17.5 实践与探索
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解二元一次方程组的解是两直线的交点坐标 几何直观、抽象能力
2.会用图象法求出二元一次方程组的解 几何直观
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点
1.二元一次方程与一次函数的关系
每个二元一次方程→一个一次函数;方程的解→函数图象上点的坐标.
2.二元一次方程组与一次函数的关系
每个二元一次方程组→两个一次函数;方程组的解→两个函数图象的 坐标.
对点小练
若是方程组的解,则函数的交点坐标为 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 一次函数与二元一次方程(组)(几何直观,运算能力)
【典例1】如图所示,直线l1的函数表达式为y=3x-2,且直线l1与x轴交于点D.直线l2与x轴交于点A,且经过点B(4,1),直线l1与l2交于点C(m,3).
(1)求点D和点C的坐标;
(2)求直线l2的函数表达式;
(3)利用函数图象写出关于x,y的二元一次方程组的解;
(4)求两直线与x轴围成的三角形面积.
【举一反三】
1.一次函数y=-x+2和y=2x-1的图象如图所示,则方程组的解是( )
A. B. C. D.
2.(2024·福州期中)在平面直角坐标系中,已知一次函数y=3x-5与y=2x-4.
(1)求这两个函数图象的交点坐标;
(2)直线x=3与y=3x-5交于点A与y=2x-4交于点B,求线段AB的长.
重点2 实际问题中的函数与二元一次方程(组)(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P61练习T1强化)某单位计划组织员工外出旅游,已知甲、乙两家旅行社的报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的费用,其余游客八折优惠.对应甲、乙旅行社,该单位所需的旅游费用y(元)与人数x(人)的关系如图所示:
(1)分别求出选择甲、乙旅行社时,y与x之间的函数表达式;
(2)求点B的坐标,并写出点B表示的实际意义.
【举一反三】
(2024·西安模拟)某中学举行校庆活动,使用了两架小型无人机进行现场拍摄,1号机所在高度y1(m)与上升时间x(s)的函数图象如图所示;2号机从6 m高度,以
0.5 m/s的速度上升,两架无人机同时起飞,设2号机所在高度为y2(m).
(1)求1号机所在高度y1与上升时间x之间的函数表达式(不必写出x的取值范围),并在图中画出2号机所在高度y2(m)与上升时间x(s)的函数关系图象;
(2)在某时刻两架无人机能否位于同一高度 如果能,求此时两架无人机的高度;如果不能,请说明理由.
素养当堂测评 (10分钟·12分)
1.(4分·运算能力)直线y=2x+4与y=x的交点坐标是( )
A. (-,) B. (-,-)
C. (-,-) D. (-,)
2.(4分·运算能力)直线y=3x+b与y=-3x相交于点A(a,9),则方程组的解为( )
A. B.
C. D.
3.(4分·推理能力)下表分别是一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2图象上一部分点的坐标:
x … -1 0 1 2 …
y=k1x+b1 … -1 1 3 5 …
y=k2x+b2 … 5 4 3 2 …
则二元一次方程组的解为 . 17.5 实践与探索
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 几何直观、抽象能力
2.能通过函数图象解一元一次方程、一元一次不等式 几何直观
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点
1.一次函数与一元一次方程的关系
解方程kx+b=0(k≠0)求当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值 时,对应的自变量x的值.
对点小练
1.关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=1,则直线y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是( )
A.(1,0) B.(0,1) C.(0,0) D.(-1,0)
新知要点
2.一次函数与一元一次不等式的关系
解一元一次不等式求当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值大于0或小于0时,相应自变量的取值范围.
对点小练
2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b>1的解集是 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 一次函数与一元一次方程(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P61问题2拓展)如图,根据一次函数y=kx+b的图象,直接写出下列问题的答案:
(1)关于x的方程kx+b=0的解;
(2)当x=-1时,代数式kx+b的值;
(3)关于x的方程kx+b=-1的解.
【举一反三】
已知关于x的方程ax-b=1的解为x=-2,则一次函数y=ax-b-1的图象与x轴交点的坐标为 .
【技法点拨】
一元一次方程与一次函数的两个联系
(1)从“数”的角度看:当一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,相应的自变量的值是x=-,即为方程ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的解.
(2)从“形”的角度看:一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为,从而可知交点横坐标即为方程ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的解.
重点2 一次函数与一元一次不等式(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P61问题2拓展)已知一次函数y=-x+b经过点B(0,2),与x轴交于点A.
(1)求b的值和点A的坐标;
(2)画出此函数的图象,观察图象,当0<-x+b<2时,x的取值范围是 ;
(3)若点C是y轴上一点,△ABC的面积为6,则C点坐标是多少
【举一反三】
(2024·南阳期中)已知一次函数y=-2x+4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象;
(2)图象与x轴的交点为A,则A点的坐标为 ,与y轴交点为B,则B点的坐标为 ;
(3)在(2)的条件下,求出△AOB的面积;
(4)利用图象直接写出:当y<0时,x的取值范围.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=5的解为( )
A.x=3 B.x=5 C.x=0 D.x=b
2.(4分·几何直观)如图,已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(-2,3),则关于x的不等式mx+n>3的解集为( )
A.x>-3 B.x<-3
C.x>-2 D.x<-2
3.(4分·推理能力)一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象分别交x轴和y轴于点A(-3,0)和B(0,2),则不等式kx+b<2的解集是( )
A.x<0 B.x<-3
C.x>0 D.x>-3
4.(4分·几何直观、运算能力)一次函数y=ax+b的图象如图所示,则关于x的方程ax+b+2=0的解为 . 17.5 实践与探索
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解二元一次方程组的解是两直线的交点坐标 几何直观、抽象能力
2.会用图象法求出二元一次方程组的解 几何直观
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点
1.二元一次方程与一次函数的关系
每个二元一次方程→一个一次函数;方程的解→函数图象上点的坐标.
2.二元一次方程组与一次函数的关系
每个二元一次方程组→两个一次函数;方程组的解→两个函数图象的 交点 坐标.
对点小练
若是方程组的解,则函数的交点坐标为 (3,-1) .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 一次函数与二元一次方程(组)(几何直观,运算能力)
【典例1】如图所示,直线l1的函数表达式为y=3x-2,且直线l1与x轴交于点D.直线l2与x轴交于点A,且经过点B(4,1),直线l1与l2交于点C(m,3).
(1)求点D和点C的坐标;
(2)求直线l2的函数表达式;
(3)利用函数图象写出关于x,y的二元一次方程组的解;
(4)求两直线与x轴围成的三角形面积.
【自主解答】(1)在y=3x-2中,令y=0,
即3x-2=0,解得x=,∴D(,0),
∵点C(m,3)在直线y=3x-2上,
∴3m-2=3,∴m=,∴C(,3);
(2)设直线l2的函数表达式为y=kx+b(k≠0),由题意得,解得,
∴直线l2的函数表达式为y=-x+;
(3)由题图可知,二元一次方程组
的解为;
(4)易知A(,0),∴AD=-=,
∴S△ADC=×3×=.
【举一反三】
1.一次函数y=-x+2和y=2x-1的图象如图所示,则方程组的解是(B)
A. B. C. D.
2.(2024·福州期中)在平面直角坐标系中,已知一次函数y=3x-5与y=2x-4.
(1)求这两个函数图象的交点坐标;
(2)直线x=3与y=3x-5交于点A与y=2x-4交于点B,求线段AB的长.
【解析】(1)由一次函数y=3x-5与y=2x-4相交得到3x-5=2x-4,解得x=1,
当x=1时,y=-2,
∴这两个函数图象的交点坐标为(1,-2).
(2)当x=3时,y=3x-5=4,当x=3时,y=2x-4=2,∵直线x=3与y=3x-5交于点A与y=2x-4交于点B,∴点A的坐标是(3,4),点B的坐标是(3,2),∴AB=4-2=2,即线段AB的长为2.
重点2 实际问题中的函数与二元一次方程(组)(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P61练习T1强化)某单位计划组织员工外出旅游,已知甲、乙两家旅行社的报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的费用,其余游客八折优惠.对应甲、乙旅行社,该单位所需的旅游费用y(元)与人数x(人)的关系如图所示:
(1)分别求出选择甲、乙旅行社时,y与x之间的函数表达式;
(2)求点B的坐标,并写出点B表示的实际意义.
【自主解答】(1)甲旅行社的费用:y=200×0.75x=150x,
乙旅行社的费用:y=200×0.8(x-1)=160x-160;
(2)由题意得,解得,
∴B(16,2 400),即B点表示当旅游人数为16人时,甲、乙旅行社的费用相等,都是2 400元.
【举一反三】
(2024·西安模拟)某中学举行校庆活动,使用了两架小型无人机进行现场拍摄,1号机所在高度y1(m)与上升时间x(s)的函数图象如图所示;2号机从6 m高度,以
0.5 m/s的速度上升,两架无人机同时起飞,设2号机所在高度为y2(m).
(1)求1号机所在高度y1与上升时间x之间的函数表达式(不必写出x的取值范围),并在图中画出2号机所在高度y2(m)与上升时间x(s)的函数关系图象;
(2)在某时刻两架无人机能否位于同一高度 如果能,求此时两架无人机的高度;如果不能,请说明理由.
【解析】(1)由题干图象知,函数y1经过(0,3),(9,12)两点.
设y1=kx+b,将(0,3),(9,12)分别代入得:
,解得,
∴y1与上升时间x之间的函数表达式为y1=x+3;
由题意得:y2=0.5x+6,
当x=6时,y=9,∴在直角坐标系中描点(0,6),(6,9),
画得函数y2的图象如图:
(2)在某时刻两架无人机能位于同一高度,理由如下:
当y1=y2时,x+3=0.5x+6,
解得x=6.∴x+3=6+3=9(m).
当两架无人机起飞6 s后,高度相等,此时两架无人机高度为9 m.
素养当堂测评 (10分钟·12分)
1.(4分·运算能力)直线y=2x+4与y=x的交点坐标是(C)
A. (-,) B. (-,-)
C. (-,-) D. (-,)
2.(4分·运算能力)直线y=3x+b与y=-3x相交于点A(a,9),则方程组的解为(A)
A. B.
C. D.
3.(4分·推理能力)下表分别是一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2图象上一部分点的坐标:
x … -1 0 1 2 …
y=k1x+b1 … -1 1 3 5 …
y=k2x+b2 … 5 4 3 2 …
则二元一次方程组的解为 . 17.5 实践与探索
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 几何直观、抽象能力
2.能通过函数图象解一元一次方程、一元一次不等式 几何直观
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点
1.一次函数与一元一次方程的关系
解方程kx+b=0(k≠0)求当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值 y=0 时,对应的自变量x的值.
对点小练
1.关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=1,则直线y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是(A)
A.(1,0) B.(0,1) C.(0,0) D.(-1,0)
新知要点
2.一次函数与一元一次不等式的关系
解一元一次不等式求当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值大于0或小于0时,相应自变量的取值范围.
对点小练
2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b>1的解集是 x<0 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 一次函数与一元一次方程(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P61问题2拓展)如图,根据一次函数y=kx+b的图象,直接写出下列问题的答案:
(1)关于x的方程kx+b=0的解;
(2)当x=-1时,代数式kx+b的值;
(3)关于x的方程kx+b=-1的解.
【自主解答】(1)当x=2时,y=0,所以方程kx+b=0的解为x=2;
(2)当x=-1时,y=-3,所以此时代数式kx+b的值为-3;
(3)当y=-1时,x=1,所以方程kx+b=-1的解为x=1.
【举一反三】
已知关于x的方程ax-b=1的解为x=-2,则一次函数y=ax-b-1的图象与x轴交点的坐标为 (-2,0) .
【技法点拨】
一元一次方程与一次函数的两个联系
(1)从“数”的角度看:当一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,相应的自变量的值是x=-,即为方程ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的解.
(2)从“形”的角度看:一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为,从而可知交点横坐标即为方程ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的解.
重点2 一次函数与一元一次不等式(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P61问题2拓展)已知一次函数y=-x+b经过点B(0,2),与x轴交于点A.
(1)求b的值和点A的坐标;
(2)画出此函数的图象,观察图象,当0<-x+b<2时,x的取值范围是 ;
(3)若点C是y轴上一点,△ABC的面积为6,则C点坐标是多少
【自主解答】(1)∵一次函数y=-x+b经过点B(0,2),∴b=2.
∵当y=0时,-x+2=0,解得x=4.
∴A(4,0).
(2)画出函数图象如图:
观察图象,当0<-x+b<2时,x的取值范围是0答案:0(3)∵A(4,0),∴OA=4.
∵S△ABC=6,∴=6,解得BC=3.
∴C点的坐标为(0,5)或(0,-1).
【举一反三】
(2024·南阳期中)已知一次函数y=-2x+4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象;
(2)图象与x轴的交点为A,则A点的坐标为 ,与y轴交点为B,则B点的坐标为 ;
(3)在(2)的条件下,求出△AOB的面积;
(4)利用图象直接写出:当y<0时,x的取值范围.
【解析】(1)函数y=-2x+4的图象如图所示:
(2)由图象可知,A(2,0),B(0,4).
答案:(2,0) (0,4)
(3)∵A(2,0),B(0,4),∴OA=2,OB=4,
∴S△AOB=OA·OB=×2×4=4;
(4)由图象可知,当y<0时,x的取值范围为x>2.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=5的解为(A)
A.x=3 B.x=5 C.x=0 D.x=b
2.(4分·几何直观)如图,已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(-2,3),则关于x的不等式mx+n>3的解集为(D)
A.x>-3 B.x<-3
C.x>-2 D.x<-2
3.(4分·推理能力)一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象分别交x轴和y轴于点A(-3,0)和B(0,2),则不等式kx+b<2的解集是(A)
A.x<0 B.x<-3
C.x>0 D.x>-3
4.(4分·几何直观、运算能力)一次函数y=ax+b的图象如图所示,则关于x的方程ax+b+2=0的解为 x=2 .
