勾股定理的逆定理
【A层 基础夯实】
知识点1 互逆命题和互逆定理
1.下列命题的逆命题是真命题的为(B)
A.若a=b,则|a|=|b|
B.如果x=y,那么=
C.对顶角相等
D.若a>0,b>0,则a+b>0
2.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 .
3.写出下列各命题的逆命题,并判断原命题和逆命题是不是互逆定理.
(1)同位角相等;
(2)全等三角形的对应角相等.
【解析】(1)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是同位角;
由于原命题及逆命题均为假命题,因此原命题和逆命题不是互逆定理;
(2)逆命题是:如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形是全等三角形.
由于逆命题为假命题.因此原命题和逆命题不是互逆定理.
知识点2 勾股数
4.(2024·合肥期中)下列3个数能成为勾股数的是(D)
A.6,8,9 B.1,,
C.7,15,17 D.5,12,13
5.勾股定理是一个基本的几何定理,早在我国西汉时期的《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数,这样的直角三角形叫“整数直角三角形”,这三个整数叫做一组“勾股数”.值得自豪的是,世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国的《九章算术》中.
【探究】观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且当勾为3时,股4=×(9-1),弦5=×(9+1);当勾为5时,股12=×(25-1),弦13=×(25+1);
请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:
(1)如果勾为7,则股24= ×(49-1) ;
弦25= ×(49+1) .
(2)如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾,请用含有n的式子表示股和弦,则股= (n2-1) ,弦= (n2+1) .
知识点3 勾股定理的逆定理以及应用
6.由下列长度的三条线段组成的三角形不是直角三角形的是(B)
A.1,,2 B.2,3,5
C.1.5,2,2.5 D.6,8,10
7.如图,甲、乙两艘轮船同时从港口O出发,甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行,乙轮船向南偏西45°方向航行.已知它们离开港口O两小时后,两艘轮船相距60海里,则乙轮船2小时航行 20 海里,乙轮船平均每小时航行 10 海里.
8.(2024·齐齐哈尔期末)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=90°,CB=12,CD=3, AD=4,AB=13.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)△ABC是直角三角形,理由如下:
如题图,在Rt△ADC中,AC===5,
又∵52+122=169=132,∴AC2+CB2=BA2.
∴△ABC是直角三角形.
(2)由(1)得=×3×4+×12×5=36.
【B层 能力进阶】
9.已知△ABC的三边分别为a,b,c,当三角形的边,角满足下列关系,不能判定△ABC是直角三角形的是(C)
A.a2-b2=c2
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a∶b∶c=1∶2∶3
D.a=b=c
10.(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是(C)
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
11.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .
12.如图,一块四边形ABCD,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为 24m2 .
13.定义:a,b,c为正整数,若c2=a2+b2,则称c为“完美勾股数”,a,b为c的“伴侣勾股数”.如132=52+122,则13是“完美勾股数”,5,12是13的“伴侣勾股数”.
(1)数10 是 “完美勾股数”(填“是”或“不是”);
【解析】(1)∵102=62+82,∴数10是“完美勾股数”;
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.求证:c是“完美勾股数”.
【解析】(2)∵a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0,
∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0,
∴a=3,b=4,c=5,∴c2=a2+b2,
∴c是“完美勾股数”.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、运算能力、应用意识)在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上,在救助船B的西南方向上,且事故渔船P与救助船A相距120海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离;
【解析】(1)如图,作PC⊥AB于C,则∠PCA=∠PCB=90°,
由题意得:PA=120海里,∠A=30°,∠PBC=45°,
∴PC=PA=60海里,△BCP是等腰直角三角形,
∴BC=PC=60海里,PB==60(海里),
答:收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60 海里;
(2)若救助船A,B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.
【解析】(2)∵PA=120海里,PB=60 海里,救助船A,B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发,∴救助船A所用的时间为=3(小时),
救助船B所用的时间为=2(小时),
∵3>2,∴救助船B先到达. 勾股定理的逆定理
【A层 基础夯实】
知识点1 互逆命题和互逆定理
1.下列命题的逆命题是真命题的为( )
A.若a=b,则|a|=|b|
B.如果x=y,那么=
C.对顶角相等
D.若a>0,b>0,则a+b>0
2.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 .
3.写出下列各命题的逆命题,并判断原命题和逆命题是不是互逆定理.
(1)同位角相等;
(2)全等三角形的对应角相等.
知识点2 勾股数
4.(2024·合肥期中)下列3个数能成为勾股数的是( )
A.6,8,9 B.1,,
C.7,15,17 D.5,12,13
5.勾股定理是一个基本的几何定理,早在我国西汉时期的《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数,这样的直角三角形叫“整数直角三角形”,这三个整数叫做一组“勾股数”.值得自豪的是,世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国的《九章算术》中.
【探究】观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且当勾为3时,股4=×(9-1),弦5=×(9+1);当勾为5时,股12=×(25-1),弦13=×(25+1);
请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:
(1)如果勾为7,则股24= ;
弦25= .
(2)如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾,请用含有n的式子表示股和弦,则股= ,弦= .
知识点3 勾股定理的逆定理以及应用
6.由下列长度的三条线段组成的三角形不是直角三角形的是( )
A.1,,2 B.2,3,5
C.1.5,2,2.5 D.6,8,10
7.如图,甲、乙两艘轮船同时从港口O出发,甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行,乙轮船向南偏西45°方向航行.已知它们离开港口O两小时后,两艘轮船相距60海里,则乙轮船2小时航行 海里,乙轮船平均每小时航行 海里.
8.(2024·齐齐哈尔期末)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=90°,CB=12,CD=3, AD=4,AB=13.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求四边形ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
9.已知△ABC的三边分别为a,b,c,当三角形的边,角满足下列关系,不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A.a2-b2=c2
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a∶b∶c=1∶2∶3
D.a=b=c
10.(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
11.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .
12.如图,一块四边形ABCD,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为 .
13.定义:a,b,c为正整数,若c2=a2+b2,则称c为“完美勾股数”,a,b为c的“伴侣勾股数”.如132=52+122,则13是“完美勾股数”,5,12是13的“伴侣勾股数”.
(1)数10 “完美勾股数”(填“是”或“不是”);
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.求证:c是“完美勾股数”.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、运算能力、应用意识)在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上,在救助船B的西南方向上,且事故渔船P与救助船A相距120海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离;
(2)若救助船A,B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.
