3.2.1 单调性与最大（小）值 课件(共19张PPT)人教A版（2019）数学必修 第一册

(共19张PPT)
（第二课时）
3.2.1 单调性与最大（小）值
观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。
新课引入
如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？
即如何用“数”刻画“形”？
(0,0)
(0,0)
函数图象最高点的“数”的刻画：
我们用函数值刻画一个函数图象的最高点。
如果一个点是最高点，那么该函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值.简称为最大值.
(0,0)
就函数 f(x)=-x 而言，对函数定义域中任意的x，都有f(x)≤f(0)，即函数值 f(0) 是函数的最大值.
最值 条件(I是函数f(x)的定义域) 几何意义
最大值(M)
最小值 (m)
函数y=f(x)最大(小)值的定义
②对于任意x∈I，都有f(x)≤M
①存在x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上
最高点的纵坐标
②对于任意x∈I，都有f(x)≥m
①存在x0∈I，使得f(x0)＝m
函数y＝f(x)图象上
最低点的纵坐标
最大值与最小值统称为最值。
新课讲授
1.因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.( )
提示　f(x)＝x2的最小值为 0.
2.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
×
√
微判断
C
微练习
A
例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m) 与时间t(单位：s)之间的关系为
h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ,那么烟花冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少(精确到1 m)？
分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少.
例题讲解
显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,顶点的纵坐标就是距地面的高度.根据二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18我们有：
解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距底面的高度约为29m.
(或者h(t)=-4.9×(1.5)2+14.7×1.5+18≈29)
当 时，函数有最大值
变式：求下列函数的最值
(1)f(x)=x2-2x (2)f(x)=x2-2x(x∈[-1,2] ) (3)f(x)=x2-2x(x∈[0,3] ) (4)f(x)=x2-2x(x∈[-2,0] )
（1）解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值．
（2）常用结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．
定轴定区间的二次函数的最值问题
规律总结
例5.已知函数 ，求这个函数的最大值和最小值。
【分析】这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间[2,6]上单调递减，因此这个函数在定义的左端点上取得最大值，右端点取最小值.
例题讲解
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1所以，函数 是区间[2,6]上单调递减.
因此，函数的最大值是f(2)=2，最小值是f(6)=0.4.
解：①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t+3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2+2，
1.求函数 f(x)=x2-2x+3 在区间 [t，t＋1] 上的最小值g(t)．
能力提升
3.已知定义在区间函数 f(x)=x+ ,求f(x)的最值.
解： 由上一节课例3可知，函数 f(x)=x+ 在区间上单调递增。
但是 f(x) 定义域取不到左端点，无右端点，所以函数 f(x) 无最大值，也无最小值。
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.
(4)如果函数定义域为区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
函数的最值与单调性
规律总结
最值 条件(I是函数f(x)的定义域) 几何意义
最大值 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上
最高点的纵坐标
最小值 ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上
最低点的纵坐标
函数最大(小)值的定义
常用的求函数最值的方法
(1)利用函数图像判断最值.
(2)利用函数的单调性判断最值.
课堂小结
再会！