2.菱形的判定
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握菱形的判定定理 几何直观、抽象能力
2.灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算 几何直观、推理能力、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
菱形的判定 分类文字语言符号语言图形边有一组邻边 的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴四边形ABCD是菱形四条边 的四边形 ∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形对 角 线对角线 的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形
1.下列说法中正确的是( ) A.四边相等的四边形是菱形 B.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 2.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可) 3.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】菱形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P118练习T2·2023郴州中考)如图,四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图;作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);
(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.
【举一反三】
1.(2023·鄂州中考)如图,点E是矩形ABCD的边BC上的一点,且AE=AD.
(1)尺规作图:作∠DAE的平分线AF,交BC的延长线于点F,连结DF.(保留作图痕迹,不写作法);
(2)试判断四边形AEFD的形状,并说明理由.
2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连结DF.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
【技法点拨】
菱形的常用判定方法的选择
已有条件 需要条件
平行四边形 邻边相等
对角线互相垂直
每条对角线平分一组对角
一般四边形 四条边都相等
对角线互相垂直平分
对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角
【重点2】菱形的性质和判定的综合应用(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,在 ABCD中,FA⊥AB交CD于点E,交BC的延长线于点F,且CF=BC,连结AC,DF.
(1)求证:四边形ACFD是菱形;
(2)若AB=5,DF=,求四边形ACFD的面积.
【举一反三】
在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连结CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
【技法点拨】
计算菱形面积的两种方法
(1)如果已知菱形两条对角线长分别为a,b,选择S=ab.
(2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°,45°,60°)时,选择S=底边×高.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列平行四边形中,根据图中所标出的数据,不能判定是菱形的是( )
2.(3分·推理能力)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,且AB∥CD,则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A.AC=BD B.∠ADB=∠CDB
C.∠ABC=∠DCB D.AD=BC
3.(3分·推理能力、运算能力)如图,已知四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直且互相平分,AB=6,则四边形ABCD的周长为 .
4.(3分·应用意识、运算能力)如图,将两条宽度都为1的纸条重叠在一起,使∠ABC=45°,则四边形ABCD的面积为 .
5.(8分·推理能力)如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线分别交AB,AC于点D,O,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连结AE,CD.求证:四边形ADCE是菱形.2.菱形的判定
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握菱形的判定定理 几何直观、抽象能力
2.灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算 几何直观、推理能力、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
菱形的判定 分类文字语言符号语言图形边有一组邻边 相等 的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴四边形ABCD是菱形四条边 相等 的四边形 ∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形对 角 线对角线 互相垂直 的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形
1.下列说法中正确的是(A) A.四边相等的四边形是菱形 B.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 2.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是 AB=CD(答案不唯一) .(只需写出一个条件即可) 3.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 菱形 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】菱形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P118练习T2·2023郴州中考)如图,四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图;作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);
(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.
【自主解答】(1)如图,直线MN即为所求;
(2)设AC与EF相交于点O.由作图可知,EF垂直平分线段AC,
∴OA=OC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥CF,
∴∠OAE=∠OCF,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(A.S.A.),
∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.
【举一反三】
1.(2023·鄂州中考)如图,点E是矩形ABCD的边BC上的一点,且AE=AD.
(1)尺规作图:作∠DAE的平分线AF,交BC的延长线于点F,连结DF.(保留作图痕迹,不写作法);
(2)试判断四边形AEFD的形状,并说明理由.
【解析】(1)如图所示;
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BF,
∴∠DAF=∠AFC,∵AF平分∠DAE,
∴∠DAF=∠FAE,∴∠FAE=∠AFC,
∴EA=EF,∵AE=AD,∴AD=EF,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∵AE=AD,∴四边形AEFD是菱形.
2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连结DF.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
【证明】(1)∵在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),
∴∠BAC=∠DAC,
(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD,∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.
【技法点拨】
菱形的常用判定方法的选择
已有条件 需要条件
平行四边形 邻边相等
对角线互相垂直
每条对角线平分一组对角
一般四边形 四条边都相等
对角线互相垂直平分
对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角
【重点2】菱形的性质和判定的综合应用(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,在 ABCD中,FA⊥AB交CD于点E,交BC的延长线于点F,且CF=BC,连结AC,DF.
(1)求证:四边形ACFD是菱形;
(2)若AB=5,DF=,求四边形ACFD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,
∵点F在BC的延长线上,且CF=BC,∴AD∥CF,AD=CF,
∴四边形ACFD是平行四边形,∵CD∥AB,FA⊥AB交CD于点E,
∴∠CEF=∠BAF=90°,∴FA⊥CD,∴四边形ACFD是菱形.
(2)∵四边形ACFD是菱形,CD=AB=5,∴DE=CE=CD=,AE=FE,
∵∠DEF=90°,DF=,∴FE===6,
∴FA=2FE=12,∴S四边形ACFD=FA·CD=×12×5=30,∴四边形ACFD的面积为30.
【举一反三】
在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连结CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
【解析】(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC且2DE=BC,
又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形,
又∵BE=FE,∴平行四边形BCFE是菱形;
(2)∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等边三角形,
∴菱形的边长为4,高为2,∴菱形的面积为4×2=8.
【技法点拨】
计算菱形面积的两种方法
(1)如果已知菱形两条对角线长分别为a,b,选择S=ab.
(2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°,45°,60°)时,选择S=底边×高.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列平行四边形中,根据图中所标出的数据,不能判定是菱形的是(C)
2.(3分·推理能力)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,且AB∥CD,则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是(B)
A.AC=BD B.∠ADB=∠CDB
C.∠ABC=∠DCB D.AD=BC
3.(3分·推理能力、运算能力)如图,已知四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直且互相平分,AB=6,则四边形ABCD的周长为 24 .
4.(3分·应用意识、运算能力)如图,将两条宽度都为1的纸条重叠在一起,使∠ABC=45°,则四边形ABCD的面积为 .
5.(8分·推理能力)如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线分别交AB,AC于点D,O,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连结AE,CD.求证:四边形ADCE是菱形.
【证明】∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,AE=CE,OA=OC,
∵CE∥AB,∴∠OAD=∠OCE,
在△AOD和△COE中,,
∴△AOD≌△COE(A.S.A.),∴AD=CE,∴AD=CD=AE=CE,∴四边形ADCE是菱形.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十六”
