19.2 菱形
1.菱形的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.理解菱形的概念,以及和平行四边形的联系与区别 抽象能力、几何直观
2.掌握菱形的性质并会用它进行有关的论证和计算 几何直观、推理能力、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.菱形的定义:有一组 的平行四边形. 1.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,对角线BD=6,则菱形的边AB的长为( ) A.4 B.6 C.3 D.8
2.菱形的性质 (1)具有平行四边形的所有性质. (2)边: 都相等. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. (3)对角线:两条对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角. ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,且∠BAC=∠DAC,∠DCA=∠BCA,∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB. (4)对称性:菱形是轴对称图形,有两条对称轴,两条对角线所在的直线就是它的对称轴. 2.(1)在菱形ABCD中,若对角线AC=8 cm,BD=6 cm,则菱形ABCD的周长是 . (2)如图,E是菱形ABCD的对角线BD上一点,过点E作EF⊥BC于点F.若EF=4,则点E到边AB的距离为 .
3.菱形面积:S菱形=边长×高=两条对角线乘积的一半. 3.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则菱形的面积为( ) A.20 B.24 C.30 D.48
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】菱形的性质(推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P113例3拓展)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,且BE=BF.
(1)求证:△ADE≌△CDF;
(2)若∠DEF=65°,求∠EDB的度数.
【举一反三】
(2024·绵阳质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连结AE,AF,CE.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长.
【技法点拨】
菱形的边和对角线的应用
1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等.
2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题.
【重点2】菱形性质的实际应用(应用意识、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P113练习T3拓展)如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周长为40 m,∠ABC=120°,在其内部有一个矩形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点,现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为30元/m2,则需投资资金多少元 (取1.732)
【举一反三】
如图,木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成,在A,E,F,C,G,H处安装上、下两排挂钩,可以根据需要改变挂钩间的距离,并在B,M处固定.已知菱形ABCD的边长为10 cm,要使两排挂钩的距离(即AC)为16 cm,求B,M之间的距离.
【技法点拨】
利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)下列选项中,菱形不具有的性质是( )
A.四边相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每条对角线平分一组对角
2.(3分·运算能力)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若菱形ABCD的面积是12,则△AOB的面积为( )
A.3 B.6 C.24 D.48
3.(3分·推理能力、运算能力)如图,在菱形ABCD中,点E是边AB上一点,DE=AD,连结EC.若∠ADE=36°,则∠DEC的度数为( )
A.72° B.54° C.50° D.48°
4.(3分·推理能力、运算能力)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB= cm,AC=2 cm,则BD的长为 cm.
5.(8分·推理能力)(2024·福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.19.2 菱形
1.菱形的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.理解菱形的概念,以及和平行四边形的联系与区别 抽象能力、几何直观
2.掌握菱形的性质并会用它进行有关的论证和计算 几何直观、推理能力、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.菱形的定义:有一组 邻边相等 的平行四边形. 1.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,对角线BD=6,则菱形的边AB的长为(B) A.4 B.6 C.3 D.8
2.菱形的性质 (1)具有平行四边形的所有性质. (2)边: 四条边 都相等. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. (3)对角线:两条对角线互相 垂直 ,并且每一条对角线 平分 一组对角. ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,且∠BAC=∠DAC,∠DCA=∠BCA,∠ABD=∠CBD,∠CDB=∠ADB. (4)对称性:菱形是轴对称图形,有两条对称轴,两条对角线所在的直线就是它的对称轴. 2.(1)在菱形ABCD中,若对角线AC=8 cm,BD=6 cm,则菱形ABCD的周长是 20 cm . (2)如图,E是菱形ABCD的对角线BD上一点,过点E作EF⊥BC于点F.若EF=4,则点E到边AB的距离为 4 .
3.菱形面积:S菱形=边长×高=两条对角线乘积的一半. 3.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则菱形的面积为(B) A.20 B.24 C.30 D.48
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】菱形的性质(推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P113例3拓展)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,且BE=BF.
(1)求证:△ADE≌△CDF;
(2)若∠DEF=65°,求∠EDB的度数.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠A=∠C,AB=CB,AD=DC,
∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF,在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE≌△CDF(S.A.S.);
(2)∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DFE=∠DEF=65°,∴∠EDF=50°,
在△BDE和△BDF中,,∴△BDE≌△BDF(S.S.S.),
∴∠EDB=∠FDB=25°.
【举一反三】
(2024·绵阳质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连结AE,AF,CE.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADF=∠CBE,
在△ADF和△CBE中,,∴△ADF≌△CBE(S.A.S.);
(2)∵AD∥BC,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,
∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABE=∠CBE=30°,AB=BC,
∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(S.A.S.),∴AE=CE,
∵△AEF为等边三角形,∴∠AEF=60°,AE=EF=AF,
∴∠BAE=60°-∠ABE=30°,∴∠BAE=∠ABE,
∴BE=AE,同理AF=DF,∴BE=EF=DF,∵BD=6,∴CE=AE=2.
【技法点拨】
菱形的边和对角线的应用
1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等.
2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题.
【重点2】菱形性质的实际应用(应用意识、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P113练习T3拓展)如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周长为40 m,∠ABC=120°,在其内部有一个矩形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点,现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为30元/m2,则需投资资金多少元 (取1.732)
【自主解答】连结BD,AC相交于点O,如图,
∵四边形ABCD是一个菱形,∴AC⊥BD,∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,∵菱形的周长为40 m,∴菱形的边长为10 m,
∴BD=10 m,BO=5 m,∴在Rt△AOB中,OA=
==5 m,∴AC=2OA=10 m.
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴EH=BD=5 m,EF=AC=5 m,
∴S矩形=5×5=50 m2,则需投资资金50×30≈1 500×1.732=2 598元.
【举一反三】
如图,木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成,在A,E,F,C,G,H处安装上、下两排挂钩,可以根据需要改变挂钩间的距离,并在B,M处固定.已知菱形ABCD的边长为10 cm,要使两排挂钩的距离(即AC)为16 cm,求B,M之间的距离.
【解析】连结AC,BD,相交于点O,如图所示,
∵菱形ABCD的边长为10 cm,AC为16 cm,∴AO=8 cm,
∴BO==6(cm),∴BD=2BO=12 cm,∴BM=3BD=36 cm,
∴B,M之间的距离为36 cm.
【技法点拨】
利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)下列选项中,菱形不具有的性质是(C)
A.四边相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每条对角线平分一组对角
2.(3分·运算能力)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若菱形ABCD的面积是12,则△AOB的面积为(A)
A.3 B.6 C.24 D.48
3.(3分·推理能力、运算能力)如图,在菱形ABCD中,点E是边AB上一点,DE=AD,连结EC.若∠ADE=36°,则∠DEC的度数为(B)
A.72° B.54° C.50° D.48°
4.(3分·推理能力、运算能力)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB= cm,AC=2 cm,则BD的长为 4 cm.
5.(8分·推理能力)(2024·福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF 中,
∴△ABE≌△ADF(A.A.S.),∴BE=DF.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十五”
