2.一次函数的图象
课时学习目标 素养目标达成
1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线,并能熟练地作出一次函数和正比例函数的图象 几何直观
2.会求一次函数与坐标轴的交点坐标,理解一次函数的图象之间的位置关系 运算能力、几何直观
3.会作出实际问题中的一次函数图象 几何直观、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点
1.函数的图象
函数 图象
一次函数 一条过点(0,b)和(-,0)的直线
正比例函数 一条过点( 0 , 0 )的直线
对点小练
1.一次函数y=-2x+1的图象大致是(C)
新知要点
2.函数图象的平移y=kxy=kx+b
(1)当b>0时, 向上平移 ;
y=2xy=2x+2;
(2)当b<0时, 向下平移 ;
y=xy=x-3.
对点小练
2.将直线y=-2x向下平移3个单位长度,得到一个一次函数的图象,这个一次函数的表达式是 y=-2x-3 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 一次函数的图象及平移(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P47例2拓展)
已知一次函数y=-x+1,它的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)画出此函数的图象;
(3)画出该函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象;
(4)写出一次函数y=-x+1的图象向下平移3个单位长度后所得图象对应的函数表达式.
【自主解答】(1)将y=0代入y=-x+1,
得-x+1=0,解得x=2,则点A的坐标为(2,0);
将x=0代入y=-x+1,得y=-×0+1=1,
则点B的坐标为(0,1).
答案:(2,0) (0,1)
(2)如图:
(3)将y=-x+1向下平移3个单位长度后得到的图象如图:
(4)将y=-x+1向下平移3个单位长度后得到y=-x-2.
【举一反三】
1.(2024·北京期中)一次函数y=-2x+4的图象大致是(C)
2.已知一次函数y=-2x+3.
(1)试判断点(,-4)与点(-,),是否在这个函数的图象上;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并回答:通过平移这个函数的图象,能否得到正比例函数y=-2x的图象 如果能,请直接写出平移方法,如果不能,请说明理由.
【解析】(1)当x=时,y=-2×+3=≠-4,
∴点(,-4)不在这个函数的图象上;
当x=-时,y=-2×(-)+3=,
∴点(-,)在这个函数的图象上.
(2)①列表;
x … 0 …
y … 0 3 …
②描点;
③连线.
向下平移3个单位长度(或向左平移个单位长度)就能得到正比例函数y=-2x的图象.
【技法点拨】
画一次函数图象的取点技巧
1.根据“两点确定一条直线”可知,画一次函数y=kx+b的图象时,只需描出两点即可,一般取直线与坐标轴的交点(0,b)和(-,0);
2.画正比例函数y=kx的图象时,只要确定除原点外的一个点即可,一般取点(1,k).
重点2 实际问题中的一次函数图象(几何直观、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P48例3拓展)
【情境描述】古人没有钟表,大多数时候,他们是以香燃烧的时间长短,来计量时刻的.实际上由于环境、风力、香的长短、香料干湿等诸多因素,一炷香的燃烧时间并不完全相同,但一般约为半个时辰,即一个小时.综合实践小组欲探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系.
【观察发现】小组成员准备了一柱长为20 cm的香,测量后发现,香燃烧时剩余长度随着燃烧时间的变化而变化,每燃烧一分钟,香的长度就减少0.4 cm.
【建立模型】(1)若用y(cm)表示香燃烧时剩余长度,用x(min)表示燃烧时间,请根据上述信息,求y关于x的函数表达式,并在图中画出部分函数图象;
【解决问题】(2)请你帮该小组算一算,经过多长时间,这柱香恰好燃烧完
【自主解答】(1)剩余长度与燃烧时间之间的关系为y=20-0.4x.
(2)根据函数的关系式可以看出剩余长度随着燃烧时间的增加而变短,
当y=0时,0=20-0.4x,x=50,
所以经过50 min这柱香恰好燃烧完.
【举一反三】
已知水池中有800立方米的水,每小时抽50立方米.
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(时)之间的函数表达式并画出图象;
(2)6小时后池中还有多少水
(3)几小时后,池中还有200立方米的水
【解析】(1)由题意得,Q=800-50t(0≤t≤16).
画出函数图象如图:
(2)当t=6时,Q=800-50t=800-50×6=500(立方米).
答:6小时后,池中还剩500立方米的水.
(3)当Q=200时,800-50t=200,解得t=12.
答:12小时后,池中还有200立方米的水.
【技法点拨】
根据实际问题画函数图象的注意事项
1.根据题意列出正确的函数表达式,然后画图象.
2.注意自变量的取值范围应符合实际.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)若m为常数且m<5,则一次函数y=(m-6)x+7-m的图象可能是(B)
2.(3分·几何直观、应用意识)小明用20元零花钱购买水果慰问老人,已知某水果价格是每千克4元,设买水果x千克,用去的钱为y元,用图象表示y与x的函数关系,其中正确的是(C)
3.(3分·几何直观)已知一次函数y=ax+b和y=cx+d.若a=c,bd<0,则一次函数的图象可能是(A)
4.(3分·几何直观)已知直线y=kx+b(k≠0)与直线y=3x-7平行,且将直线y=kx+b向下平移2个单位长度后得到直线y=ax-2(a≠0),则= 1 .
5.(8分·几何直观、运算能力)已知一次函数y=-2x-6.
(1)求y=-2x-6与x轴、y轴的交点A,B的坐标,并画出函数的图象;
(2)求△AOB的面积.
【解析】(1)当y=0时,-2x-6=0,解得x=-3,∴点A的坐标为(-3,0),
当x=0时,y=-6,∴点B的坐标为(0,-6),
函数图象如图所示:
(2)S△AOB=OA·OB=×|-3|×|-6|=9.2.一次函数的图象
课时学习目标 素养目标达成
1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线,并能熟练地作出一次函数和正比例函数的图象 几何直观
2.会求一次函数与坐标轴的交点坐标,理解一次函数的图象之间的位置关系 运算能力、几何直观
3.会作出实际问题中的一次函数图象 几何直观、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点
1.函数的图象
函数 图象
一次函数 一条过点(0,b)和(-,0)的直线
正比例函数 一条过点( , )的直线
对点小练
1.一次函数y=-2x+1的图象大致是( )
新知要点
2.函数图象的平移y=kxy=kx+b
(1)当b>0时, ;
y=2xy=2x+2;
(2)当b<0时, ;
y=xy=x-3.
对点小练
2.将直线y=-2x向下平移3个单位长度,得到一个一次函数的图象,这个一次函数的表达式是 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 一次函数的图象及平移(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P47例2拓展)
已知一次函数y=-x+1,它的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)画出此函数的图象;
(3)画出该函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象;
(4)写出一次函数y=-x+1的图象向下平移3个单位长度后所得图象对应的函数表达式.
【举一反三】
1.(2024·北京期中)一次函数y=-2x+4的图象大致是( )
2.已知一次函数y=-2x+3.
(1)试判断点(,-4)与点(-,),是否在这个函数的图象上;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并回答:通过平移这个函数的图象,能否得到正比例函数y=-2x的图象 如果能,请直接写出平移方法,如果不能,请说明理由.
【技法点拨】
画一次函数图象的取点技巧
1.根据“两点确定一条直线”可知,画一次函数y=kx+b的图象时,只需描出两点即可,一般取直线与坐标轴的交点(0,b)和(-,0);
2.画正比例函数y=kx的图象时,只要确定除原点外的一个点即可,一般取点(1,k).
重点2 实际问题中的一次函数图象(几何直观、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P48例3拓展)
【情境描述】古人没有钟表,大多数时候,他们是以香燃烧的时间长短,来计量时刻的.实际上由于环境、风力、香的长短、香料干湿等诸多因素,一炷香的燃烧时间并不完全相同,但一般约为半个时辰,即一个小时.综合实践小组欲探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系.
【观察发现】小组成员准备了一柱长为20 cm的香,测量后发现,香燃烧时剩余长度随着燃烧时间的变化而变化,每燃烧一分钟,香的长度就减少0.4 cm.
【建立模型】(1)若用y(cm)表示香燃烧时剩余长度,用x(min)表示燃烧时间,请根据上述信息,求y关于x的函数表达式,并在图中画出部分函数图象;
【解决问题】(2)请你帮该小组算一算,经过多长时间,这柱香恰好燃烧完
【举一反三】
已知水池中有800立方米的水,每小时抽50立方米.
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(时)之间的函数表达式并画出图象;
(2)6小时后池中还有多少水
(3)几小时后,池中还有200立方米的水
【技法点拨】
根据实际问题画函数图象的注意事项
1.根据题意列出正确的函数表达式,然后画图象.
2.注意自变量的取值范围应符合实际.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)若m为常数且m<5,则一次函数y=(m-6)x+7-m的图象可能是( )
2.(3分·几何直观、应用意识)小明用20元零花钱购买水果慰问老人,已知某水果价格是每千克4元,设买水果x千克,用去的钱为y元,用图象表示y与x的函数关系,其中正确的是( )
3.(3分·几何直观)已知一次函数y=ax+b和y=cx+d.若a=c,bd<0,则一次函数的图象可能是( )
4.(3分·几何直观)已知直线y=kx+b(k≠0)与直线y=3x-7平行,且将直线y=kx+b向下平移2个单位长度后得到直线y=ax-2(a≠0),则= .
5.(8分·几何直观、运算能力)已知一次函数y=-2x-6.
(1)求y=-2x-6与x轴、y轴的交点A,B的坐标,并画出函数的图象;
(2)求△AOB的面积.
