16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解分式方程的概念,能区分整式方程与分式方程 模型观念
2.概括解分式方程的步骤,能解可化为一元一次方程的分式方程 运算能力
3.理解增根产生的原因,掌握验根的方法 推理能力、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.分式方程 方程中含有分式,并且分母中含有 未知数 的方程. 1.下列方程中,是分式方程的是(D) A.+=3 B.x-4y=7 C.2x=3(x-5) D.=1
2.解分式方程 (1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为 整式方程 ,具体做法是“ 去分母 ”,即方程两边乘 最简公分母 . (2)检验:把整式方程的解代入 最简公分母 ,如果最简公分母的值不为 0 ,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 2.(1)解分式方程=-3时,去分母正确的是(C) A.2x=3-3x+3 B.2x=3-6x-6 C.2x=3-6x+6 D.2x=3-6x+2 (2)方程+=0的解为 x=-1 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】解分式方程(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P14例1拓展)解方程:
(1)=;
(2)=+1.
【自主解答】(1)去分母,得x-3=4x,
移项,合并同类项,得3x=-3,
系数化为1,得x=-1,
经检验,x=-1是原分式方程的解,故原方程的解为x=-1;
(2)去分母,得x+1=3-x+x-1,
移项,合并同类项,得x=1,
经检验,x=1是原分式方程的增根,故原方程无解.
【举一反三】
1.(2024·大连模拟)解方程-2=去分母,两边同乘(x-1)后的式子为(B)
A.1-2=-3x
B.1-2(x-1)=-3x
C.1-2(1-x)=-3x
D.1-2(x-1)=3x
2.(2024·成都模拟)分式方程-=1的解是 x=-2 .
【重点2】根据分式方程根的情况求参数(运算能力、推理能力)
【典例2】(1)已知关于x的分式方程+=1.
①当a=5时,求方程的解;
②若该方程有增根,求a的值.
(2)关于x的方程+=2有整数解,求m的值.
【自主解答】(1)①当a=5时,分式方程为+=1,去分母,得5-3=x-1,解得x=3,检验:当x=3时,x-1≠0,∴x=3是原分式方程的解;
②把+=1,去分母得a-3=x-1,
解得x=a-2,∵分式方程的增根是x=1,
∴a-2=1,解得a=3.
(2)+=2,去分母,得mx-1-1=2(x-2),解得x=,∵方程有整数解,∴2-m=±1或2-m=±2且≠2,
解得m=1或3或0或4且m≠1,
∴m=3或0或4.
【举一反三】
1.(2024·西安期末)若关于x的方程=1有增根,则m的值是(A)
A.- B.1 C.-或1 D.0或1
2.若关于x的分式方程=1-无解,则m= 1 .
3.(2024·日照期末)已知关于x的分式方程+=2的解为正数,则a的取值范围是 a<8且a≠-1 .
【技法点拨】
分式方程的增根
(1)增根:化为整式方程后产生的使分式方程的最简公分母为0的根.
(2)增根问题可按如下步骤进行:
①化分式方程为整式方程;
②让最简公分母为0确定未知数的值;
③把未知数的值代入整式方程即可求得相关字母的值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)给出下列关于x的方程:
①=5,②=,③=x-1,④=.其中,分式方程有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(4分·运算能力)已知关于x的方程=的解是x=-2,则a的值为(B)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.(4分·运算能力、推理能力)若关于x的分式方程=2的解为非正数,则k的取值范围为 k≤3且k≠1 .
4.(8分·运算能力)小江解方程+1=的过程如图.请指出解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.
x-2+1=3…① x-1=3…② x=4…③ 经检验,x=4是原方程的解.
【解析】错误的步骤是①,
正确的解答过程如下:
x-2+x-3=-3,
2x=-3+2+3,
2x=2,
x=1,
检验:当x=1时,x-3≠0,
所以原分式方程的解是x=1.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 五”16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解分式方程的概念,能区分整式方程与分式方程 模型观念
2.概括解分式方程的步骤,能解可化为一元一次方程的分式方程 运算能力
3.理解增根产生的原因,掌握验根的方法 推理能力、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.分式方程 方程中含有分式,并且分母中含有 的方程. 1.下列方程中,是分式方程的是( ) A.+=3 B.x-4y=7 C.2x=3(x-5) D.=1
2.解分式方程 (1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为 ,具体做法是“ ”,即方程两边乘 . (2)检验:把整式方程的解代入 ,如果最简公分母的值不为 ,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 2.(1)解分式方程=-3时,去分母正确的是( ) A.2x=3-3x+3 B.2x=3-6x-6 C.2x=3-6x+6 D.2x=3-6x+2 (2)方程+=0的解为 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】解分式方程(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P14例1拓展)解方程:
(1)=;
(2)=+1.
【举一反三】
1.(2024·大连模拟)解方程-2=去分母,两边同乘(x-1)后的式子为( )
A.1-2=-3x
B.1-2(x-1)=-3x
C.1-2(1-x)=-3x
D.1-2(x-1)=3x
2.(2024·成都模拟)分式方程-=1的解是 .
【重点2】根据分式方程根的情况求参数(运算能力、推理能力)
【典例2】(1)已知关于x的分式方程+=1.
①当a=5时,求方程的解;
②若该方程有增根,求a的值.
(2)关于x的方程+=2有整数解,求m的值.
【举一反三】
1.(2024·西安期末)若关于x的方程=1有增根,则m的值是( )
A.- B.1 C.-或1 D.0或1
2.若关于x的分式方程=1-无解,则m= .
3.(2024·日照期末)已知关于x的分式方程+=2的解为正数,则a的取值范围是 .
【技法点拨】
分式方程的增根
(1)增根:化为整式方程后产生的使分式方程的最简公分母为0的根.
(2)增根问题可按如下步骤进行:
①化分式方程为整式方程;
②让最简公分母为0确定未知数的值;
③把未知数的值代入整式方程即可求得相关字母的值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)给出下列关于x的方程:
①=5,②=,③=x-1,④=.其中,分式方程有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(4分·运算能力)已知关于x的方程=的解是x=-2,则a的值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.(4分·运算能力、推理能力)若关于x的分式方程=2的解为非正数,则k的取值范围为 .
4.(8分·运算能力)小江解方程+1=的过程如图.请指出解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.
x-2+1=3…① x-1=3…② x=4…③ 经检验,x=4是原方程的解.16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握列分式方程解应用题的具体步骤 模型观念、应用意识
2.运用分式方程解决实际问题 运算能力、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.某校学生去距离学校12 km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,汽车的速度是(D) A.0.2 km/min B.0.3 km/min C.0.4 km/min D.0.6 km/min 2.某市为了构建城市立体交通网络,决定修建一条轻轨铁路,为使工程提前半年完成,需将工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要 30 个月.
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】列分式方程解决工程问题(运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P15例3拓展)为保障水果种植基地用水,现要修建灌溉水渠.计划修建灌溉水渠1 650米,由甲、乙两个施工队合作完成.乙施工队每天比甲施工队多修建30米,甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的.
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米;
(2)已知甲施工队每天的修建费用为9万元,乙施工队每天的修建费用为12万元,若先由甲施工队单独修建若干天,再由甲、乙两个施工队合作修建,恰好14天完成修建任务,求共需修建费用多少万元.
【自主解答】(1)设甲施工队每天修建x米,则乙施工队每天修建(x+30)米,根据题意,得×=,解得x=60,
经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意,60+30=90(米).
答:甲施工队每天修建60米,乙施工队每天修建90米;
(2)设先由甲施工队单独修建m天,根据题意,得60m+(60+90)(14-m)=1 650,解得m=5,∴总修建费用为9×14+12×(14-5)=234(万元).
答:共需修建费用234万元.
【举一反三】
1.甲、乙两人每小时一共可做30个电器零件,两人同时开始工作,当甲做了90个零件时乙做了60个零件,设甲每小时能做x个零件,根据题意可列分式方程为(B)
A.= B.=
C.= D.=
2.某县为改善居民生活质量,计划对某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工,则恰好在规定时间内完成;若由乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙两队先合作施工15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天
(2)为了缩短工期,减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成,则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天
【解析】(1)设这项工程的规定时间是x天,则甲队单独施工需要x天完工,乙队单独施工需要1.5x天完工,
依题意,得+=1,解得x=30,
经检验,x=30是原方程的解,且符合题意.
答:这项工程的规定时间是30天.
(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工,乙队单独施工需要45天完工,
1÷=18(天).
答:甲、乙两队合作完成该工程需要18天.
【技法点拨】
1.工作量:
(1)通常把总工作量看成单位“1”.
(2)每一部分的工作量=工作效率×工作时间.
2.等量关系:每人完成的工作量之和=总工作量.
【重点2】分式方程解决行程问题(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P16练习T3拓展)(2023·广东中考)某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.
【自主解答】设乙同学骑自行车的速度为x km/h,则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h,根据题意得-=,
解得x=12.经检验,x=12是原分式方程的解,且符合题意.
答:乙同学骑自行车的速度为12 km/h.
【举一反三】
1.某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路,感悟革命精神”的党员主题实践活动,全程80千米.学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地,因堵车大巴车晚到,推迟了10分钟出发,途中大巴车平均每小时比原计划多走20%,结果正好按原计划到达目的地.设大巴车原计划的平均速度为x千米/时,则可列方程为(D)
A.=+
B.=-
C.=+10
D.=+
2.(2024·鞍山模拟)“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观,学生们步行出发,1小时后,孔子乘牛车出发,牛车的速度是步行速度的1.5倍,若孔子和学生们同时到达书院,设学生们步行的速度为每小时x公里,则可列方程为 =+1 .
3.(2024·运城模拟)无人机除军事用途外,还因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势,使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用也极为广泛.某科研小组的同学发现,“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍,“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟,求“信鸽”仿生飞行器的时速.
【解析】设“云鸮”仿生飞行器的时速为x千米,则“信鸽”仿生飞行器的时速为1.5x千米,
由题意得,-=,
解得x=20,
经检验,x=20是原方程的解,且符合题意,
∴1.5x=1.5×20=30,
答:“信鸽”仿生飞行器的时速为30千米.
【技法点拨】
行程问题的三种时间关系
1.甲早走同时到:时间差=早走时间.
2.甲早走早到:时间差=早走时间-早到时间.
3.甲早走晚到:时间差=早走时间+晚到时间.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念、应用意识)(2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是(C)
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.-=10
2.(4分·模型观念、应用意识)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市,需要的时间比规定时间多1天;如果用快马送,所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为×2=,其中x表示(C)
A.快马的速度 B.慢马的速度
C.规定时间 D.以上都不对
3.(4分·模型观念、应用意识)某种罐装凉茶一箱的价格为84元,某商场实行促销活动,买一箱送四罐,每罐的价格比原来便宜0.5元,设每箱中有凉茶x罐,则可列方程: -=0.5 .
4.(8分·运算能力、应用意识)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg,A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等,求A型机器人每小时搬运多少化工原料.
【解析】设B型机器人每小时搬运x kg化工原料,则A型机器人每小时搬运(x+30)kg化工原料,根据题意得,=,解得x=60,
经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意,
∴x+30=60+30=90(kg).
答:A型机器人每小时搬运90 kg化工原料.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 六”16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握列分式方程解应用题的具体步骤 模型观念、应用意识
2.运用分式方程解决实际问题 运算能力、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.某校学生去距离学校12 km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,汽车的速度是( ) A.0.2 km/min B.0.3 km/min C.0.4 km/min D.0.6 km/min 2.某市为了构建城市立体交通网络,决定修建一条轻轨铁路,为使工程提前半年完成,需将工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要 个月.
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】列分式方程解决工程问题(运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P15例3拓展)为保障水果种植基地用水,现要修建灌溉水渠.计划修建灌溉水渠1 650米,由甲、乙两个施工队合作完成.乙施工队每天比甲施工队多修建30米,甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的.
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米;
(2)已知甲施工队每天的修建费用为9万元,乙施工队每天的修建费用为12万元,若先由甲施工队单独修建若干天,再由甲、乙两个施工队合作修建,恰好14天完成修建任务,求共需修建费用多少万元.
【举一反三】
1.甲、乙两人每小时一共可做30个电器零件,两人同时开始工作,当甲做了90个零件时乙做了60个零件,设甲每小时能做x个零件,根据题意可列分式方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
2.某县为改善居民生活质量,计划对某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工,则恰好在规定时间内完成;若由乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙两队先合作施工15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天
(2)为了缩短工期,减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成,则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天
【技法点拨】
1.工作量:
(1)通常把总工作量看成单位“1”.
(2)每一部分的工作量=工作效率×工作时间.
2.等量关系:每人完成的工作量之和=总工作量.
【重点2】分式方程解决行程问题(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P16练习T3拓展)(2023·广东中考)某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.
【举一反三】
1.某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路,感悟革命精神”的党员主题实践活动,全程80千米.学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地,因堵车大巴车晚到,推迟了10分钟出发,途中大巴车平均每小时比原计划多走20%,结果正好按原计划到达目的地.设大巴车原计划的平均速度为x千米/时,则可列方程为( )
A.=+
B.=-
C.=+10
D.=+
2.(2024·鞍山模拟)“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观,学生们步行出发,1小时后,孔子乘牛车出发,牛车的速度是步行速度的1.5倍,若孔子和学生们同时到达书院,设学生们步行的速度为每小时x公里,则可列方程为 .
3.(2024·运城模拟)无人机除军事用途外,还因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势,使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用也极为广泛.某科研小组的同学发现,“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍,“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟,求“信鸽”仿生飞行器的时速.
【技法点拨】
行程问题的三种时间关系
1.甲早走同时到:时间差=早走时间.
2.甲早走早到:时间差=早走时间-早到时间.
3.甲早走晚到:时间差=早走时间+晚到时间.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念、应用意识)(2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是( )
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.-=10
2.(4分·模型观念、应用意识)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市,需要的时间比规定时间多1天;如果用快马送,所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为×2=,其中x表示( )
A.快马的速度 B.慢马的速度
C.规定时间 D.以上都不对
3.(4分·模型观念、应用意识)某种罐装凉茶一箱的价格为84元,某商场实行促销活动,买一箱送四罐,每罐的价格比原来便宜0.5元,设每箱中有凉茶x罐,则可列方程: .
4.(8分·运算能力、应用意识)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg,A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等,求A型机器人每小时搬运多少化工原料.
