 B.3个 C.4个 D.2个
11.已知x,y是实数,+y2-6y+9=0,则xy的值是( )
A.4 B.-4 C. D.-
12.当x= 时,+5的值最小.
13.式子y=+(x-6)0中x的取值范围是 .
14.(易错警示题·概念不清)若的值为0,则x的值为 .
15.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),C(-1,2),且|a+2|+=0.
(1)a= -2 ,b= 3 .
(2)①在x轴的正半轴上存在一点M,使△COM的面积等于△ABC的面积,求点M的坐标.
②在y轴上是否存在点M,使△COM的面积等于△ABC的面积恒成立 若存在,求出符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、运算能力、抽象能力)
(1)问题情境:请认真阅读下列这道例题的解法并完成填空.
例:已知y=++2 023,求的值.
解:由,得x= ,
∴y= ,∴= ; 二次根式(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用二次根式的性质进行计算
1.二次根式等于( )
A.-6 B.6 C.±6 D.36
2.(2024·广州质检)-=( )
A.-2 024 B.2 024
C.- D.
3.化简:= .
4.计算:
(1);(2);
(3);(4).
知识点2 实数内的因式分解
5.下列各式中,在实数范围内能因式分解的是( )
A.x2+5 B.x2-5 C.x2+9 D.x2+x+1
6.在实数范围内因式分解:x4-6x2+9= .
7.在实数范围内因式分解:
(1)3x2y-6y; (2)y2-2y+6.
知识点3 利用二次根式的性质进行化简
8.如果=3a-2,那么a的取值范围是( )
A.a> B.a<
C.a≥ D.a≤
9.若a>b>0,则+的结果是( )
A.a B.2b-a
C.a-2b D.-a
10.化简:= .
11.【问题再现】王军同学在化简时,他认为=a-5.
(1)你认为他的看法对吗 请把你的意见写出来.
【归纳总结】
(2)由此题你可以看出,在进行形如的化简运算时应注意什么
【学以致用】
(3)已知<1,化简:= ;
(4)当a=9时,计算+的值.
【B层 能力进阶】
12.下列算式中,正确的是( )
A.=4 B.=±3
C.=8 D.-(-1)2 024=1
13.把4x4-9在实数范围内分解因式,结果正确的是( )
A.(2x2+3)(2x2-3)
B.(x+)(x-)
C.(2x2+3)(2x+)(2x-)
D.(2x2+3)(x+)(x-)
14.(2023·凉山州中考)计算(π-3.14)0+= .
15.若实数a,b在数轴上的对应点如图,则化简+|a+b|的结果为
.
16.计算:(1)+-;
(2)+(-3)-|-2|+-(-1)2 024.
17.已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简+.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(运算能力、推理能力、模型观念)求代数式a+,a=1 007,如图是小亮和小芳的解答过程:
解:原式 =a+ =a+1-a =1 解:原式 =a+ =a+a-1 =2 013
(1) 的解法是正确的;
(2)化简:a+(其中a<0);
(3)若+=13,直接写出a的取值范围.