20.2 数据的集中趋势
1.中位数和众数
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握中位数、众数等数据代表的概念,能根据所给信息求出相应的数据代表. 抽象能力、运算能力
2.理解平均数、中位数、众数的特征、联系和区别. 推理能力、数据观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于 中间 位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的 平均数 为这组数据的中位数. 1.在“庆五四·展风采”的演讲比赛中,7位同学参加决赛,演讲成绩依次为:77,80,79,77,80,79,80.这组数据的中位数是(B) A.77 B.79 C.79.5 D.80
2.众数:一组数据中出现次数 最多 的数据称为这组数据的众数. 2.一组数据:6,7,9,6,9,10,11,6.则这组数据的众数和中位数分别为(C) A.9和7.5 B.6和7 C.6和8 D.6和7.5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 求一组数据的中位数(运算能力)
【典例1】(教材溯源·P140问题1·2023河北中考)某公司为提高服务质量,对其某个部门开展了客户满意度问卷调查,客户满意度以分数呈现,满意度从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档.公司规定:若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分,则该部门需要对服务质量进行整改.工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份,如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图.
(1)求客户所评分数的中位数、平均数,并判断该部门是否需要整改;
(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份,与之前的20份合在一起,重新计算后,发现客户所评分数的平均数大于3.55分,求监督人员抽取的问卷所评分数为几分 与(1)相比,中位数是否发生变化
【自主解答】(1)由题中统计图可知,第10个数据是3分,第11个数据是4分,∴中位数为3.5分,由题中统计图可得平均数为3.5分,∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分,∴该部门不需要整改.
(2)监督人员抽取的问卷所评分数为x分,则有>3.55,解得x>4.55,∵满意度从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档.
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分,∵4<5,∴加入这个数据,客户所评分数按从小到大排列后,第11个数据不变还是4分,即加入这个数据后,中位数是4分,
∴与(1)相比,中位数发生了变化,由3.5分变成4分.
【举一反三】
1.(2023·成都中考)近年来,随着环境治理的不断深入,成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局.如今空气质量越来越好,杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数(AQI):33,27,34,40,26,则这组数据的中位数是(C)
A.26 B.27 C.33 D.34
2.(2024·福建中考)学校为了解学生的安全防范意识,随机抽取了12名学生进行相关知识测试,将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图,则这12名学生测试成绩的中位数是 90 .(单位:分)
3.一组数据:1,0,4,5,x,8.若它们的中位数是3,求x的值.
【解析】除x外5个数由小到大排列为0,1,4,5,8,
∵原数据有6个数,且这组数据的中位数是3;
所以只有当x+4=2×3时才成立,即x=2.
【技法点拨】
求一组数据中位数的步骤
1.排序:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列;
2.确定个数:确定数据个数(设为n);
3.根据定义计算:(1)当n为奇数时,第个数据是中位数;(2)当n为偶数时,第个和第+1个数据的平均数为中位数.
重点2 求一组数据的众数(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P143练习T1补充)
一次数学测试,某小组5名同学的成绩统计如表(有两个数据a,b被遮盖):
组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
得分 77 81 a 80 82 80 b
求被遮盖的两个数据a和b.
【自主解答】由题意可得=80,
解得a=80.∴丙的成绩为80.
在这5名同学的成绩中80出现的次数最多,
所以众数为80,即b=80.
所以被遮盖的两个数据是a=80,b=80.
【举一反三】
1.(2023·金华中考)上周双休日,某班8名同学课外阅读的时间如下(单位:时):1,4,2,4,3,3,4,5,这组数据的众数是(D)
A.1时 B.2时 C.3时 D.4时
2.已知一组数据1,0,-3,5,x,2,-3的平均数是1,则这组数据的众数是(C)
A.-3 B.5
C.-3和5 D.1和3
【技法点拨】
众数的特征
(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中.
(2)一组数据的众数可能不止一个.如1,1,2,3,3,5中众数是1和3.
易错警醒:众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力)某班5名学生的体重(单位:kg)分别为51,53,47,51,60,则这组数据的众数与中位数分别是(D)
A.60 kg,51 kg B.51 kg,47 kg
C.60 kg,47 kg D.51 kg,51 kg
2.(4分·抽象能力)“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年,深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动.某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况,从中随机抽取7位同学,经统计他们的学习时间(单位:分钟)分别为75,80,82,80,80,85,88.则这组数据的众数为(B)
A.75 B.80 C.82 D.85
3.(12分·应用意识、运算能力)为了解同学们的阅读情况,学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计,并制成了统计表及如图所示的统计图.
学生阅读篇数统计表
篇数/篇 4 5 6 7
人数/人 8 m 20 4
请根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)m= ,本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是 ,众数是 ;
(2)求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数;
(3)学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇(不含6篇)的学生评为“阅读达人”予以表扬.若全校学生以1 500人计算,估计受表扬的学生人数.
【解析】(1)抽取的总人数为20÷40%=50(人),m=50-8-20-4=18,
∵共有50人,中位数是第25、26个数的平均数,∴中位数是=5(篇),
∵阅读6篇的人数最多,有20人,∴众数是6篇;
答案:18 5篇 6篇
(2)根据题意得:×(4×8+5×18+6×20+7×4)=5.4(篇),
答:本次抽查的学生这周平均每人阅读文章为5.4篇;
(3)根据题意得:1 500×=120(人),
答:估计受表扬的学生有120人.20.2 数据的集中趋势
1.中位数和众数
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握中位数、众数等数据代表的概念,能根据所给信息求出相应的数据代表. 抽象能力、运算能力
2.理解平均数、中位数、众数的特征、联系和区别. 推理能力、数据观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于 位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的 为这组数据的中位数. 1.在“庆五四·展风采”的演讲比赛中,7位同学参加决赛,演讲成绩依次为:77,80,79,77,80,79,80.这组数据的中位数是( ) A.77 B.79 C.79.5 D.80
2.众数:一组数据中出现次数 的数据称为这组数据的众数. 2.一组数据:6,7,9,6,9,10,11,6.则这组数据的众数和中位数分别为( ) A.9和7.5 B.6和7 C.6和8 D.6和7.5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 求一组数据的中位数(运算能力)
【典例1】(教材溯源·P140问题1·2023河北中考)某公司为提高服务质量,对其某个部门开展了客户满意度问卷调查,客户满意度以分数呈现,满意度从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档.公司规定:若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分,则该部门需要对服务质量进行整改.工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份,如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图.
(1)求客户所评分数的中位数、平均数,并判断该部门是否需要整改;
(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份,与之前的20份合在一起,重新计算后,发现客户所评分数的平均数大于3.55分,求监督人员抽取的问卷所评分数为几分 与(1)相比,中位数是否发生变化
【举一反三】
1.(2023·成都中考)近年来,随着环境治理的不断深入,成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局.如今空气质量越来越好,杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数(AQI):33,27,34,40,26,则这组数据的中位数是( )
A.26 B.27 C.33 D.34
2.(2024·福建中考)学校为了解学生的安全防范意识,随机抽取了12名学生进行相关知识测试,将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图,则这12名学生测试成绩的中位数是 .(单位:分)
3.一组数据:1,0,4,5,x,8.若它们的中位数是3,求x的值.
【技法点拨】
求一组数据中位数的步骤
1.排序:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列;
2.确定个数:确定数据个数(设为n);
3.根据定义计算:(1)当n为奇数时,第个数据是中位数;(2)当n为偶数时,第个和第+1个数据的平均数为中位数.
重点2 求一组数据的众数(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P143练习T1补充)
一次数学测试,某小组5名同学的成绩统计如表(有两个数据a,b被遮盖):
组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
得分 77 81 a 80 82 80 b
求被遮盖的两个数据a和b.
【举一反三】
1.(2023·金华中考)上周双休日,某班8名同学课外阅读的时间如下(单位:时):1,4,2,4,3,3,4,5,这组数据的众数是( )
A.1时 B.2时 C.3时 D.4时
2.已知一组数据1,0,-3,5,x,2,-3的平均数是1,则这组数据的众数是( )
A.-3 B.5
C.-3和5 D.1和3
【技法点拨】
众数的特征
(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中.
(2)一组数据的众数可能不止一个.如1,1,2,3,3,5中众数是1和3.
易错警醒:众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·抽象能力)某班5名学生的体重(单位:kg)分别为51,53,47,51,60,则这组数据的众数与中位数分别是( )
A.60 kg,51 kg B.51 kg,47 kg
C.60 kg,47 kg D.51 kg,51 kg
2.(4分·抽象能力)“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年,深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动.某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况,从中随机抽取7位同学,经统计他们的学习时间(单位:分钟)分别为75,80,82,80,80,85,88.则这组数据的众数为( )
A.75 B.80 C.82 D.85
3.(12分·应用意识、运算能力)为了解同学们的阅读情况,学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计,并制成了统计表及如图所示的统计图.
学生阅读篇数统计表
篇数/篇 4 5 6 7
人数/人 8 m 20 4
请根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)m= ,本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是 ,众数是 ;
(2)求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数;
(3)学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇(不含6篇)的学生评为“阅读达人”予以表扬.若全校学生以1 500人计算,估计受表扬的学生人数.
