第19章 矩形、菱形与正方形 单元复习课
体系自我构建 疏经通络 感知全域
目标维度评价 多维把脉 破译考向
【维度1】基础知识的应用
1.(2023·十堰中考)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是(C)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
2.(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是(D)
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
3.(2023·深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC= 57 °.
5.(2023·威海中考)如图,在正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,以AB的长为半径作弧,两弧交于点E,连结DE,则∠CDE= 15 °.
6.(2022·广州中考)如图,在 ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,
AC+BD=22,则△BOC的周长为 21 .
【维度2】基本技能(方法)、基本思想的应用
7.(2023·通辽中考)如图,用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时,若△ABE平移到△DCF,a=4,h=3,则△ABE的平移距离为(B)
A.3 B.4 C.5 D.12
8.(2023·临夏州中考)如图,将矩形纸片ABCD对折,使边AB与DC,BC与AD分别重合,展开后得到四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为(B)
A.2 B.4 C.5 D.6
9.(2024·山西中考)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且=,若NP=2 cm,则BC的长为 (-1) cm(结果保留根号).
10.(2023·遂宁中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点O为对角线BD的中点,过点O的直线l分别与AD,BC所在的直线相交于点E,F.(点E不与点D重合)
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)当直线l⊥BD时,连结BE,DF,试判断四边形EBFD的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF,
∵点O为对角线BD的中点,∴OD=OB,
在△DOE和△BOF中,,∴△DOE≌△BOF(A.S.A.).
(2)四边形EBFD是菱形,理由如下:
∵OD=OB,直线l经过点O且l⊥BD,∴直线l是线段BD的垂直平分线,
∴DE=BE,DF=BF,∵△DOE≌△BOF,∴DE=BF,
∵DE=BE=DF=BF,∴四边形EBFD是菱形.
11.(2023·江西中考)课本再现
思考 我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理证明
(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在 ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.
求证: ABCD是菱形.
知识应用
(2)如图2,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.
求证: ABCD是菱形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,
又∵BD⊥AC,垂足为O,∴AC是BD的垂直平分线,
∴AB=AD,∴ ABCD是菱形.
(2)∵在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=8,BD=6,
∴AO=CO=AC=4,DO=BD=3,又∵AD=5,∴在△AOD中,AD2=AO2+DO2,
∴∠AOD=90°,即BD⊥AC,∴ ABCD是菱形.
12.(2023·绍兴中考)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连结EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
【解析】(1)在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴∠ADE=∠GEC=90°,
∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH⊥EF,理由如下:
连结GC交EF于点O,如图:
∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°,
又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(S.A.S.),∴∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°,又∵GE⊥CD,GF⊥BC,
∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,
由(1)得∠DAG=∠EGH,
∴∠EGH=∠OEC,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
【维度3】在实际生活生产中的应用
13.(2024·乐山期末)如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个不同颜色的正方形组成,已知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个矩形色块图的面积为(B)
A.142 B.143 C.144 D.145
14.(2022·台州中考)一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80 m,宽60 m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3 m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为(B)
A.(840+6π)m2 B.(840+9π)m2
C.840 m2 D.876 m2
15.(2024·绵阳期末)如图,某舞台的地面是由两个并排的正方形组成的,其中正方形ABCD的边长为a米,正方形ECGF的边长为8米,现要求将图中阴影部分涂上油漆.
(1)求出涂油漆部分的面积;(结果要求化简)
(2)若所涂油漆的价格是每平方米60元,求当a=4米时,所涂油漆的费用是多少元
【解析】(1)阴影部分的面积为
a2+82-[a2+×8×(a+8) ]=a2+64-(a2+4a+32)
=a2+64-a2-4a-32=(a2-4a+32)平方米;
(2)当a=4时,a2-4a+32=×42-4×4+32=24(平方米),
则所涂油漆费用为24×60=1 440(元).
感悟思想 体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 在矩形、菱形、正方形的有关计算中,有的题目可以利用列方程的方法求解
转化思想 把矩形、菱形、正方形中的问题转化为三角形问题来求解
数形结合思想 通过“以形助数”或“以数解形”,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,在本章中,要特别注意数形结合思想的运用
分类讨论思想 在矩形、菱形、正方形的有关题目中,没有明确指出符合条件的图形时,应利用分类讨论思想
阶段测评,请使用 “单元质量评价(四)”第19章 矩形、菱形与正方形 单元复习课
体系自我构建 疏经通络 感知全域
目标维度评价 多维把脉 破译考向
【维度1】基础知识的应用
1.(2023·十堰中考)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
2.(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
3.(2023·深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC= °.
5.(2023·威海中考)如图,在正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,以AB的长为半径作弧,两弧交于点E,连结DE,则∠CDE= °.
6.(2022·广州中考)如图,在 ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,
AC+BD=22,则△BOC的周长为 .
【维度2】基本技能(方法)、基本思想的应用
7.(2023·通辽中考)如图,用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时,若△ABE平移到△DCF,a=4,h=3,则△ABE的平移距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.12
8.(2023·临夏州中考)如图,将矩形纸片ABCD对折,使边AB与DC,BC与AD分别重合,展开后得到四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为( )
A.2 B.4 C.5 D.6
9.(2024·山西中考)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且=,若NP=2 cm,则BC的长为 cm(结果保留根号).
10.(2023·遂宁中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点O为对角线BD的中点,过点O的直线l分别与AD,BC所在的直线相交于点E,F.(点E不与点D重合)
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)当直线l⊥BD时,连结BE,DF,试判断四边形EBFD的形状,并说明理由.
11.(2023·江西中考)课本再现
思考 我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理证明
(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在 ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.
求证: ABCD是菱形.
知识应用
(2)如图2,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.
求证: ABCD是菱形.
12.(2023·绍兴中考)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连结EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
【维度3】在实际生活生产中的应用
13.(2024·乐山期末)如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个不同颜色的正方形组成,已知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个矩形色块图的面积为( )
A.142 B.143 C.144 D.145
14.(2022·台州中考)一个垃圾填埋场,它在地面上的形状为长80 m,宽60 m的矩形,有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3 m,则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为( )
A.(840+6π)m2 B.(840+9π)m2
C.840 m2 D.876 m2
15.(2024·绵阳期末)如图,某舞台的地面是由两个并排的正方形组成的,其中正方形ABCD的边长为a米,正方形ECGF的边长为8米,现要求将图中阴影部分涂上油漆.
(1)求出涂油漆部分的面积;(结果要求化简)
(2)若所涂油漆的价格是每平方米60元,求当a=4米时,所涂油漆的费用是多少元
感悟思想 体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 在矩形、菱形、正方形的有关计算中,有的题目可以利用列方程的方法求解
转化思想 把矩形、菱形、正方形中的问题转化为三角形问题来求解
数形结合思想 通过“以形助数”或“以数解形”,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,在本章中,要特别注意数形结合思想的运用
分类讨论思想 在矩形、菱形、正方形的有关题目中,没有明确指出符合条件的图形时,应利用分类讨论思想
