4.求一次函数的表达式
课时学习目标 素养目标达成
1.会用待定系数法求一次函数的表达式 抽象能力、运算能力
2.会利用一次函数表达式、性质、图象解决简单的实际问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
待定系数法求一次函数表达式的思维模型
对点小练
在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A(-1,1),则这个一次函数的表达式是(C)
A.y=-2x+3 B.y=x+3
C.y=2x+3 D.y=x+3
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 待定系数法求一次函数表达式(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P51做一做延伸)
如图,在直角坐标系中,一次函数y=-2x+8的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,在y轴上取一点C,连结BC,使AC=BC.
(1)求点C的坐标和直线BC的表达式;
(2)在线段AB上取一点D,若点D的横坐标为2,请你在x轴上找一点P,使得PD+PC的值最小,并求出此时点P的坐标.
【自主解答】(1)当x=0时,y=-2×0+8=8,
∴A(0,8),
当y=0时,-2x+8=0,解得x=4,∴B(4,0),
设C(0,t),则OC=t,AC=BC=8-t,
在Rt△OBC中,42+t2=(8-t)2,解得t=3,∴C(0,3),
设直线BC的表达式为y=kx+b,
把B(4,0),C(0,3)分别代入得,解得,
∴直线BC的表达式为y=-x+3;
(2)作点C关于x轴的对称点C',连结DC'交x轴于点P,如图,
∵PC=PC',
∴PC+PD=PC'+PD=DC',
∴此时PC+PD的值最小,
当x=2时,y=-2x+8=4,
∴D(2,4),
∵点C'与C(0,3)关于x轴对称,
∴C'(0,-3),
设直线DC'的表达式为y=k'x+b',
把C'(0,-3),D(2,4)分别代入
得,解得,
∴直线DC'的表达式为y=x-3,
当y=0时,x-3=0,解得x=,
∴P点坐标为(,0).
【举一反三】
1.(2024·临汾期中)如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(4,0),则该函数的表达式为(B)
A.y=-x+3 B.y=-x+3
C.y=-x+4 D.y=-x+4
2.(2024·北京期中)函数y=mx+1(m≠0)的图象经过(2,-1),那么m= -1 .
【技法点拨】
求一次函数表达式的四个步骤
(1)设:设函数表达式为y=kx+b(k≠0).
(2)代:将已知点的坐标或x,y的对应值代入所设表达式中,得到关于系数k,b的方程组.
(3)解:解方程组求得系数k,b的值.
(4)写:将k,b的值代入所设表达式中,写出表达式.
重点2 实际情境下求一次函数表达式(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材溯源·P50例4·2023连云港中考)目前,我市对市区居民用气户的燃气收费,以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯:
阶梯 年用气量 销售价格 备注
第一 阶梯 0~400 m3(含 400)的部分 2.67元 /m3 若家庭人口超 过4人的,每增 加1人,第一、 二阶梯年用气 量的上限分别 增加100 m3, 200 m3.
第二 阶梯 400~1 200 m3 (含1 200)的 部分 3.15元 /m3
第三 阶梯 1 200m3以上的 部分 3.63元 /m3
(1)一户家庭人口为3人,年用气量为200 m3,则该年此户需缴纳燃气费用为
元;
(2)一户家庭人口不超过4人,年用气量为x m3(x>1 200),该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y与x的函数表达式;
(3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气 (结果精确到1 m3)
【自主解答】(1)200×2.67=534(元).
答案:534
(2)根据题意得:y=400×2.67+(1 200-400)×3.15+3.63(x-1 200)=3.63x-768,
∴y与x的函数表达式为y=3.63x-768(x>1 200);
(3)∵400×2.67+(1 200-400)×3.15=3 588<3 855,
∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯,
由(2)知,当y=3 855时,3.63x-768=3 855,
解得x≈1 273.6,
又∵2.67×(100+400)+3.15×(1 200+200-500)=4 170>3 855,且2.67×(100+400)=1 335<3 855,
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯,但未达到第三阶梯,
设乙户年用气量为a m3,则有2.67×500+3.15(a-500)=3 855,解得a=1 300,
1 300-1 273.6=26.4≈26 m3,
答:该年乙户比甲户多用约26 m3的燃气.
【举一反三】
1.(2024·山西中考)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如表所示,则y与x之间的关系式为(A)
尾长(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
2.(2024·深圳模拟)某社区采购春节慰问礼品,购买了甲、乙两种类型的粮油套装.甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元,用1 200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同.
(1)求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元.
(2)社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件,购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍,且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠.问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少 最少花费是多少元
【解析】(1)设甲种粮油套装的单价为x元,
则乙种粮油套装的单价为(x-30)元,
根据题意得,=,解得,x=120,
经检验,x=120是原方程的根,∴x-30=90,
答:甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元;
(2)设购买甲种粮油套装m件,购买乙种粮油套装(40-m)件,购买总花费w元,由题意得,40-m≤3m,
解得,m≥10,w=120×0.8m+90×0.8(40-m)=24m+2 880,
∵24>0,∴w随m的减小而减小.
当m=10时,w取得最小值3 120,∴40-m=30,
答:购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少,最少花费是3 120元.4.求一次函数的表达式
课时学习目标 素养目标达成
1.会用待定系数法求一次函数的表达式 抽象能力、运算能力
2.会利用一次函数表达式、性质、图象解决简单的实际问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
待定系数法求一次函数表达式的思维模型
对点小练
在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A(-1,1),则这个一次函数的表达式是( )
A.y=-2x+3 B.y=x+3
C.y=2x+3 D.y=x+3
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 待定系数法求一次函数表达式(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P51做一做延伸)
如图,在直角坐标系中,一次函数y=-2x+8的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,在y轴上取一点C,连结BC,使AC=BC.
(1)求点C的坐标和直线BC的表达式;
(2)在线段AB上取一点D,若点D的横坐标为2,请你在x轴上找一点P,使得PD+PC的值最小,并求出此时点P的坐标.
【举一反三】
1.(2024·临汾期中)如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(4,0),则该函数的表达式为( )
A.y=-x+3 B.y=-x+3
C.y=-x+4 D.y=-x+4
2.(2024·北京期中)函数y=mx+1(m≠0)的图象经过(2,-1),那么m= .
【技法点拨】
求一次函数表达式的四个步骤
(1)设:设函数表达式为y=kx+b(k≠0).
(2)代:将已知点的坐标或x,y的对应值代入所设表达式中,得到关于系数k,b的方程组.
(3)解:解方程组求得系数k,b的值.
(4)写:将k,b的值代入所设表达式中,写出表达式.
重点2 实际情境下求一次函数表达式(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材溯源·P50例4·2023连云港中考)目前,我市对市区居民用气户的燃气收费,以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯:
阶梯 年用气量 销售价格 备注
第一 阶梯 0~400 m3(含 400)的部分 2.67元 /m3 若家庭人口超 过4人的,每增 加1人,第一、 二阶梯年用气 量的上限分别 增加100 m3, 200 m3.
第二 阶梯 400~1 200 m3 (含1 200)的 部分 3.15元 /m3
第三 阶梯 1 200m3以上的 部分 3.63元 /m3
(1)一户家庭人口为3人,年用气量为200 m3,则该年此户需缴纳燃气费用为
元;
(2)一户家庭人口不超过4人,年用气量为x m3(x>1 200),该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y与x的函数表达式;
(3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气 (结果精确到1 m3)
【举一反三】
1.(2024·山西中考)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如表所示,则y与x之间的关系式为( )
尾长(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
2.(2024·深圳模拟)某社区采购春节慰问礼品,购买了甲、乙两种类型的粮油套装.甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元,用1 200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同.
(1)求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元.
(2)社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件,购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍,且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠.问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少 最少花费是多少元
