2.反比例函数的图象和性质
课时学习目标 素养目标达成
1.能识别反比例函数的图象,归纳并掌握反比例函数的性质 几何直观、抽象能力
2.掌握反比例函数k的几何意义,会用待定系数法求反比例函数的表达式 几何直观、抽象能力、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点
1.反比例函数的图象是 双曲线 .
2.图象与性质:
y= k>0 k<0
图象
位置 第 一、三 象限 第 二、四 象限
增减性 在每个象限内, y随 x的增大而 减小 在每个象限内, y随 x的增大而 增大
对称性 既是中心对称图形(对称中心是 原点 ),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和 y=-x )
对点小练
1.下列关于反比例函数y=的说法正确的是(B)
A.它的图象在第二、四象限
B.它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形
C.当x=-时,y=-1
D.y随x的增大而减小
2.若点A(3,-4),B(4,m)在同一个反比例函数的图象上,则m的值为 -3 .
新知要点
3.反比例函数中k的几何意义
(1)过反比例函数y=图象中任意一点P(m,n)分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,B,则S矩形OAPB =OA·AP =|m|·|n|= |k| .
(2)连结OP,则S△OAP =OA·AP=|m|·|n|=|k|.
对点小练
3.如图,反比例函数y=的图象过点A,则Rt△OBA的面积是(A)
A.3 B.6 C.9 D.12
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 反比例函数的图象与性质(推理能力,运算能力)
【典例1】(教材再开发·P56例1拓展)已知反比例函数y=(k为常数,k≠1).
(1)若函数图象的两个分支分别在一、三象限,求k的取值范围;
(2)若在这个函数图象的每一分支上,y随x的增大而增大,求k的取值范围;
(3)若k=13,试判断点A(3,4),B(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由.
【自主解答】(1)∵函数y=图象的两个分支分别在一、三象限,∴k-1>0,解得k>1;
(2)∵在函数y=图象的每一分支上,y随x的增大而增大,∴k-1<0,解得k<1;
(3)∵k=13,∴k-1=12,∴反比例函数的表达式为y=.将点A的坐标代入y=,可知点A的坐标满足函数表达式,∴点A在函数y=的图象上,将点B的坐标代入y=,由5≠,可知点B的坐标不满足函数表达式,∴点B不在函数y=的图象上.
【举一反三】
1.(2024·铜仁期末)当a>b时,反比例函数y=的图象大致是(C)
2.已知反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,则k的取值范围是 k<-1 012 .
【技法点拨】
反比例函数图象上点的坐标的特征
(1)图象上每一个点的横、纵坐标的乘积为定值k.
(2)同一个分支上的两个点,在一、三象限时,其横、纵坐标增减性相反,在二、四象限时,其横、纵坐标增减性相同.
(3)不同分支上关于原点对称的两个点,其横、纵坐标分别互为相反数.
重点2 待定系数法求反比例函数表达式(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P58例2拓展)
在物理学中,电磁波(又称电磁辐射)是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中衍生发射的振荡粒子波,是以波的形式移动,随着5G技术的发展,依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长λ(单位:m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的变化而变化.如表是某段电磁波在同种介质中,波长λ与频率f的部分对应值:
频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30
波长λ(m) 60 30 20 15 12 10
(1)该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系 并求出波长λ关于频率f的函数表达式;
(2)当f=50 MHz时,求此电磁波的波长λ.
【自主解答】(1)观察题中表格知,电磁波的波长λ与频率f的乘积是一个定值,故波长λ与频率f符合反比例关系,设波长λ关于频率f的函数表达式为λ=(k≠0),
把f=10,λ=30代入上式中得:=30,
解得:k=300,
∴λ=;
(2)当f=50 MHz时,λ==6.
答:当f=50 MHz时,此电磁波的波长λ为6 m.
【举一反三】
(2024·杭州模拟)在一项科学实验中,研究人员对不同形状的物体进行了压力测试,这些物体的质量相同,但形状各异.研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上,并记录了测试平台受到的压强(单位:Pa)与受力面积(单位:m2)之间的关系,结果如表所示.
桌面所受压强P(Pa) 50 100 200 400
受力面积S(m2) 2 1 0.5 0.25
(1)根据如表数据,求桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数表达式.
(2)现将相同质量,且棱长为0.2 m的正方体放置于某水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为5 000 Pa,请你判断这种摆放方式是否安全 并说明理由.
【解析】(1)由题干表格中的数据可知:压强P和受力面积S的乘积是一个定值,故桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)符合反比例关系,设桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)的函数表达式为P=,当P=50时,S=2,则50=,解得k=100,即桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)函数表达式是P=;
(2)这种摆放方式安全,
理由:S=0.2×0.2=0.04,当S=0.04时,P==2 500,
∵2 500<5 000,∴这种摆放方式安全.
【技法点拨】
待定系数法确定反比例函数表达式的四个步骤
重点3 反比例函数中k的几何意义(几何直观,运算能力)
【典例3】如图,在△AOB中,AB=OB,点B在反比例函数的图象上,点A的坐标为(4,0),S△ABO=4,求点B所在的反比例函数表达式.
【自主解答】设点B所在的反比例函数表达式为:y=(x>0),过点B作BM⊥OA,垂足为M,
∵AB=OB,BM⊥OA,
∴OM=AM,
∴S△OBM=S△ABO=2;
∵S△OBM=|k|=2,且图象在第四象限,
∴k=-4.∴点B所在的反比例函数表达式为:y=-(x>0).
【举一反三】
(2024·晋中模拟)如图,点A在x轴的负半轴上,点C在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC交y轴于点B,若点B是AC的中点,△AOB的面积为,则k的值为 6 .
【技法点拨】
求反比例函数有关的图形面积的两个思路
(1)将不规则图形转化为规则直角三角形或矩形,根据图形面积的和或差,结合k的几何意义计算.
(2)将图形的有关边长转化为双曲线上某一点的坐标的绝对值,套用图形面积公式计算.2.反比例函数的图象和性质
课时学习目标 素养目标达成
1.能识别反比例函数的图象,归纳并掌握反比例函数的性质 几何直观、抽象能力
2.掌握反比例函数k的几何意义,会用待定系数法求反比例函数的表达式 几何直观、抽象能力、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点
1.反比例函数的图象是 .
2.图象与性质:
y= k>0 k<0
图象
位置 第 象限 第 象限
增减性 在每个象限内, y随 x的增大而 在每个象限内, y随 x的增大而
对称性 既是中心对称图形(对称中心是 ),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和 )
对点小练
1.下列关于反比例函数y=的说法正确的是( )
A.它的图象在第二、四象限
B.它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形
C.当x=-时,y=-1
D.y随x的增大而减小
2.若点A(3,-4),B(4,m)在同一个反比例函数的图象上,则m的值为 .
新知要点
3.反比例函数中k的几何意义
(1)过反比例函数y=图象中任意一点P(m,n)分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,B,则S矩形OAPB =OA·AP =|m|·|n|= .
(2)连结OP,则S△OAP =OA·AP=|m|·|n|=|k|.
对点小练
3.如图,反比例函数y=的图象过点A,则Rt△OBA的面积是( )
A.3 B.6 C.9 D.12
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 反比例函数的图象与性质(推理能力,运算能力)
【典例1】(教材再开发·P56例1拓展)已知反比例函数y=(k为常数,k≠1).
(1)若函数图象的两个分支分别在一、三象限,求k的取值范围;
(2)若在这个函数图象的每一分支上,y随x的增大而增大,求k的取值范围;
(3)若k=13,试判断点A(3,4),B(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由.
【举一反三】
1.(2024·铜仁期末)当a>b时,反比例函数y=的图象大致是( )
2.已知反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,则k的取值范围是 .
【技法点拨】
反比例函数图象上点的坐标的特征
(1)图象上每一个点的横、纵坐标的乘积为定值k.
(2)同一个分支上的两个点,在一、三象限时,其横、纵坐标增减性相反,在二、四象限时,其横、纵坐标增减性相同.
(3)不同分支上关于原点对称的两个点,其横、纵坐标分别互为相反数.
重点2 待定系数法求反比例函数表达式(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P58例2拓展)
在物理学中,电磁波(又称电磁辐射)是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中衍生发射的振荡粒子波,是以波的形式移动,随着5G技术的发展,依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长λ(单位:m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的变化而变化.如表是某段电磁波在同种介质中,波长λ与频率f的部分对应值:
频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30
波长λ(m) 60 30 20 15 12 10
(1)该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系 并求出波长λ关于频率f的函数表达式;
(2)当f=50 MHz时,求此电磁波的波长λ.
【举一反三】
(2024·杭州模拟)在一项科学实验中,研究人员对不同形状的物体进行了压力测试,这些物体的质量相同,但形状各异.研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上,并记录了测试平台受到的压强(单位:Pa)与受力面积(单位:m2)之间的关系,结果如表所示.
桌面所受压强P(Pa) 50 100 200 400
受力面积S(m2) 2 1 0.5 0.25
(1)根据如表数据,求桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数表达式.
(2)现将相同质量,且棱长为0.2 m的正方体放置于某水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为5 000 Pa,请你判断这种摆放方式是否安全 并说明理由.
【技法点拨】
待定系数法确定反比例函数表达式的四个步骤
重点3 反比例函数中k的几何意义(几何直观,运算能力)
【典例3】如图,在△AOB中,AB=OB,点B在反比例函数的图象上,点A的坐标为(4,0),S△ABO=4,求点B所在的反比例函数表达式.
【举一反三】
(2024·晋中模拟)如图,点A在x轴的负半轴上,点C在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC交y轴于点B,若点B是AC的中点,△AOB的面积为,则k的值为 .
【技法点拨】
求反比例函数有关的图形面积的两个思路
(1)将不规则图形转化为规则直角三角形或矩形,根据图形面积的和或差,结合k的几何意义计算.
(2)将图形的有关边长转化为双曲线上某一点的坐标的绝对值,套用图形面积公式计算.
