18.2 平行四边形的判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理,会用这个定理进行有关的论证和计算 推理能力、运算能力
2.能灵活运用平行四边形的性质定理和判定定理进行简单的推理证明 推理能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
平行四边形的判定定理3 项目文字语言符号语言对 角 线对角线 的四边形是平行四边形 ∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形图 形
要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是( ) A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点】对角线互相平分的四边形是平行四边形(推理能力)
【典例】(教材再开发·P89例6补充)如图,AC,BD相交于点O,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是OB,OD的中点,求证:四边形AFCE是平行四边形.
【举一反三】
1.(2024·自贡质检)如图,已知AB∥CD,增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是( )
A.∠1=∠2 B.AD=BC
C.OA=OC D.AD=AB
2.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,BM⊥AC,DN⊥AC,垂足分别是M,N.
求证:四边形BMDN是平行四边形.
【技法点拨】
条件 思路
当遇到四边形对角线中点的条件时 运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来判定四边形是平行四边形
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、抽象能力)能判定四边形是平行四边形的是( )
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分
2.(4分·推理能力、抽象能力)小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3.(4分·推理能力、运算能力)一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下,则可以判断四边形是平行四边形的是( )
A.88°、108°、88°
B.88°、104°、108°
C.88°、92°、92°
D.108°、72°、108°
4.(8分·推理能力、运算能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,点G,H在BD上,且AE=CF,BG=DH.
(1)若AC=AD,∠CAD=70°,试求∠ABC的度数;
(2)求证:四边形EGFH是平行四边形.18.2 平行四边形的判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形 推理能力、抽象能力
2.理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 推理能力、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
项目文字语言符号语言边两组对边分别 平行 的四边形 ∵AD∥BC,AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形两组对边分别 相等 的四边形 ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形一组对边 平行且相等 的四边形 ∵AD∥BC,AD=BC, (或AB∥CD,AB=CD) ∴四边形ABCD是平行四边形图 形
1.下列哪组条件能判定四边形ABCD是平行四边形,∠A∶∠B∶∠C∶ ∠D=(B) A.2∶3∶6∶7 B.4∶5∶4∶5 C.1∶2∶3∶4 D.3∶5∶7∶9 2.不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(A) A.AB=CD,AD∥BC B.AB=CD,AB∥CD C.AB=CD,AD=BC D.AB∥CD,AD∥BC 3. 如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,分别连结AB,AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】两组对边分别平行的四边形是平行四边形(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P88例3变式)如图,平行四边形ABCD中,BE平分
∠ABC,DF平分∠ADC,求证:四边形BEDF是平行四边形.
【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC,∴∠EDF=∠CFD,
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠CBE=∠ABC,∠EDF=∠ADC,
∴∠CBE=∠EDF,∴∠CBE=∠CFD,
∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
【举一反三】
(2024·乐山质检)如图,已知点E、F分别在边AB、BC上,ED∥BC,EF∥AC,BE=CF.求证:BD是△ABC的角平分线.
【证明】∵ED∥BC,EF∥AC,
∴四边形EFCD是平行四边形,∴ED=CF,
∵BE=CF,∴BE=ED,∴∠EBD=∠EDB,
∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠EBD=∠DBC,∴BD是△ABC的角平分线.
【重点2】两组对边分别相等的四边形是平行四边形(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P89练习T2拓展)如图,在 ABCD中,AE=CG,BF=DH,连结EF,FG,GH,HE.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,AD=BC,
又∵BF=DH,∴CF=AH,
在△AEH和△CGF中,,
∴△AEH≌△CGF(S.A.S.),∴EH=GF,
同理可证GH=EF,
∴四边形EFGH是平行四边形.
【举一反三】
如图,在四边形ABCD中,AD=12,OD=OB=5,AC=26,∠ADB=90°.
(1)求线段OC的长;
(2)求证:四边形ABCD为平行四边形.
【解析】(1)∵∠ADB=90°,AD=12,OD=5,
∴OA===13,
∵AC=26,∴OC=AC-OA=26-13=13,
∴OC的长是13.
(2)由(1)得OA=13,OC=13,∴OA=OC,
∵OD=OB,∴四边形ABCD是平行四边形.
【技法点拨】
应用平行四边形的判定定理1的注意事项
应用平行四边形的判定定理1时需要注意“对边相等”这一前提,不要错以为“邻边相等”或者“各边相等”.
【重点3】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(推理能力)
【典例3】如图,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是平行四边形.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(S.A.S.);
(2)由(1)可知,△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD,
即∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF,
∵AE=CF,AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
【举一反三】
(2023·广安中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF,
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(A.S.A.),
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【技法点拨】
应用平行四边形的判定定理2的注意点
判定定理2的条件“平行且相等”指的是同一组对边,而不是一组对边相等,另一组对边平行.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十一”18.2 平行四边形的判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理,会用这个定理进行有关的论证和计算 推理能力、运算能力
2.能灵活运用平行四边形的性质定理和判定定理进行简单的推理证明 推理能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
平行四边形的判定定理3 项目文字语言符号语言对 角 线对角线 互相平分 的四边形是平行四边形 ∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形图 形
要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是(B) A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点】对角线互相平分的四边形是平行四边形(推理能力)
【典例】(教材再开发·P89例6补充)如图,AC,BD相交于点O,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是OB,OD的中点,求证:四边形AFCE是平行四边形.
【自主解答】∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OB,OD的中点,
∴OE=OB,OF=OD,∴OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
【举一反三】
1.(2024·自贡质检)如图,已知AB∥CD,增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是(C)
A.∠1=∠2 B.AD=BC
C.OA=OC D.AD=AB
2.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,BM⊥AC,DN⊥AC,垂足分别是M,N.
求证:四边形BMDN是平行四边形.
【证明】∵BM⊥AC,DN⊥AC,
∴∠OND=∠OMB=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC.
∵∠OND=∠OMB,∠DON=∠BOM,
OD=OB,∴△ODN≌△OBM(A.A.S.),
∴ON=OM.又∵OB=OD,∴四边形BMDN是平行四边形.
【技法点拨】
条件 思路
当遇到四边形对角线中点的条件时 运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来判定四边形是平行四边形
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、抽象能力)能判定四边形是平行四边形的是(D)
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分
2.(4分·推理能力、抽象能力)小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是(A)
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3.(4分·推理能力、运算能力)一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下,则可以判断四边形是平行四边形的是(D)
A.88°、108°、88°
B.88°、104°、108°
C.88°、92°、92°
D.108°、72°、108°
4.(8分·推理能力、运算能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,点G,H在BD上,且AE=CF,BG=DH.
(1)若AC=AD,∠CAD=70°,试求∠ABC的度数;
(2)求证:四边形EGFH是平行四边形.
【解析】(1)∵CA=AD,∠CAD=70°,
∴∠ADC=∠ACD=×(180°-70°)=55°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=55°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AE=CF,BG=DH,
∴OE=OF,OG=OH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十二”18.2 平行四边形的判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形 推理能力、抽象能力
2.理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 推理能力、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
项目文字语言符号语言边两组对边分别 的四边形 ∵AD∥BC,AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形两组对边分别 的四边形 ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形一组对边 的四边形 ∵AD∥BC,AD=BC, (或AB∥CD,AB=CD) ∴四边形ABCD是平行四边形图 形
1.下列哪组条件能判定四边形ABCD是平行四边形,∠A∶∠B∶∠C∶ ∠D=( ) A.2∶3∶6∶7 B.4∶5∶4∶5 C.1∶2∶3∶4 D.3∶5∶7∶9 2.不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A.AB=CD,AD∥BC B.AB=CD,AB∥CD C.AB=CD,AD=BC D.AB∥CD,AD∥BC 3. 如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,分别连结AB,AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】两组对边分别平行的四边形是平行四边形(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P88例3变式)如图,平行四边形ABCD中,BE平分
∠ABC,DF平分∠ADC,求证:四边形BEDF是平行四边形.
【举一反三】
(2024·乐山质检)如图,已知点E、F分别在边AB、BC上,ED∥BC,EF∥AC,BE=CF.求证:BD是△ABC的角平分线.
【重点2】两组对边分别相等的四边形是平行四边形(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P89练习T2拓展)如图,在 ABCD中,AE=CG,BF=DH,连结EF,FG,GH,HE.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
【举一反三】
如图,在四边形ABCD中,AD=12,OD=OB=5,AC=26,∠ADB=90°.
(1)求线段OC的长;
(2)求证:四边形ABCD为平行四边形.
【技法点拨】
应用平行四边形的判定定理1的注意事项
应用平行四边形的判定定理1时需要注意“对边相等”这一前提,不要错以为“邻边相等”或者“各边相等”.
【重点3】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(推理能力)
【典例3】如图,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是平行四边形.
【举一反三】
(2023·广安中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【技法点拨】
应用平行四边形的判定定理2的注意点
判定定理2的条件“平行且相等”指的是同一组对边,而不是一组对边相等,另一组对边平行.
