广东省深圳市新安中学(集团)燕川中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
1．（2024高二下·深圳月考）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．20种 D．36种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：依题意，不同的选法共有种.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和分类加法计数原理，从而得出不同的选法种数.
2．（2024高二下·深圳月考）若函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数，求导得，
当时，，所以.
故答案为：A.
【分析】先求出函数的导数，再赋值计算得出的值.
3．（2024高二下·深圳月考）若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
【分析】本题考查函数的恒成立问题，利用基本不等式求最值.根据单调递增可得：，进而可推出对任意恒成立，分离常数可得：恒成立，再利用基本不等式进行计算可求出的取值范围.
4．（2024高二下·深圳月考）若函数在处取得极值1，则（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意，，
在中，，
因为函数在处取得极值1，
∴，解得：，经检验满足题意，
∴.
故答案为：D.
【分析】通过导数求极值点和极值的方法，从而得出和的值，进而求出的值.
5．（2024高二下·深圳月考）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为这2个新节目插入节目单中且不相邻，
所以在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有种插法.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和插空法，再结合排列数公式得出不同的插法种数.
6．（2024高二下·深圳月考）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．60 B．-60 C．12 D．-12
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为展开式的通项为
则含的项为，故含项的系数为60.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，从而得出项的系数.
7．（2024高二下·深圳月考）函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为定义域为，关于原点对称，
又因为，
∴函数是偶函数，故排除选项A和选项C；
当时，，，∴，故排除选项B．
故答案为：D．
【分析】根据偶函数的定义判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和特殊区间的函数的值域，则由排除法找出函数的部分大致图象．
8．（2024高二下·深圳月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
当时，单调递减，，，，
因为，所以，即.
故答案为：A．
【分析】根据实数的结构形式，从而构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性进行大小比较，从而得出a，b，c的大小关系．
9．（2024高二下·深圳月考）下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】 解： A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误；
故选：BC.
【分析】根据函数求导规则进行求导即可.
10．（2024高二下·深圳月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有个极大值点 B．在处取得极大值
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于A，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在右侧附近单调递减，
所以，在及处取得极大值，故A错误、B正确；
当时，，且不恒为零，则单调递增，且，
则，故C正确；
当时，，单调递减，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用极值点的定义，则可判断选项A和选项B；利用函数的单调性可判断选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二下·深圳月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
令可得，
令可得①，
所以，故A正确；
令可得②，
①②得，故B错误；
①②得，
又因为展开式的通项为（且），
所以，当为奇数时展开式系数为负数，当为偶数时展开式系数为正数，
即，，
所以
，故C正确；
将两边对求导可得：
，
再令可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和赋值法，则判断选项A、选项B和选项C；将式子两边对求导，再令，即可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·深圳月考）若，则 .
【答案】8
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：8.
【分析】根据已知条件和组合数公式、排列数公式，从而计算得出实数m的值.
13．（2024高二下·深圳月考）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】，因为函数在区间上单调递减，
所以，恒成立，
即，.
又在上单调递减，所以，
故，即，
所以m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，所以，恒成立，再结合不等式恒成立问题求解方法和函数求最值的方法得出实数m的取值范围。
14．（2024高二下·深圳月考）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
，故在单调递减，
又因为，由，得，
故，解得，即不等式的解集是.
故答案为：.
【分析】设，利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性得出不等式的解集.
15．（2024高二下·深圳月考）求等式中的值.
【答案】【解答】解：由，得，即，
因此，
显然，且，即，
则，
整理得，解得.
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】根据已知条件和组合数公式，从而解方程得出n的值.
16．（2024高二下·深圳月考）已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）解：当时，，求导得，则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，求导得，
当时，恒有，因此在上单调递增；
当时，由，得，单调递增，由，得，单调递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求导并写出x=1时的导数值与函数值，即可求出切线方程；
(2)求导得，对a的取值进行分类讨论，分和讨论函数的单调区间.
17．（2024高二下·深圳月考）在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：设的公差为，
则，
解得，
所以.
（2）解：由（1）知，
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义和等差数列的性质，从而得出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合裂项相消求和法得出数列的前项和.
（1）设的公差为，则，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
．
18．（2024高二下·深圳月考）如图，在三棱锥中，平面，平面平面．
（1）证明：；
（2）求锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：在三棱锥中，
由平面，且平面，
得，，
又因为平面平面，平面平面，平面
则平面，
又因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，、、两两垂直，
以点为坐标原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
显然，令，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
又因为平面的一个法向量为，
设锐二面角的大小为，
则，
所以锐二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的定义和面面垂直的性质定理，从而证出.
（2）根据已知条件建立空间坐标直角系，令，从而求出相关点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出锐二面角的余弦值．
（1）在三棱锥中，由平面，且平面，得，，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知，、、两两垂直，
以点为坐标原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
显然，令，
则，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
而平面的一个法向量为，设锐二面角的大小为，
则，
所以锐二面角的余弦值为.
19．（2024高二下·深圳月考）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程与离心率；
（2）已知斜率为的直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．
【答案】（1）解：由题意知焦点到渐近线的距离为，
则
因为一条渐近线方程为，所以，
又，解得，，
所以双曲线C的标准方程为，
离心率为．
（2）解：设直线l：，，，如图所示：
联立
则，
所以，
由
解得或（舍去），
所以，
l：，令，得，
所以的面积为 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，直线与双曲线的综合问题，考查考生的计算能力.
（1）根据已知条件建立关于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，然后代入离心率公式即可求解；
（2）设直线l：，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用伟大定理得到关于t的表达式，再利用，解出t的值，求得直线l的方程，进而即可求得：
的值.
1 / 1广东省深圳市新安中学(集团)燕川中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
1．（2024高二下·深圳月考）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．20种 D．36种
2．（2024高二下·深圳月考）若函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024高二下·深圳月考）若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·深圳月考）若函数在处取得极值1，则（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．2
5．（2024高二下·深圳月考）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
6．（2024高二下·深圳月考）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．60 B．-60 C．12 D．-12
7．（2024高二下·深圳月考）函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·深圳月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·深圳月考）下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·深圳月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有个极大值点 B．在处取得极大值
C． D．
11．（2024高二下·深圳月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·深圳月考）若，则 .
13．（2024高二下·深圳月考）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 ．
14．（2024高二下·深圳月考）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是 ．
15．（2024高二下·深圳月考）求等式中的值.
16．（2024高二下·深圳月考）已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间.
17．（2024高二下·深圳月考）在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（2024高二下·深圳月考）如图，在三棱锥中，平面，平面平面．
（1）证明：；
（2）求锐二面角的余弦值．
19．（2024高二下·深圳月考）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程与离心率；
（2）已知斜率为的直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：依题意，不同的选法共有种.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和分类加法计数原理，从而得出不同的选法种数.
2．【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数，求导得，
当时，，所以.
故答案为：A.
【分析】先求出函数的导数，再赋值计算得出的值.
3．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
【分析】本题考查函数的恒成立问题，利用基本不等式求最值.根据单调递增可得：，进而可推出对任意恒成立，分离常数可得：恒成立，再利用基本不等式进行计算可求出的取值范围.
4．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意，，
在中，，
因为函数在处取得极值1，
∴，解得：，经检验满足题意，
∴.
故答案为：D.
【分析】通过导数求极值点和极值的方法，从而得出和的值，进而求出的值.
5．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为这2个新节目插入节目单中且不相邻，
所以在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有种插法.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和插空法，再结合排列数公式得出不同的插法种数.
6．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为展开式的通项为
则含的项为，故含项的系数为60.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，从而得出项的系数.
7．【答案】D
【知识点】函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为定义域为，关于原点对称，
又因为，
∴函数是偶函数，故排除选项A和选项C；
当时，，，∴，故排除选项B．
故答案为：D．
【分析】根据偶函数的定义判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和特殊区间的函数的值域，则由排除法找出函数的部分大致图象．
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
当时，单调递减，，，，
因为，所以，即.
故答案为：A．
【分析】根据实数的结构形式，从而构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性进行大小比较，从而得出a，b，c的大小关系．
9．【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】 解： A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误；
故选：BC.
【分析】根据函数求导规则进行求导即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于A，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在右侧附近单调递减，
所以，在及处取得极大值，故A错误、B正确；
当时，，且不恒为零，则单调递增，且，
则，故C正确；
当时，，单调递减，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用极值点的定义，则可判断选项A和选项B；利用函数的单调性可判断选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
令可得，
令可得①，
所以，故A正确；
令可得②，
①②得，故B错误；
①②得，
又因为展开式的通项为（且），
所以，当为奇数时展开式系数为负数，当为偶数时展开式系数为正数，
即，，
所以
，故C正确；
将两边对求导可得：
，
再令可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和赋值法，则判断选项A、选项B和选项C；将式子两边对求导，再令，即可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】8
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：8.
【分析】根据已知条件和组合数公式、排列数公式，从而计算得出实数m的值.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】，因为函数在区间上单调递减，
所以，恒成立，
即，.
又在上单调递减，所以，
故，即，
所以m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，所以，恒成立，再结合不等式恒成立问题求解方法和函数求最值的方法得出实数m的取值范围。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
，故在单调递减，
又因为，由，得，
故，解得，即不等式的解集是.
故答案为：.
【分析】设，利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性得出不等式的解集.
15．【答案】【解答】解：由，得，即，
因此，
显然，且，即，
则，
整理得，解得.
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】根据已知条件和组合数公式，从而解方程得出n的值.
16．【答案】（1）解：当时，，求导得，则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，求导得，
当时，恒有，因此在上单调递增；
当时，由，得，单调递增，由，得，单调递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求导并写出x=1时的导数值与函数值，即可求出切线方程；
(2)求导得，对a的取值进行分类讨论，分和讨论函数的单调区间.
17．【答案】（1）解：设的公差为，
则，
解得，
所以.
（2）解：由（1）知，
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义和等差数列的性质，从而得出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合裂项相消求和法得出数列的前项和.
（1）设的公差为，则，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
．
18．【答案】（1）证明：在三棱锥中，
由平面，且平面，
得，，
又因为平面平面，平面平面，平面
则平面，
又因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，、、两两垂直，
以点为坐标原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
显然，令，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
又因为平面的一个法向量为，
设锐二面角的大小为，
则，
所以锐二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的定义和面面垂直的性质定理，从而证出.
（2）根据已知条件建立空间坐标直角系，令，从而求出相关点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出锐二面角的余弦值．
（1）在三棱锥中，由平面，且平面，得，，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知，、、两两垂直，
以点为坐标原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
显然，令，
则，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
而平面的一个法向量为，设锐二面角的大小为，
则，
所以锐二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：由题意知焦点到渐近线的距离为，
则
因为一条渐近线方程为，所以，
又，解得，，
所以双曲线C的标准方程为，
离心率为．
（2）解：设直线l：，，，如图所示：
联立
则，
所以，
由
解得或（舍去），
所以，
l：，令，得，
所以的面积为 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，直线与双曲线的综合问题，考查考生的计算能力.
（1）根据已知条件建立关于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，然后代入离心率公式即可求解；
（2）设直线l：，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用伟大定理得到关于t的表达式，再利用，解出t的值，求得直线l的方程，进而即可求得：
的值.
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