二次根式的乘除(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的乘法运算
1.下列计算结果是的是( )
A.× B.×
C.× D.×
2.下列各等式成立的是( )
A.4×2=8 B.4×3=12
C.3×4=7 D.4×2=8
3.(2024·临汾期中)计算:×= .
4.若一个长方形的长为2 cm,宽为2 cm,则它的面积为 cm2.
5.计算:
(1)×;
(2)5×(-3);
(3)×(-15)×(-).
知识点2 二次根式的化简
6.的计算结果是( )
A.-5 B.5
C.-3 D.3
7.(2024·哈尔滨质检)计算:×= .
8.化简:
(1);
(2)5;
(3)(a>0);
(4).
知识点3 二次根式的大小的比较
9.下列大小关系正确的是( )
A.>2 B.2>3
C.-<- D.8<
10.比较大小:-2 -3.(填“>”“<”或“=”)
【B层 能力进阶】
11.下列化简正确的是( )
A.=×=6
B.=×=18
C.=+=
D.=×=
12.已知m=(-)×(-2),则m的值在( )
A.5与6之间 B.-6与-5之间
C.4与5之间 D.-5与-4之间
13.观察数据并寻找规律:,-2,,-2,,…,则第2 024个数是( )
A. B.-
C. D.-
14.(2024·西安期末)已知y=++9,则·的值为 .
15.比较大小: .(填“>”“<”或“=”)
16.计算:(1);
(2)×(-)-+|-23|;
(3)·3(x≥0,y≥0,z≥0).
【C层 创新挑战(选做)】
17.(推理能力、运算能力)
观察下列等式:
第1个等式:=,
第2个等式:=2,
第3个等式:=3,
第4个等式:=4,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)第6个等式: ;
(2)计算:××;
(3)写出你猜想的第n个等式,并证明其正确性(用含n的式子表示);
(4)若=x符合此规律,请直接写出代数式a+b的值. 二次根式的乘除(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的除法运算
1.若=在实数范围内成立,则x的取值范围是(D)
A.x≥0 B.x≥4
C.0≤x<4 D.x>4
2.下列各式计算正确的是(B)
A.÷=4 B.÷=
C.÷=5 D.÷=7
3.计算:= 2 .
4.若一个长方形的长为 cm,面积为8 cm2,则它的宽为 4 cm(保留根式).
5.计算:(1);
(2)-÷;
(3)÷();
(4)3÷().
【解析】(1)原式===4;
(2)原式=-=-=-=-;
(3)原式=÷==3;
(4)原式=3÷()=(3÷)×(÷)=2==.
知识点2 二次根式的化简
6.下列二次根式中,是最简二次根式的是(C)
A. B.2
C. D.
7.若是最简二次根式,则m的值可以是 3(答案不唯一) .(写出一个即可)
8.判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由.
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6).
【解析】(1)=5,不是最简二次根式;
(2)=|a|,不是最简二次根式;
(3)是最简二次根式;
(4)==,不是最简二次根式;
(5)
==|a+b|,不是最简二次根式;
(6)是最简二次根式.
知识点3 二次根式的乘除混合运算
9.计算÷4×的结果是(C)
A.1 B.3
C. D.3
10.计算:÷×= 4 .
11.计算:(1)2×3÷.
(2)3×(-)÷(7).
【解析】(1)原式=2××
=××
=6.
(2)原式=-(3×)×÷
=-×
=-×
=-.
【B层 能力进阶】
12.下列各式的化简正确的是(C)
A.=·=(-2)×(-7)=14
B.==×=5
C.===
D.==
13.已知=a,=b,则用a,b表示为(D)
A. B.
C. D.
14.若a>0,把化成最简二次根式为 - .
15.化简:
(1);(2);(3).
【解析】(1)==;
(2)==
===20;
(3)原式==.
16.定义:若两个二次根式m,n满足m·n=p,且p是有理数.则称m与n是关于p的和谐二次根式.
(1)若m与是关于6的和谐二次根式,求m的值;
(2)若2-与4+m是关于4的和谐二次根式,求m的值.
【解析】(1)由题意可得,m·=6,∴m=2;
(2)由题意可得,(2-)(4+m)=4,整理得,(2-2)m=4-4,∴m=2.
17.计算:(1)4÷2+;
(2)(-2 022)0+6×(-)+÷.
【解析】(1)4÷2+=2+2.
(2)(-2 022)0+6×(-)+÷
=1+(-3)+
=1-3+
=-2+2
=0.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(推理能力、运算能力)先来看一个有趣的现象:===2,这里根号里的因数2经过适当的演变,2竟“跑”到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”,具有这一性质的数还有许多,如=3,=4等.
(1)请你写一个有“穿墙”现象的数,并验证;
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗 证明你找到的规律.
【解析】(1)答案不唯一,如,
验证:===5;
(2)规律:=n(n为正整数,n≥2),
证明:===n. 二次根式的乘除(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的乘法运算
1.下列计算结果是的是(D)
A.× B.×
C.× D.×
2.下列各等式成立的是(D)
A.4×2=8 B.4×3=12
C.3×4=7 D.4×2=8
3.(2024·临汾期中)计算:×= 4 .
4.若一个长方形的长为2 cm,宽为2 cm,则它的面积为 12 cm2.
5.计算:
(1)×;
(2)5×(-3);
(3)×(-15)×(-).
【解析】(1)原式===5;
(2)原式=5×(-3)×
=-15×9=-135;
(3)原式=×2×15×=45.
知识点2 二次根式的化简
6.的计算结果是(B)
A.-5 B.5
C.-3 D.3
7.(2024·哈尔滨质检)计算:×= 4 .
8.化简:
(1);
(2)5;
(3)(a>0);
(4).
【解析】(1)==×=2;
(2)5=5×2=10;
(3)=5a;
(4)原式=××=3×8×=24.
知识点3 二次根式的大小的比较
9.下列大小关系正确的是(D)
A.>2 B.2>3
C.-<- D.8<
10.比较大小:-2 > -3.(填“>”“<”或“=”)
【B层 能力进阶】
11.下列化简正确的是(B)
A.=×=6
B.=×=18
C.=+=
D.=×=
12.已知m=(-)×(-2),则m的值在(A)
A.5与6之间 B.-6与-5之间
C.4与5之间 D.-5与-4之间
13.观察数据并寻找规律:,-2,,-2,,…,则第2 024个数是(D)
A. B.-
C. D.-
14.(2024·西安期末)已知y=++9,则·的值为 6 .
15.比较大小: > .(填“>”“<”或“=”)
16.计算:(1);
(2)×(-)-+|-23|;
(3)·3(x≥0,y≥0,z≥0).
【解析】(1)原式==5.
(2)原式=-5-7+|-8|
=-5-7+8
=-5+1.
(3)·3=×3==xyz.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(推理能力、运算能力)
观察下列等式:
第1个等式:=,
第2个等式:=2,
第3个等式:=3,
第4个等式:=4,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)第6个等式: =6 ;
【解析】(1)由题干中所给等式可得第6个等式为:=6;
(2)计算:××;
【解析】(2)原式=19×20×
=19×20
=380;
(3)写出你猜想的第n个等式,并证明其正确性(用含n的式子表示);
【解析】(3)第n个等式为:=n,证明如下:
==·
=n;
(4)若=x符合此规律,请直接写出代数式a+b的值.
【解析】(4)=x,
即=x,
∵=x符合所得规律,
∴(a+1)2=196,b-2=+1=14+1=15,
解得a=13或-15,b=17,那么a+b=13+17=30或a+b=-15+17=2,
即a+b的值为2或30. 二次根式的乘除(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的除法运算
1.若=在实数范围内成立,则x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x≥4
C.0≤x<4 D.x>4
2.下列各式计算正确的是( )
A.÷=4 B.÷=
C.÷=5 D.÷=7
3.计算:= .
4.若一个长方形的长为 cm,面积为8 cm2,则它的宽为 cm(保留根式).
5.计算:(1);
(2)-÷;
(3)÷();
(4)3÷().
【解析】(1)原式===4;
(2)原式=-=-=-=-;
(3)原式=÷==3;
(4)原式=3÷()=(3÷)×(÷)=2==.
知识点2 二次根式的化简
6.下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A. B.2
C. D.
7.若是最简二次根式,则m的值可以是 .(写出一个即可)
8.判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由.
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6).
知识点3 二次根式的乘除混合运算
9.计算÷4×的结果是( )
A.1 B.3
C. D.3
10.计算:÷×= .
11.计算:(1)2×3÷.
(2)3×(-)÷(7).
【B层 能力进阶】
12.下列各式的化简正确的是( )
A.=·=(-2)×(-7)=14
B.==×=5
C.===
D.==
13.已知=a,=b,则用a,b表示为( )
A. B.
C. D.
14.若a>0,把化成最简二次根式为 .
15.化简:
(1);(2);(3).
16.定义:若两个二次根式m,n满足m·n=p,且p是有理数.则称m与n是关于p的和谐二次根式.
(1)若m与是关于6的和谐二次根式,求m的值;
(2)若2-与4+m是关于4的和谐二次根式,求m的值.
17.计算:(1)4÷2+;
(2)(-2 022)0+6×(-)+÷.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(推理能力、运算能力)先来看一个有趣的现象:===2,这里根号里的因数2经过适当的演变,2竟“跑”到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”,具有这一性质的数还有许多,如=3,=4等.
(1)请你写一个有“穿墙”现象的数,并验证;
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗 证明你找到的规律.
