18.1 平行四边形的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征 几何直观、推理能力
2.会利用平行四边形的性质进行相关的计算和证明 推理能力、运算能力、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
平行四 边形对 角线的 性质1.平行四边形的对角线 2.两条对角线分平行四边形为面积 的四个三角形 3.过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分
如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则下列式子不正确的是( ) A.BO=OD B.AB=CD C.∠BAD=∠BCD D.AC=BD
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】平行四边形的对角线互相平分(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P78练习T2补充)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,过点C作CF⊥BD,垂足为点F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数.
【举一反三】
在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB长
2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的长.
【技法点拨】
平行四边形性质的应用
【重点2】平行四边形的周长与面积(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P79例7补充)如图, ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.
(1)若△CDM的周长为8,求 ABCD的周长;
(2)若∠ADC=78°,CM平分∠ACD,试求∠BCA的度数.
【举一反三】
1.如图,在 ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是 .
2.如图,在 ABCD中,AD=6,AB=10,∠DAB=60°,AC,BD相交于点O,经过点O的直线EF分别交CD,AB于点E,F,则图中阴影部分的面积是 .
【技法点拨】
1.平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等,并且相邻两个三角形的周长之差等于相应的邻边之差.
2.过平行四边形对角线交点的直线将该平行四边形的面积等分.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论错误的是( )
A.AB=CD B.OB=OD
C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC
2.(4分·推理能力、运算能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是( )
A.16 B.18 C.20 D.22
3.(4分·抽象能力、推理能力)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,添加一个条件使△BOE≌△DOF,这个条件可以是 (写出一个即可).
4.(4分·推理能力、运算能力)如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E,若△CDE的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为 cm. 18.1 平行四边形的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质,了解两平行线之间距离的概念. 几何直观、抽象能力、推理能力
2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证. 推理能力、运算能力、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
项目定义性质平行 四边形两组对边分别 平行 的四边形 1.两组对边分别 平行 , 相等 2.两组对角分别 相等 3.邻角 互补 两条平 行线间 的距离两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 1.两条平行线之间的距离 处处相等 2.夹在两条平行线间的平行线段 相等
1.在 ABCD中,已知AD=4,AB=2,则 ABCD的周长是(D) A.18 B.16 C.14 D.12 2.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2,则其中较小的内角是(A) A.60° B.90° C.120° D.45° 3.如图,AD∥BC,∠A=∠D=90°, AB=1,AD=2,那么AD,BC间的距离为 1 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】利用平行四边形的性质进行计算(模型观念、运算能力)
【典例1】如图,在 ABCD中,CM⊥AD于点M,CN⊥AB于点N.
(1)若∠B=45°,则∠MCN= ;
(2)若 ABCD的周长等于15,CM=2,CN=3,求AB,AD的长.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠A=180°-∠B=180°-45°=135°,
∵CM⊥AD于M,CN⊥AB于N,
∴∠AMC=∠ANC=90°,
∴∠MCN=360°-90°-90°-135°=45°;
答案:45°
(2)∵ ABCD的周长等于15,∴AB=CD,AD=BC,AB+BC+CD+AD=15,
∴AB+AD=①,∵ ABCD的面积=AB×CN=AD×CM,∴3AB=2AD,
则3AB-2AD=0②,
①×2+②得,5AB=15,∴AB=3,
∴AD=-3=.
【举一反三】
1.如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在E处.若∠1=56°,
∠2=42°,则∠A的度数为(C)
A.108° B.109° C.110° D.111°
2.(2024·绵阳期末)如图,在 ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于E,则∠BCE的度数为 22° .
【重点2】利用平行四边形的性质进行证明(推理能力、几何直观)
【典例2】已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P,Q是对角线BD上的两个点,且BP=DQ.求证:PA=QC.
【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABP=∠CDQ,
在△ABP和△CDQ中,
,
∴△ABP≌△CDQ(S.A.S.),∴PA=QC.
【举一反三】
(2024·乐山质检)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC到点E,使得CE=BC,连结AE交CD于点F.求证:DF=CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.∴∠DAF=∠E.
又∵CE=BC,∴AD=EC.
在△ADF和△ECF中,,
∴△ADF≌△ECF(A.A.S.),∴DF=CF.
【技法点拨】
应用平行四边形的边角性质的两个“注意”
(1)注意隐含条件的挖掘:平行四边形提供了线段的数量及位置关系,也提供了角的关系,为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件.
(2)在解题时,能应用平行四边形直接得到的结论,不要再通过三角形的全等去证明.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力、运算能力)如图,在 ABCD中,∠A=125°,则∠1=(C)
A.65° B.50° C.55° D.45°
2.(4分·推理能力、运算能力)如图所示,在 ABCD中,∠C=120°,延长BA至点E,延长DA至点F,连结EF,则∠E+∠F的度数为(D)
A.120° B.30° C.50° D.60°
3.(4分·应用意识、运算能力)如图,在 ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为(D)
A.1和4 B. 4和1 C. 2和3 D.3和2
4.(4分·推理能力、运算能力)若 ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB=
8 .
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十九”18.1 平行四边形的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征 几何直观、推理能力
2.会利用平行四边形的性质进行相关的计算和证明 推理能力、运算能力、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
平行四 边形对 角线的 性质1.平行四边形的对角线 互相平分 2.两条对角线分平行四边形为面积 相等 的四个三角形 3.过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分
如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则下列式子不正确的是(D) A.BO=OD B.AB=CD C.∠BAD=∠BCD D.AC=BD
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】平行四边形的对角线互相平分(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P78练习T2补充)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,过点C作CF⊥BD,垂足为点F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°,
∵∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(A.A.S.),∴AE=CF;
(2)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,
∵∠AOE=70°,∴∠EAO=90°-∠AOE=20°,∵∠EAD=3∠EAO,∴∠EAD=3×20°
=60°,∴∠DAC=∠DAE-∠EAO=60°-20°=40°,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠BCA=∠DAC=40°.
【举一反三】
在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB长
2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的长.
【解析】设AB=x cm,
则AO=(x-3)cm,BO=(x+2)cm,
∵BO是AO的2倍,∴x+2=2(x-3),
解得x=8,∴AO=5 cm,BO=10 cm,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO=10 cm,BD=2BO=20 cm.
【技法点拨】
平行四边形性质的应用
【重点2】平行四边形的周长与面积(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P79例7补充)如图, ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.
(1)若△CDM的周长为8,求 ABCD的周长;
(2)若∠ADC=78°,CM平分∠ACD,试求∠BCA的度数.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD=BC,
∵OM⊥AC,∴AM=MC.
∴△CDM的周长=CM+MD+DC=AM+MD+DC=AD+CD=8,∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=2×8=16.
(2)∵AM=CM,∴∠MAC=∠MCA,
∵CM平分∠ACD,∴∠MAC=∠MCA=∠MCD,∵∠ADC=78°,
∴3∠MAC+78°=180°,∴∠MAC=34°,
∵AD∥BC,∴∠BCA=∠MAC=34°.
【举一反三】
1.如图,在 ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是 18 .
2.如图,在 ABCD中,AD=6,AB=10,∠DAB=60°,AC,BD相交于点O,经过点O的直线EF分别交CD,AB于点E,F,则图中阴影部分的面积是 15 .
【技法点拨】
1.平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等,并且相邻两个三角形的周长之差等于相应的邻边之差.
2.过平行四边形对角线交点的直线将该平行四边形的面积等分.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论错误的是(C)
A.AB=CD B.OB=OD
C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC
2.(4分·推理能力、运算能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是(C)
A.16 B.18 C.20 D.22
3.(4分·抽象能力、推理能力)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,添加一个条件使△BOE≌△DOF,这个条件可以是 OE=OF(答案不唯一) (写出一个即可).
4.(4分·推理能力、运算能力)如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E,若△CDE的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为 26 cm.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十”18.1 平行四边形的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质,了解两平行线之间距离的概念. 几何直观、抽象能力、推理能力
2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证. 推理能力、运算能力、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
项目定义性质平行 四边形两组对边分别 的四边形 1.两组对边分别 , 2.两组对角分别 3.邻角 两条平 行线间 的距离两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 1.两条平行线之间的距离 2.夹在两条平行线间的平行线段
1.在 ABCD中,已知AD=4,AB=2,则 ABCD的周长是( ) A.18 B.16 C.14 D.12 2.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2,则其中较小的内角是( ) A.60° B.90° C.120° D.45° 3.如图,AD∥BC,∠A=∠D=90°, AB=1,AD=2,那么AD,BC间的距离为 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】利用平行四边形的性质进行计算(模型观念、运算能力)
【典例1】如图,在 ABCD中,CM⊥AD于点M,CN⊥AB于点N.
(1)若∠B=45°,则∠MCN= ;
(2)若 ABCD的周长等于15,CM=2,CN=3,求AB,AD的长.
【举一反三】
1.如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在E处.若∠1=56°,
∠2=42°,则∠A的度数为( )
A.108° B.109° C.110° D.111°
2.(2024·绵阳期末)如图,在 ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于E,则∠BCE的度数为 .
【重点2】利用平行四边形的性质进行证明(推理能力、几何直观)
【典例2】已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P,Q是对角线BD上的两个点,且BP=DQ.求证:PA=QC.
【举一反三】
(2024·乐山质检)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC到点E,使得CE=BC,连结AE交CD于点F.求证:DF=CF.
【技法点拨】
应用平行四边形的边角性质的两个“注意”
(1)注意隐含条件的挖掘:平行四边形提供了线段的数量及位置关系,也提供了角的关系,为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件.
(2)在解题时,能应用平行四边形直接得到的结论,不要再通过三角形的全等去证明.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力、运算能力)如图,在 ABCD中,∠A=125°,则∠1=( )
A.65° B.50° C.55° D.45°
2.(4分·推理能力、运算能力)如图所示,在 ABCD中,∠C=120°,延长BA至点E,延长DA至点F,连结EF,则∠E+∠F的度数为( )
A.120° B.30° C.50° D.60°
3.(4分·应用意识、运算能力)如图,在 ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为( )
A.1和4 B. 4和1 C. 2和3 D.3和2
4.(4分·推理能力、运算能力)若 ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB=
.
