二次根式的加减(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 被开方数相同的二次根式
1.下列二次根式中,能与合并的是(C)
A. B.
C. D.
2.若最简根式和的被开方数相同,则a+b的平方根是 ± .
知识点2 二次根式的加减运算
3.若3+可以合并为一项,则a可以是(C)
A.6 B.9
C.12 D.18
4.-的整数部分为(C)
A.2 B.3
C.4 D.5
5.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简式子+|b-|-(a+),结果为(C)
A.2a B.2b
C.-2a D.-2
6.计算:-= .
7.已知-=a-2=b,则ab= 15 .
8.计算:(1)3-5+4;
(2)+-;
(3)-2+-6;
(4) (-)-(-).
【解析】(1)原式=2;
(2)原式=6+-=+;
(3)原式=2-2×+×3-6×
=2-+-
=3-2;
(4)原式=3--+2=+.
9.已知二次根式,
(1)如果=5,求a的值;
【解析】(1)∵=5,
∴a+6=25,
∴a=19;
(2)已知为最简二次根式,且与能够合并.
①求a的值;
②求·.
【解析】(2)①∵=,为最简二次根式,且与能够合并,
∴a+6=10,∴a=4;
②·=·=.
【B层 能力进阶】
10.(2023·临沂中考)设m=5-,则实数m所在的范围是(B)
A.m<-5 B.-5C.-4-3
11.(2024·北京质检)下列各组的两个根式,化简后被开方数相同的是(B)
A.和 B.和-
C.和2 D.和
12.如图,从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形,则剩下阴影部分的面积为(A)
A.36 B.24
C.18 D.12
13.先化简-(-),再求得它的近似值为 5.20 .
(精确到0.01,≈1.414,≈1.732)
14.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B,点A表示的数为-,设点B所表示的数为m,则|m-1|+= +3 .
15.计算:(1) (-2)- (-);
【解析】(1)原式=(4-)-(-5)
=4--+5
=+;
(2)a-2a2+3.
【解析】(2)原式=2a-2a2·+3a
=2a-+3a
=(2a-+3a)
=·
=.
16.嘉淇准备完成题目“计算: (■-)-(-)”时,发现“■”处的数印刷不清楚.
(1)他把“■”处的数猜成6,请你计算(6-)-(-)的结果;
【解析】(1) (6-)- (-)
=6×-×3-+2
=-2-+2
=0;
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案是-.”通过计算说明原题中“■”是几.
【解析】(2)由题意可知,■×-×3-+2=-,
∴■×-2-+2=-,
∴■×=-,
∴■=-3.
17.若最简二次根式与的被开方数相同,求+-1的值.
【解析】∵最简二次根式与的被开方数相同,
∴,解得,
∴+-1
=+-1
=1+-1=.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(推理能力、运算能力)小明家装修,电视背景墙长BC为 m,宽AB为 m,中间要镶一个长为2 m,宽为 m的大理石图案(图中阴影部分).
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)除去大理石图案部分,其他部分贴壁布,若壁布造价为6元/m2,大理石的造价为200元/m2,则装修整个电视背景墙需要花费多少元 (结果化为最简二次根式)
【解析】(1)长方形ABCD的周长为2(BC+AB)=2=(m).
(2)长方形ABCD的面积:×=3×2=6,
大理石的面积:2×=2,
壁布的面积:6-2=4,
装修整个电视背景墙需要的总费用:6×4+200×2=24+400=424(元). 二次根式的加减(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 被开方数相同的二次根式
1.下列二次根式中,能与合并的是( )
A. B.
C. D.
2.若最简根式和的被开方数相同,则a+b的平方根是 .
知识点2 二次根式的加减运算
3.若3+可以合并为一项,则a可以是( )
A.6 B.9
C.12 D.18
4.-的整数部分为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简式子+|b-|-(a+),结果为( )
A.2a B.2b
C.-2a D.-2
6.计算:-= .
7.已知-=a-2=b,则ab= .
8.计算:(1)3-5+4;
(2)+-;
(3)-2+-6;
(4) (-)-(-).
9.已知二次根式,
(1)如果=5,求a的值;
(2)已知为最简二次根式,且与能够合并.
①求a的值;
②求·.
【B层 能力进阶】
10.(2023·临沂中考)设m=5-,则实数m所在的范围是( )
A.m<-5 B.-5C.-4-3
11.(2024·北京质检)下列各组的两个根式,化简后被开方数相同的是( )
A.和 B.和-
C.和2 D.和
12.如图,从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形,则剩下阴影部分的面积为( )
A.36 B.24
C.18 D.12
13.先化简-(-),再求得它的近似值为 .
(精确到0.01,≈1.414,≈1.732)
14.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B,点A表示的数为-,设点B所表示的数为m,则|m-1|+= .
15.计算:(1) (-2)- (-);
(2)a-2a2+3.
16.嘉淇准备完成题目“计算: (■-)-(-)”时,发现“■”处的数印刷不清楚.
(1)他把“■”处的数猜成6,请你计算(6-)-(-)的结果;
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案是-.”通过计算说明原题中“■”是几.
17.若最简二次根式与的被开方数相同,求+-1的值.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(推理能力、运算能力)小明家装修,电视背景墙长BC为 m,宽AB为 m,中间要镶一个长为2 m,宽为 m的大理石图案(图中阴影部分).
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)除去大理石图案部分,其他部分贴壁布,若壁布造价为6元/m2,大理石的造价为200元/m2,则装修整个电视背景墙需要花费多少元 (结果化为最简二次根式)二次根式的加减(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的混合运算
1.(2023·重庆中考B卷)估计×(-)的值应在( )
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
2.小明的计算过程如下所示,则他开始出现错误的是( )
解:×2-÷
=2- ……第一步
=2- ……第二步
= ……第三步
= ……第四步
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
3.化简×的结果为 .
4.计算: (-)÷= .
5.计算:(1)+|-2|+2 0230-(-1)2 025.
(2)+-×.
知识点2 与二次根式有关的求值问题
6.已知a=+2,b=-2,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.若x=+1,则式子x2-2x+2的值为 .
8.已知x=2-,y=2+,求下列式子的值:
(1)+;
(2)2x2-xy+2y2.
9.如图,长方形ABCD的长为2+,宽为2-.
(1)长方形ABCD的周长是多少
(2)在长方形ABCD内部挖去一个边长为-的正方形,求剩余部分的面积.
【B层 能力进阶】
10.估计×+×2的值在数轴上最可能表示的点是( )
A.A B.B C.C D.D
11.如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形,已知小长方形的长为,宽为,下列对大长方形的判断不正确的是( )
A.大长方形的长为8
B.大长方形的宽为6
C.大长方形的周长为14
D.大长方形的面积为96
12.若3-的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+a)·b的值是 .
13.(2023·潍坊中考)从-,,中任意选择两个数,分别填在算式(□+○)2÷里面的“□”与“○”中,计算该算式的结果是 .(只需写出一种结果)
14.在解决问题“已知a=,求3a2-6a-1的值”时,小明是这样解答的:
∵a===+1,
∴a-1=,
∴(a-1)2=2,a2-2a+1=2,
∴a2-2a=1,
∴3a2-6a=3,3a2-6a-1=2.
请你根据小明的解答过程,解决如下问题:
(1)化简:;
(2)若a=,求3a2-18a+1的值.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、运算能力、模型观念)观察下列各式及验证过程,并解决问题.
=,
验证:===;
=,
验证:===;
=,
验证:===.
(1)按照上述三个等式及其验证过程,猜想= ;
(2)按照上述三个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;
(3)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为正整数)表示的等式,并进行验证.二次根式的加减(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的混合运算
1.(2023·重庆中考B卷)估计×(-)的值应在(A)
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
2.小明的计算过程如下所示,则他开始出现错误的是(C)
解:×2-÷
=2- ……第一步
=2- ……第二步
= ……第三步
= ……第四步
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
3.化简×的结果为 +1 .
4.计算: (-)÷= - .
5.计算:(1)+|-2|+2 0230-(-1)2 025.
(2)+-×.
【解析】(1)原式=+2-+1+1
=+2-+1+1
=4.
(2)原式=3-6+9+2-3
=12-7.
知识点2 与二次根式有关的求值问题
6.已知a=+2,b=-2,则的值为(A)
A.0 B.1 C.2 D.3
7.若x=+1,则式子x2-2x+2的值为 3 .
8.已知x=2-,y=2+,求下列式子的值:
(1)+;
(2)2x2-xy+2y2.
【解析】∵x=2-,y=2+,
∴x+y=4,xy=1.
(1)+==4;
(2)2x2-xy+2y2
=2(x2+y2)-xy
=2(x+y)2-5xy
=2×42-5=27.
9.如图,长方形ABCD的长为2+,宽为2-.
(1)长方形ABCD的周长是多少
【解析】(1)长方形ABCD的周长为:
2×[(2+)+(2-)]
=2×(2++2-)
=2×4
=8;
(2)在长方形ABCD内部挖去一个边长为-的正方形,求剩余部分的面积.
【解析】(2)剩余部分的面积为:
(2+)×(2-)-
=--[-2×+]
=24-5-(6-2+5)
=19-(11-2)
=19-11+2
=8+2.
【B层 能力进阶】
10.估计×+×2的值在数轴上最可能表示的点是(D)
A.A B.B C.C D.D
11.如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形,已知小长方形的长为,宽为,下列对大长方形的判断不正确的是(C)
A.大长方形的长为8
B.大长方形的宽为6
C.大长方形的周长为14
D.大长方形的面积为96
12.若3-的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+a)·b的值是 2 .
13.(2023·潍坊中考)从-,,中任意选择两个数,分别填在算式(□+○)2÷里面的“□”与“○”中,计算该算式的结果是 -2(或4-2或+6) .(只需写出一种结果)
14.在解决问题“已知a=,求3a2-6a-1的值”时,小明是这样解答的:
∵a===+1,
∴a-1=,
∴(a-1)2=2,a2-2a+1=2,
∴a2-2a=1,
∴3a2-6a=3,3a2-6a-1=2.
请你根据小明的解答过程,解决如下问题:
(1)化简:;
(2)若a=,求3a2-18a+1的值.
【解析】(1)===3+;
(2)∵a====3-2,
∴a-3=-2,
∴(a-3)2=a2-6a+9=8,
∴a2-6a=-1,
∴3a2-18a+1=3(a2-6a)+1=-3+1=-2.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、运算能力、模型观念)观察下列各式及验证过程,并解决问题.
=,
验证:===;
=,
验证:===;
=,
验证:===.
(1)按照上述三个等式及其验证过程,猜想= ;
(2)按照上述三个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;
(3)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为正整数)表示的等式,并进行验证.
【解析】(1)猜想:=,
验证:===;
(2)猜想:=,
验证:===;
(3)=,
验证:===.
