19.3 正方形
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握正方形的定义,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系 几何直观、抽象能力
2.掌握正方形的性质和判定方法,能正确运用正方形的性质和判定方法进行有关的论证和计算 几何直观、推理能力、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.正方形的性质 (1)四个角是 ; (2)四条边 ; (3)对角线 且 ,每一条对角线平分一组对角; (4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰直角三角形有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
2.正方形的判定 2.如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,要使平行四边形ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是 (只需添加一个即可).
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】正方形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P121习题19.3T2拓展)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,且四边形BEDF为正方形.
(1)求证:AE=CF;
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求BC的长.
【举一反三】
如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连结EB,ED.
(1)试说明△BEC≌△DEC;
(2)延长BE,交AD于点F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.
【技法点拨】
正方形性质应用的分析方法
已知条件 分析思路
已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°.
已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴.
【重点2】正方形的判定(推理能力)
【典例2】(教材再开发·正方形的判定强化)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连结CF.
(1)求证:AD=AF;
(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
【举一反三】
如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A,D分别作BC与AB的平行线,相交于点E,连结EC,AD.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)当∠BAC=90°时,求证:四边形ADCE是正方形.
【技法点拨】
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)矩形和正方形都具有的性质是( )
A.对角线互相平分且相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线互相垂直平分且相等
D.对角线平分一组对角
2.(3分·运算能力)如图,在正方形纸片ABCD上进行如下操作:
第一步:剪去长方形纸条AEFD;
第二步:从长方形纸片BCFE上剪去长方形纸条CFGH.
若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等,则AB的长度为( )
A.30 cm B.15 cm
C.16 cm D.90 cm
3.(3分·抽象能力、推理能力)如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是( )
A.AC=DB且DA⊥AB
B.AB=BC且AC⊥BD
C.AB=BC且∠ABD=∠CBD
D.DA⊥AB且AC⊥BD
4.(3分·运算能力)如图,正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边,则∠FAB的度数为 .
5.(8分·推理能力)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,点D为AB的中点,过点D作DE⊥AB,且DE=AB,连结CE,求证:四边形BCED是正方形.19.3 正方形
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握正方形的定义,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系 几何直观、抽象能力
2.掌握正方形的性质和判定方法,能正确运用正方形的性质和判定方法进行有关的论证和计算 几何直观、推理能力、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.正方形的性质 (1)四个角是 直角 ; (2)四条边 相等 ; (3)对角线 相等 且 互相垂直平分 ,每一条对角线平分一组对角; (4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰直角三角形有(D) A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
2.正方形的判定 2.如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,要使平行四边形ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是 ∠ABC=90°(或AC=BD) (只需添加一个即可).
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】正方形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P121习题19.3T2拓展)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,且四边形BEDF为正方形.
(1)求证:AE=CF;
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求BC的长.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,
∵四边形BEDF是正方形,∴BE=DF,
∴AB-BE=CD-DF,∴AE=CF;
(2)∵四边形BEDF是正方形,∴BF⊥AB,∴BF·AB=20,
∵AB=5,∴BF=4,∵CF=CD-DF=5-4=1,
在Rt△BCF中,CF2+BF2=BC2,∴BC=.
【举一反三】
如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连结EB,ED.
(1)试说明△BEC≌△DEC;
(2)延长BE,交AD于点F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠ECB=∠ECD=45°,
在△ECB和△ECD中,,
∴△BEC≌DEC(S.A.S.).
(2)∵△BEC≌DEC,∴∠CEB=∠CED,
∵∠BED=120°,∴∠CEB=60°,
∴∠EBC=180°-∠ECB-∠BEC=75°,
∵DF∥BC,∴∠DFE+∠EBC=180°,
∴∠DFE=105°.
【技法点拨】
正方形性质应用的分析方法
已知条件 分析思路
已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°.
已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴.
【重点2】正方形的判定(推理能力)
【典例2】(教材再开发·正方形的判定强化)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连结CF.
(1)求证:AD=AF;
(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
【自主解答】(1)∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中点,∴AE=DE,
在△AEF和△DEB中,,∴△AEF≌△DEB(A.S.A.),∴AF=BD,
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,∴AD=BD,∴AD=AF;
(2)四边形ADCF是正方形.证明如下:
∵点D为BC中点,∴DC=BD.∵AF=BD,∴AF=BD=DC,
∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,∴ ADCF是矩形,
又∵AD=AF,∴矩形ADCF是正方形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,过点A,D分别作BC与AB的平行线,相交于点E,连结EC,AD.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)当∠BAC=90°时,求证:四边形ADCE是正方形.
【证明】(1)∵AB=AC,点D是边BC的中点,
∴BD=CD,AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵AE∥BD,DE∥AB,
∴四边形AEDB为平行四边形,∴AE=BD=CD,又∵AE∥DC,
∴四边形ADCE是平行四边形,∵∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形;
(2)设AC与DE相交于点O.
∵DE∥AB,∠BAC=90°,∴∠DOC=∠BAC=90°,即AC⊥DE,
又∵由题意知四边形ADCE是矩形,∴四边形ADCE是正方形.
【技法点拨】
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)矩形和正方形都具有的性质是(A)
A.对角线互相平分且相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线互相垂直平分且相等
D.对角线平分一组对角
2.(3分·运算能力)如图,在正方形纸片ABCD上进行如下操作:
第一步:剪去长方形纸条AEFD;
第二步:从长方形纸片BCFE上剪去长方形纸条CFGH.
若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等,则AB的长度为(A)
A.30 cm B.15 cm
C.16 cm D.90 cm
3.(3分·抽象能力、推理能力)如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是(D)
A.AC=DB且DA⊥AB
B.AB=BC且AC⊥BD
C.AB=BC且∠ABD=∠CBD
D.DA⊥AB且AC⊥BD
4.(3分·运算能力)如图,正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边,则∠FAB的度数为 22.5° .
5.(8分·推理能力)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,点D为AB的中点,过点D作DE⊥AB,且DE=AB,连结CE,求证:四边形BCED是正方形.
【证明】∵AB=2BC,DE=AB,∴DE=BC,
∵DE⊥AB,∴∠ADE=∠B=90°,∴DE∥BC,
∴四边形BCED是矩形,∵点D为AB的中点,∴BD=AB,
∴BD=DE,∴四边形BCED是正方形.
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